Periodicities in Nonlinear Difference Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Grove, E. A.; Ladas, Gerasimos; Grove, Grove

出品人:

页数:392

译者:

出版时间:2004-11

价格:$ 166.05

装帧:

isbn号码:9780849331565

丛书系列:

图书标签:

• nonlinear difference equations
• periodicity
• dynamical systems
• mathematical analysis
• discrete mathematics
• numerical analysis
• stability analysis
• bifurcation theory
• chaos
• applications

《非线性差分方程中的周期性》 引言 非线性差分方程作为数学建模和科学研究中的重要工具，其核心在于描述系统状态随离散时间步长演化的规律。这些方程不仅在理论数学领域占据重要地位，更在物理、工程、生物、经济等众多学科中展现出广泛的应用前景。特别地，非线性差分方程的周期性行为，即系统状态随时间呈现出重复性变化的规律，是理解和预测动态系统行为的关键。正是基于这一深刻洞察，本书《非线性差分方程中的周期性》应运而生，旨在系统、深入地探讨非线性差分方程中周期性现象的各个方面。 本书的撰写，力求在理论的严谨性与研究的前沿性之间取得平衡。我们不仅梳理了经典的研究成果，更着重展现了近年来在这一领域涌现出的新思想、新方法和新结论。希望通过本书，为广大研究者、工程师以及对动态系统感兴趣的学生提供一本全面、权威的参考读物，引领读者领略非线性差分方程周期性研究的魅力与深度。 第一章：非线性差分方程基础 本章是全书的基石，旨在为读者构建坚实的理论基础。我们将从最基础的定义出发，系统介绍非线性差分方程的基本概念、类型及其重要性。 差分方程的定义与分类： 详细阐述一阶、高阶差分方程，以及线性与非线性差分方程的区别。重点介绍多项式、指数、三角函数等典型非线性项的构造方式及其对系统动力学的影响。 解的存在性与唯一性： 探讨在不同条件下，非线性差分方程解的存在性与唯一性问题。介绍 Picard 迭代法、Banach 压缩映射原理等常用证明技巧。 平衡点与稳定性分析： 引入平衡点（不动点）的概念，并深入分析其稳定性。介绍线性化方法、李雅普诺夫函数法等分析稳定性的经典手段，并将其推广到非线性方程。 周期性解的初步认识： 引入周期性解的概念，并给出周期性序列的定义。探讨简单的线性周期方程及其周期解的性质，为后续章节的非线性周期性分析奠定基础。 数值方法简介： 简要介绍求解差分方程的数值方法，如欧拉方法、Runge-Kutta 方法等，为理解和验证理论结果提供工具。 第二章：周期性解的存在性理论 本章将集中探讨非线性差分方程中周期性解的存在性问题，介绍多种数学工具和分析方法。 不动点定理的应用： 深入分析 Banach 压缩映射原理、Brouwer 不动点定理、Leray-Schauder 拓扑度等不动点定理在证明周期性解存在性方面的应用。我们将通过具体的非线性差分方程例子，展示这些强大工具的威力。 Poincaré-Bendixson 定理的推广： 探讨 Poincaré-Bendixson 定理及其在离散系统中的推广应用，特别是在证明吸引子（包括周期性吸引子）的存在性方面。 泛函微分方程与周期性： 介绍具有泛函（延迟）的非线性差分方程，并探讨其周期性解的存在性。涉及延迟算子、相空间等概念。 变分方法与周期性： 探索利用变分原理（如最小能量原理）来构造和证明周期性解。介绍泛函分析中的相关概念，如 Hilbert 空间、Sobolev 空间等。 拓扑动力学视角： 从拓扑动力学的角度，研究周期性轨道与吸引集的关系，分析吸引集的拓扑性质。 第三章：周期性解的性质与分类 在证明了周期性解的存在性之后，本章将深入研究这些周期性解的内在性质和不同类型。 基本周期与最小周期： 定义基本周期和最小周期，并探讨周期性解的周期与其相关参数的关系。 稳定性分析： 详细分析周期性解的稳定性。介绍 Floquet 理论的离散形式，以及李雅普诺夫指数在判断周期性解稳定性中的作用。我们将区分稳定周期解、亚稳定周期解和不稳定周期解。 同宿轨道与异宿轨道： 引入同宿轨道（连接同一平衡点的闭合轨道）和异宿轨道（连接不同平衡点的轨道）的概念，并探讨它们与周期性解的关系。 分岔理论与周期性： 探讨周期性解如何随着系统参数的变化而产生分岔（如倍周期分岔、Hopf 分岔的离散类比）。介绍分岔图的概念，以及分析分岔的方法。 多周期性与准周期性： 讨论系统中可能存在的多个周期性解，以及准周期性（多个不同频率的周期性叠加）现象。介绍傅里叶分析在识别多周期性和准周期性中的应用。 第四章：特定类型非线性差分方程的周期性分析 本章将聚焦于一些具有代表性的非线性差分方程模型，深入分析它们的周期性行为，并展示不同分析方法的结合应用。 Logistic 映射及其推广： 详细分析经典的 Logistic 映射 $x_{n+1} = rx_n(1-x_n)$ 的周期性行为，包括其周期-n 轨道、倍周期分岔以及混沌现象的产生。在此基础上，介绍其推广形式，如 Pielou 映射、Ricker 映射等。 Lorenz 差分方程模型： 探讨 Lorenz 系统在离散化后可能出现的周期性行为，尽管 Lorenz 系统本身主要以混沌闻名，但其差分形式在特定参数下可能展现周期性。 生物种群模型： 分析离散的种群动力学模型，如离散 Lotka-Volterra 模型、离散 Gompertz 模型等，探讨种群数量的周期性振荡。 经济动力学模型： 研究离散的宏观经济模型，例如具有非线性投资或消费函数的模型，分析经济周期的产生机制。 电路与控制系统模型： 探讨离散模型在分析电子振荡器、非线性反馈控制系统等中的周期性行为。 第五章：数值方法与计算工具 理论分析固然重要，但数值计算在非线性差分方程周期性研究中也扮演着不可或缺的角色。本章将介绍常用的数值方法和计算工具。 迭代方法的实现： 详细介绍如何使用数值方法（如 Forward Euler, Backward Euler, Runge-Kutta 方法）求解非线性差分方程，并生成时间序列。 相图与吸引子可视化： 讲解如何绘制相图、Poincaré 截面等，直观展示系统的动态行为，识别周期性轨道和吸引子。 Lyapunov 指数计算： 介绍数值计算 Lyapunov 指数的方法，用于定量评估周期性解的稳定性。 分岔图的绘制与分析： 演示如何通过改变参数绘制分岔图，并解读图中的周期-n 窗口、混沌区域等信息。 常用软件介绍： 介绍 MATLAB, Python (SciPy, NumPy), Mathematica 等在差分方程数值求解和可视化方面的常用库和函数。 第六章：前沿研究与展望 本章将目光投向非线性差分方程周期性研究的最新进展和未来发展方向。 耦合差分方程组的周期性： 探讨多个耦合的非线性差分方程组成的系统，其整体或局部周期性行为的复杂性。 随机性对周期性的影响： 研究随机扰动如何影响非线性差分方程的周期性，以及随机共振等现象。 复杂网络上的差分方程动力学： 分析由大量节点组成的复杂网络中，每个节点上定义的非线性差分方程的同步性、集体周期性行为。 非线性差分方程的混沌与周期性之间的关系： 深入探讨混沌系统中的周期性窗口，以及如何从混沌中识别和提取周期性。 应用领域的拓展： 展望非线性差分方程周期性理论在人工智能、机器学习、大数据分析、量子计算等新兴领域的潜在应用。 结论 《非线性差分方程中的周期性》旨在为读者提供一个全面、深入的视角来理解和研究非线性差分方程中的周期性现象。通过理论与实践的结合，本书希望能够激发更多研究者对这一充满挑战和机遇的领域的兴趣，并为相关学科的发展贡献力量。本书的内容涵盖了从基础理论到前沿应用的各个层面，力求做到条理清晰、论证严谨、实例丰富，是研究非线性差分方程周期性问题的宝贵参考。

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