Galois theory， hopf algebras， and semiabelian categories. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:

出品人:

页数:570

译者:

出版时间:

价格:2332.00元

装帧:

isbn号码:9780821832905

丛书系列:

图书标签:

• Galois theory
• Hopf algebras
• Semiabelian categories
• Algebra
• Category theory
• Abstract algebra
• Mathematics
• Algebraic structures
• Field theory
• Ring theory

《伽罗瓦理论、霍普夫代数与半阿贝尔范畴：深刻洞见的数学交汇》 这是一部深入探索数学核心领域，揭示抽象代数、代数几何与范畴论之间精妙联系的学术专著。本书并非对现有理论的简单梳理，而是力图在伽罗瓦理论的深邃根基之上，引入现代代数结构——霍普夫代数，并在此基础上构建半阿贝尔范畴这一更为广阔的框架。通过对这三者的融合与辨析，本书旨在提供一种理解数学对象及其关系的全新视角，从而激发对更深层次数学结构与应用的探索。 核心内容梗概： 本书由三个紧密关联且相互启发的板块构成： 第一部分：伽罗瓦理论的现代重塑与拓展 伽罗瓦理论作为阐释域扩张与群论之间深刻联系的经典理论，在本部分得到了更为精细的审视与现代化的重塑。我们不仅仅回顾其在多项式方程根式可解性等基本问题上的辉煌成就，更着重于探讨其在现代数学中的新颖表现形式与深远影响。 基本概念的再审视： 本部分将从更抽象的代数角度出发，重新定义域扩张、分裂域、可分扩张等基本概念，并引入Galois群的生成元、关系等更精细的代数结构。我们将深入研究可解群与可分域扩张的对应关系，以及更一般的伽罗瓦扩张的性质，例如其作为域扩张中的“最强”扩张的地位。 不可分扩张的考量： 经典伽罗瓦理论主要关注可分扩张。本书将适度探讨不可分扩张的性质，例如其在某些局部域上的重要性，以及如何通过分离扩张与完美扩张的分解来理解其结构。我们将引入特征不为零的域上的形式导数等工具，来刻画与研究不可分扩张。 无限伽罗瓦理论： 随着数学的发展，无限伽罗瓦扩张的研究变得愈发重要。本书将介绍无限伽罗瓦群的结构，例如Profinite群，以及相应的无限伽罗瓦对应。我们将探讨其在代数数论、算术几何等领域的应用，例如德令哈群（Profinite Galois groups）在复数域扩张上的作用。 代数几何中的伽罗瓦理论： 伽罗瓦理论的观念已被广泛应用于代数几何。本书将探讨代数簇上的函数域扩张及其伽罗瓦群，例如研究黎曼曲面上的自同构群与函数域的伽罗瓦扩张之间的对应关系。我们将介绍Scheme理论背景下的局部伽罗瓦理论，以及其在研究几何对象的对称性上的作用。 算术群与伽罗瓦表示： 算术群（如GL(n, Z)）的表示理论与其关联的代数簇的伽罗瓦表示之间存在着深刻的联系。本书将初步涉猎这方面的研究，为后续霍普夫代数的引入埋下伏笔。 第二部分：霍普夫代数的结构、性质与应用 霍普夫代数，作为一种既有代数结构又有余代数结构的代数对象，在现代数学中扮演着日益重要的角色。它能够统一并泛化许多重要的代数概念，如群代数、泛包络代数、函数代数等。本部分将系统地介绍霍普夫代数的基本概念、核心性质，并展示其在不同数学分支中的强大应用。 霍普夫代数的定义与构造： 本部分将严格定义霍普夫代数，即结合代数与结合余代数，并配备相容的单位元、余单位元、抗合（antipode）等结构。我们将从具体的例子出发，例如群代数 $k[G]$、张量代数 $T(V)$ 上的某个特定结构，以及泛包络代数 $U(mathfrak{g})$，来直观理解霍普夫代数的构成。 霍普夫代数的结构理论： 我们将深入探讨霍普夫代数的重要结构，包括其子霍普夫代数、商霍普夫代数，以及霍普夫模（Hopf modules）的概念。我们将研究可交换霍普夫代数（即函数代数）、对偶霍普夫代数（dual Hopf algebras）等特殊情形，并分析其性质。 霍普夫代数的表示论： 霍普夫代数的表示论是其研究的核心内容之一。我们将介绍霍普夫代数的模（Hopf modules）与余模（co-modules），并分析其表示的分类与结构。我们将特别关注霍普夫代数上的“模范畴”（module category），并探讨其与代数基本性质之间的联系。 霍普夫代数与李代数/群的关系： 霍普夫代数与李代数（通过其泛包络代数）和代数群（通过其函数代数）有着天然的联系。本部分将详细阐述这种联系，例如如何从李代数构造霍普夫代数，以及如何通过霍普夫代数来理解代数群的结构。 霍普夫代数在代数几何与数学物理中的应用： 我们将展现霍普夫代数在代数几何中的应用，例如其作为函数代数在研究群簇（group schemes）时的作用。同时，本部分还将简要介绍霍普夫代数在量子群、量子群代数、可积系统等数学物理领域的重要应用，例如在量子信息处理和统计力学中的潜在价值。 第三部分：半阿贝尔范畴的理论与统一视角 范畴论提供了一种抽象且普适的语言来描述数学结构。半阿贝尔范畴（Semiabelian Categories）是范畴论中一类特殊的范畴，它们结合了阿贝尔范畴的许多优良性质，同时又允许更一般的非交换对象存在。本部分将构建一个理论框架，将前两部分的内容有机地整合在一个范畴论的视角下。 阿贝尔范畴与阿贝尔群的泛化： 本部分将首先回顾阿贝尔范畴的基本定义与性质，例如核、像、余核、余像、短正合列等。在此基础上，我们将引入半阿贝尔范畴的概念，强调其作为阿贝尔范畴的泛化，允许存在“不太好的”对象，例如非交换的群对象（group objects）。 群对象与李群对象： 在范畴论的语言中，群对象（group objects）是范畴中的“群”。我们将深入研究群对象及其性质，并引申出李群对象（Lie group objects）的概念，其本质上是将李代数的概念推广到范畴中。这部分将与第一部分中的伽罗瓦群概念产生微妙的联系。 霍普夫代数作为范畴中的结构： 本部分将展示霍普夫代数如何在半阿贝尔范畴中扮演重要角色。我们将探讨霍普夫代数在范畴中的“群对象”或“代数对象”地位，以及其模与余模如何构成范畴的子范畴或全子范畴。例如，在代数群的范畴中，霍普夫代数作为函数代数，其表示的范畴恰好是该范畴中的一个子范畴。 半阿贝尔范畴与经典理论的统一： 本部分的核心目标是将伽罗瓦理论和霍普夫代数统一在一个半阿贝尔范畴的框架下。我们将探索如何从伽罗瓦理论的域扩张和伽罗瓦群出发，构建一个与霍普夫代数相关的范畴。反之，我们也将展示如何从霍普夫代数出发，构造出具有丰富结构（例如，可以被理解为某种伽罗瓦理论背景）的半阿贝尔范畴。 研究实例与未来展望： 本部分将通过具体的例子，展示半阿贝尔范畴的威力。例如，考虑代数群的范畴，其本身就是一个半阿贝尔范畴。本书将探讨该范畴中的各种结构，以及它们与霍普夫代数和伽罗瓦理论的联系。最后，本书将对这一研究方向的未来发展进行展望，包括其在更广泛的数学领域（如代数几何、数论、表示论）的应用潜力，以及可能的新理论突破。 本书特色： 跨学科的深度融合： 本书并非简单地并列介绍三个独立的主题，而是通过精妙的设计，将伽罗瓦理论的代数直觉、霍普夫代数的强大代数工具、以及范畴论的抽象统一语言有机地结合起来，展现数学内部深刻的联系。 严谨的数学论证： 本书以严谨的数学语言和清晰的逻辑推理为基础，提供详实的证明和细致的解释，力求使读者能够透彻理解所介绍的数学概念和理论。 理论与应用的结合： 在深入介绍理论的同时，本书也积极探讨了这些数学概念在代数几何、数论、表示论等领域的实际应用，揭示了抽象数学的强大生命力。 激发研究的创新视角： 本书旨在为数学研究者提供一种新的视角来审视和理解现有理论，并鼓励他们在此基础上进行更深入的探索和创新。 目标读者： 本书适合具有扎实抽象代数和基础范畴论知识的研究生、博士后研究人员以及相关领域的数学教师和研究者。对于对代数几何、数论、表示论、同调代数等领域感兴趣的数学家，本书也将提供宝贵的见解。 本书的出版，将为数学界提供一个连接经典理论与现代前沿的全新平台，有望在未来引发新的研究热潮。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆