Algebraic Combinatorics on Words pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Lothaire, M.

出品人:

页数:520

译者:

出版时间:2002-5

价格:$ 197.75

装帧:

isbn号码:9780521812207

丛书系列:

图书标签:

• 代数组合学
• 词
• 组合数学
• 形式语言
• 算法
• 离散数学
• 图论
• 编码理论
• 数学
• 计算机科学

《代数组合学导论：结构、模式与计数》 本书旨在为读者提供一个深入理解组合学基本原理的坚实基础，并在此基础上探索其与代数结构的深刻联系。我们聚焦于计数、排列、组合以及它们在各种数学和计算机科学问题中的应用。全书共分为六个主要部分，层层递进，从基础概念到高级主题，力求清晰、系统地展现代数组合学的魅力。 第一部分：组合学基础 在本书的开篇，我们将带领读者进入组合学的世界，介绍其核心概念和基本工具。 集合与计数原理： 这一章将回顾集合论的基本概念，包括集合的并、交、差、补以及子集。重点将放在计数的基本原理上：加法原理和乘法原理。我们将通过大量的实例，如图书馆管理员如何安排书籍、学生选择课程等，来阐释这两个原理的应用。随后，我们将引入“不重复”和“可重复”两种情况下的计数方式，并详细讲解排列（angements）和组合（combinations）的公式及其推导过程。例如，计算从 $n$ 个不同元素中取出 $k$ 个进行排列的方案数，或者从中选出 $k$ 个进行组合的方案数。 二项式定理与多项式展开： 这一章将深入探讨二项式定理，即 $(x+y)^n$ 的展开式。我们将推导二项式系数的性质，如帕斯卡恒等式和对称性，并展示如何利用二项式定理解决与计数相关的问题，例如计算特定组合的概率或进行级数求和。我们将进一步推广到多项式定理，解释 $(x_1 + x_2 + dots + x_k)^n$ 的展开式，以及其系数的计算方法。 鸽巢原理与存在性证明： 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）是组合学中一个强大而简洁的工具，用于证明某个对象一定存在，而无需显式地构造它。本章将从最简单的形式开始，逐步介绍推广的鸽巢原理。我们将通过一些经典的例子，如“在任意 $n+1$ 个整数中，至少有两个整数除以 $n$ 的余数相同”，来展示其直观理解。接着，我们将展示如何运用鸽巢原理解决更复杂的问题，例如图论中的边着色问题、数列的性质证明等。 递推关系与生成函数： 递推关系是描述序列中项与前项之间关系的方程，在组合学中具有举足轻重的地位。本章将介绍如何建立递推关系来解决计数问题，例如斐波那契数列的定义和计算。我们将讲解求解线性齐次递推关系的方法，包括特征方程法。随后，我们将引入生成函数（Generating Functions）的概念，将其视为一种表示序列的“代数对象”。我们将探讨如何通过操作生成函数来求解递推关系、计算组合数，并发现序列的性质。例如，我们将展示如何利用生成函数来计算将物品分发给不同个体的方案数。 第二部分：图论基础与应用 图论是研究图（由顶点和边组成的数学结构）的数学分支，在网络分析、算法设计等领域有着广泛应用。 图的基本概念与表示： 这一章将定义图的基本元素：顶点（nodes）和边（edges）。我们将区分无向图和有向图，并介绍图的邻接矩阵（adjacency matrix）和邻接表（adjacency list）等表示方法。我们将讨论图的度（degree）、路径（path）、环（cycle）等基本概念。 连通性、通路与回路： 本章将重点探讨图的连通性。我们将定义连通图、强连通图，并介绍如何判断图的连通性。我们将学习通路（walk）、迹（trail）和简单路径（simple path）的区别，以及回路（closed walk）、环（cycle）和简单回路（simple cycle）的概念。我们将介绍欧拉通路（Eulerian path）和欧拉回路（Eulerian circuit）的存在条件，以及汉密尔顿路径（Hamiltonian path）和汉密尔顿回路（Hamiltonian circuit）的定义。 树： 树是图论中的一个重要特例，它是一种无环连通图。本章将介绍树的定义、性质及其在计算机科学中的应用，例如文件系统结构、决策树等。我们将讨论生成树（spanning tree）的概念，并介绍普里姆算法（Prim's algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's algorithm）等构造最小生成树的算法。 着色问题与匹配问题： 图的着色问题（Graph Coloring）是指为图的顶点分配颜色，使得任意两个相邻顶点颜色不同。本章将介绍图的色数（chromatic number），并讨论一些经典的图着色问题，如地图着色问题。我们将介绍匹配（Matching）的概念，即图的边集中一组不相邻的边。我们将讨论最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），并介绍匈牙利算法（Hungarian algorithm）等解决二分图最大匹配问题的算法。 第三部分：代数结构与组合对象 本部分将开始深入探讨代数结构与组合对象的联系。 群论基础： 群（Group）是代数结构中最基本的一种。本章将介绍群的定义、性质，以及一些重要的群，如对称群（symmetric group）和循环群（cyclic group）。我们将学习群的子群（subgroup）、陪集（coset）和商群（quotient group）等概念。 排列群与计数： 排列群在组合学中扮演着关键角色。我们将探讨排列的结构，并利用群论的工具来分析和计数排列。例如，我们将学习如何利用群的表示来计算具有特定性质的排列的数量，以及如何研究置换群的作用。 向量空间与组合： 向量空间（Vector Space）是代数中另一个重要的概念。本章将介绍向量空间的定义、基（basis）和维度（dimension）。我们将探讨如何将组合对象（如向量）映射到向量空间中，并利用向量空间的性质来解决组合问题。例如，我们将学习如何利用向量空间来表示和分析编码理论中的信息。 域与组合设计： 域（Field）是更为抽象的代数结构，在编码理论和组合设计中有着重要的应用。本章将介绍有限域（finite field）的概念，并探讨其在设计不包含特定模式的组合结构方面的作用。我们将接触组合设计（Combinatorial Design）的概念，例如有限射影平面。 第四部分：代数方法在计数中的应用 这一部分将集中展示代数工具如何强大地解决计数问题。 Burnside引理与Polya计数定理： Burnside引理（Burnside's Lemma）和Polya计数定理（Pólya Enumeration Theorem）是解决对称性计数问题的两大重要工具。本章将详细讲解这两个定理的原理和应用。我们将学习如何利用群的作用来计算在对称操作下本质上相同的对象的数量。例如，我们将用这些定理来计算不同颜色的项链、不同构型的分子等。 生成函数与代数几何： 我们将在生成函数的基础上，进一步探索其与代数几何的联系。我们将学习如何将生成函数视为代数曲线或曲面，并利用代数几何的工具来研究它们的性质，从而获得组合信息。 线性代数在计数中的作用： 线性代数中的矩阵、行列式等工具在组合学中也有广泛应用。本章将展示如何利用矩阵来表示组合结构，并通过矩阵运算来解决计数问题。例如，我们将学习如何利用转移矩阵（transfer matrix）来计数具有特定性质的序列或图。 第五部分：特殊组合结构 本部分将聚焦于一些特殊的、具有重要研究价值的组合结构。 二项式系数矩阵与行列式： 我们将深入研究由二项式系数构成的矩阵，例如帕斯卡矩阵。我们将探讨这些矩阵的性质，以及如何通过计算它们的行列式来解决与计数相关的问题。 杨氏板与表示论： 杨氏板（Young Diagram）是表示整数分拆（integer partition）的一种图形化方式。本章将介绍杨氏板的定义和性质，并将其与群表示论联系起来。我们将探讨如何利用杨氏板来研究对称群的不可约表示（irreducible representation）。 格与有序集： 格（Lattice）是一种特殊的偏序集（partially ordered set），其结构可以被代数地描述。本章将介绍格的基本概念，并探讨其在组合学中的应用，例如组合计数、代数结构的研究等。 组合对象上的群作用： 这一章将系统地研究群如何作用在各种组合对象上，并利用群论的语言来描述组合对象的对称性。我们将学习如何分析和分类具有相同对称性的组合对象。 第六部分：进阶主题与研究方向 本书的最后部分将对一些进阶主题进行介绍，并展望代数组合学的发展方向。 代数语言学与自由群： 介绍自由群（free group）的概念，并探讨其在研究字符串结构和语言模型中的应用。我们将学习代数语言学（algebraic linguistics）的基本思想，以及如何用代数工具来分析语言的模式。 量子群与组合学： 简要介绍量子群（quantum group）的概念，并探讨其与组合学之间新兴的联系。我们将看到更抽象的代数结构如何影响组合问题的研究。 编码理论与代数几何： 介绍编码理论（coding theory）的基本原理，以及如何利用代数几何的工具来设计和分析纠错码。我们将看到代数方法在信息科学中的实际应用。 当前研究热点与开放问题： 本章将对当前代数组合学的一些前沿研究方向进行概述，并介绍一些尚未解决的开放问题，鼓励读者进行深入的探索和研究。 本书的目标是让读者不仅掌握组合学的基本工具，更能理解代数思维在解决组合问题中的强大力量。通过本书的学习，读者将能够运用代数工具来分析、建模和解决各种复杂的计数问题，并对数学的结构之美有更深刻的体会。

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