Researches respecting the imaginary roots of numerical equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Scholarly Publishing Office, University of Michigan Library

作者:Michigan Historical Reprint Series

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-12-20

价格:USD 14.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781418178154

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数
• 数值分析
• 方程
• 虚根
• 复数
• 数学史
• 高等数学
• 解析学
• 19世纪数学

《数值方程虚根研究》：对数学核心难题的深刻探索 这是一部深入探讨数值方程虚根奥秘的著作。本书并非简单罗列公式或技巧，而是以一种严谨的、富有洞察力的视角，剖析虚根在数学方程中所扮演的关键角色及其产生的深层原因。作者通过对历史上数学家们在这一领域不懈探索的梳理，以及自身对数学理论的精妙运用，构建起一个全面而深刻的理论框架。 一、 历史的足迹：从直觉到严谨的演进 本书伊始，便引领读者穿越数学史的漫漫长河，追溯人类对虚根概念的认知历程。在早期，数学家们面对某些方程，如 $x^2 + 1 = 0$，其根无法在实数范围内找到时，常常陷入困境。这些“不可能”的根，最初被视为纯粹的虚构，甚至是数学运算中的“污点”。然而，随着数学家们不断地挑战和拓展思维的边界，这些“虚幻”的存在逐渐显露出其不可或缺的重要性。 作者详细阐述了早期数学家如卡尔达诺（Cardano）和蓬贝利（Bombelli）等人在处理三次方程时，偶然遇到的复数运算。他们发现，即使在计算过程中出现了虚数，最终却能得出真实的实数解，这无疑为虚数的存在提供了初步的证据，尽管彼时对其性质的理解仍显模糊。这些早期探索，充满了直觉的闪光和试探性的步伐，为后来的理论发展奠定了基础。 随后，书中聚焦于17世纪和18世纪的数学巨匠们，如笛卡尔（Descartes）、牛顿（Newton）和欧拉（Euler）。笛卡尔首次引入了“虚根”（imaginary root）这一术语，尽管他的理解仍带有一定的负面色彩，将其视为“不存在”的根。牛顿则在对多项式根的研究中，提出了许多关于根的性质的猜想，其中也触及了虚根的分布问题。而欧拉，则以其非凡的洞察力，在复数运算和代数方程理论方面取得了突破性进展，他清晰地阐述了复数的代数形式，并证明了代数方程的根都是复数。 本书对这些历史性的贡献进行了细致的梳理和解读，展现了从模糊的直觉到逐渐清晰的概念，再到严谨的数学定义的演进过程。读者将了解到，每一个看似简单的数学概念背后，都凝结了无数先哲的智慧和汗水。 二、 理论的基石：复数域的构建与代数基本定理 本书的核心论证，建立在对复数域的深刻理解之上。作者详细阐述了复数域的构造，从实数域的扩张，到引入虚数单位 $i$ (其中 $i^2 = -1$)，再到定义复数的一般形式 $a + bi$ (其中 $a$ 和 $b$ 为实数)。这一过程不仅是数学上的形式化，更是对逻辑推理和抽象思维能力的极致体现。 书中重点阐述了代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）。这一奠基性的定理指出，任何一个次数为 $n ge 1$ 的一元复系数多项式方程，在复数域内至少有一个根。并且，它还可以进一步推论出，这样的方程恰好有 $n$ 个根（计重数）。这是本书论证的基石，意味着数值方程的虚根并非“多余”，而是构成完整解集不可分割的一部分。 作者以清晰的逻辑和丰富的例证，解释了代数基本定理的意义。它不仅统一了实数方程和复数方程的求解框架，也揭示了复数域的完备性。在复数域中，任何多项式方程都有解，这使得代数研究得以进入一个更加和谐与完整的体系。本书深入剖析了证明代数基本定理的各种方法，包括基于拓扑学、复分析以及代数几何的思路，展现了不同数学分支如何殊途同归地证明这一核心命题。 三、 虚根的特性与方程的深层结构 一旦承认了虚根的存在，它们所展现出的特性便成为研究的焦点。本书深入探讨了虚根的各种性质，特别是它们与实根之间的相互关系。 共轭虚根定理 (Conjugate Root Theorem)：本书详细阐述了这一重要定理，即如果一个实系数多项式方程有一个复数根 $a + bi$ ($b eq 0$)，那么它的共轭复数 $a - bi$ 也一定是方程的根。作者通过代数推导和几何直观，揭示了这一性质的根源。共轭虚根的出现，使得方程的解集呈现出一种对称性，也简化了对实系数方程根的分析。 根的分布与多项式的拓扑性质：书中探讨了虚根在复数平面上的分布情况。作者引入了根轨迹（Root Locus）等概念，说明当多项式方程的系数发生变化时，其根在复数平面上的移动轨迹。这揭示了方程的解与其系数之间微妙而深刻的联系，也与函数的零点分布、奇点分析等复分析中的重要问题紧密相连。 数值方法的关联：虽然本书侧重于理论研究，但作者也暗示了虚根理论对于数值计算方法的重要性。许多求解高次方程的数值算法，其收敛性、稳定性和效率，都与方程根的分布，特别是虚根的存在与否密切相关。例如，在某些迭代算法中，如果方程存在虚根，可能会导致算法的收敛行为发生变化，甚至出现周期性振荡。 四、 虚根的应用：超越代数本身 本书的价值并不仅限于纯粹的代数理论。作者通过引人入胜的论述，揭示了虚根在数学和其他科学领域中的广泛应用，从侧面证明了其现实意义。 物理学与工程学：在许多描述物理现象的微分方程中，如电路分析、振动系统、量子力学等，都会出现以虚数指数形式表示的解，例如 $e^{i omega t}$。这些解直接揭示了系统的振荡、衰减或增长特性。虚数在这里不再是抽象的概念，而是描述物理实在的必要工具。 信号处理与傅里叶分析：傅里叶级数和傅里叶变换是现代信号处理、图像处理和通信工程的核心。这些变换的核心就是将复杂的函数分解为一系列正弦和余弦函数的叠加，而复数指数 $e^{i omega t}$ 则提供了更为简洁和强大的表达方式，使得傅里叶分析更加优雅和高效。 复分析与其他分支的联系：本书也简要提及了复数在复分析中的核心地位，以及复分析理论在解决许多实际问题（如流体力学、空气动力学等）中的强大能力。复变函数论的研究，正是建立在复数域的基础之上，并深刻地揭示了虚根在几何和分析方面的丰富内涵。 五、 总结与展望 《数值方程虚根研究》是一部具有里程碑意义的著作。它不仅系统地梳理了数值方程虚根的理论发展脉络，深入剖析了复数域的数学结构以及虚根的内在性质，更重要的是，它揭示了虚根在解决数学难题和描述现实世界现象方面所展现出的强大力量。 本书的作者以其深厚的学术功底和清晰的叙述风格，将枯燥的数学理论化为引人入胜的智力探险。它适合所有对数学有浓厚兴趣的读者，特别是那些希望深入理解代数方程本质、探索数学抽象之美，并认识到数学工具在解决实际问题中无穷潜力的学者和学生。本书提供的知识，将为读者打开一扇通往更广阔数学世界的大门，激发他们进一步探索未知领域的勇气和热情。通过阅读本书，读者将深刻体会到，那些曾经被视为“虚幻”的根，恰恰构成了我们理解世界运行规律的坚实基石。

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