Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials (University Lecture Series, Vol 12) ULECT/12 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:I. G. MacDonald

出品人:

页数:63

译者:

出版时间:1998-06

价格:USD 22.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821807705

丛书系列:University Lecture Series

图书标签:

• Symmetric Functions
• Orthogonal Polynomials
• Combinatorics
• Algebra
• Mathematical Analysis
• University Lecture Series
• Mathematics
• Polynomials
• Functions
• Algebraic Combinatorics

对称函数与正交多项式的深邃探索 本书《对称函数与正交多项式》深入剖析了数学中两个紧密相连且影响深远的领域：对称函数与正交多项式。这两大概念不仅各自拥有丰富的理论体系，更是在许多数学分支中交织出现，成为理解和解决复杂问题的关键工具。本书旨在为读者提供一个全面而深刻的视角，揭示它们之间的内在联系、核心性质以及广泛的应用。 第一部分：对称函数的宇宙 对称函数是研究多项式根的性质时自然出现的一类函数。一个多项式的根的置换不会改变其对称函数的取值，这赋予了它们独特的结构和强大的分析能力。本书将从最基本的定义出发，逐步带领读者进入对称函数的广阔世界。 基本概念与性质： 我们将从基本对称多项式（如初等对称多项式 $e_k$ 和幂和对称多项式 $p_k$）的定义开始，阐述它们的生成函数、它们之间的联系，以及它们在多项式根的代数关系中所扮演的角色。读者将了解如何用这些基本对称多项式来表达更一般的对称函数，以及它们在处理牛顿恒等式等重要代数关系中的作用。 Macdonald多项式与Jack多项式： 随着深入，我们将聚焦于更复杂但更具普适性的对称函数家族，特别是Macdonald多项式和Jack多项式。这些多项式不仅保留了基本对称函数的许多优良性质，还引入了额外的参数，使其在组合数学、表示论和统计物理等领域展现出惊人的灵活性和强大的建模能力。我们将详细介绍它们的定义、递归关系、正交性以及它们在各种组合对象的计数问题中的应用，例如图着色、杨表计数等。 表示论的视角： 对称函数与表示论有着不解之缘。本书将阐述对称函数如何自然地对应于某些李群或一般线性群的表示。特别是，我们将探索它们如何作为 $mathfrak{gl}_n$ 的表示理论中的重要对象，以及它们在研究李群表示的特征标（如Weyl公式）中的作用。这将为读者提供一个更深层次的理解，将代数结构与几何结构联系起来。 组合解释： 本书的一个重要特色是将抽象的代数概念与直观的组合解释相结合。我们将深入探讨对称函数在各种组合对象（如杨表、路、置换）中的组合意义，并利用组合方法来证明重要的代数恒等式。这不仅有助于直观理解，更能为解决新的计数问题提供思路。 第二部分：正交多项式的王国 正交多项式是另一类在数学和物理学的许多分支中都扮演着核心角色的函数类。它们具有在某个加权积分下的正交性，这一性质使得它们在逼近、积分、微分方程求解以及概率论中具有极其重要的应用。 基本理论与性质： 我们将从正交多项式的基本定义开始，包括内积空间的定义、正交性条件，以及如何通过Gram-Schmidt正交化过程构造一套正交多项式基。我们将讨论正交多项式的递归关系、根的分布性质（如所有根为实数且位于某个区间内）、以及它们满足的微分方程（如Sturm-Liouville方程）。 经典正交多项式家族： 本书将系统介绍几种最重要的经典正交多项式家族，包括： Hermite多项式： 与高斯分布相关，在量子力学和概率论中极为常见。 Laguerre多项式： 在求解径向薛定谔方程和一些概率分布中扮演重要角色。 Legendre多项式： 在球坐标系下的偏微分方程求解（如拉普拉斯方程）中至关重要，也是逼近理论的基础。 Chebyshev多项式： 在逼近理论、数值积分和傅里叶分析中有着广泛应用，特别是其对函数逼近的最佳性质。 Gegenbauer多项式、Jacobi多项式： 这些更一般的多项式族可以包含上述经典多项式作为特例，它们在数学物理的各种问题中具有更广泛的适用性。 本书将详细讨论它们的定义、性质、递归关系、与特殊函数（如Gamma函数、Beta函数）的关系，以及它们在特定问题中的应用。 特殊函数的联系： 正交多项式与许多特殊函数（如超几何函数）有着密切的联系。本书将揭示这种联系，利用特殊函数的理论来理解和推广正交多项式的性质。 微分方程的解： 许多重要的偏微分方程（如热方程、波动方程、拉普拉斯方程）的解可以利用正交多项式来表达。本书将展示如何利用正交多项式的完备性来求解这些方程，并讨论其在物理学中的应用，例如在电磁学、流体力学和量子场论等领域。 数值方法中的应用： 正交多项式在数值积分（如高斯求积）和函数逼近中发挥着关键作用。本书将探讨如何利用正交多项式的根作为求积节点，以实现高精度的数值积分。同时，也将讨论如何利用正交多项式基来逼近复杂的函数，并分析逼近的误差。 第三部分：连接的桥梁：对称函数与正交多项式的交汇 本书的精华在于揭示对称函数与正交多项式之间深刻而美妙的联系。这种联系不仅体现在它们的代数性质上，更体现在它们在统一理论框架下的协同工作。 特殊函数与对称性： 许多重要的特殊函数，包括经典正交多项式，都具有某种形式的对称性，而这些对称性往往可以用对称函数的语言来精确描述。本书将探讨如何利用对称函数的工具来理解和分类特殊函数，特别是那些与李群和代数群相关的函数。 Whittaker-Shannon采样定理的推广： 在信号处理领域，Whittaker-Shannon采样定理是基础。本书将探讨正交多项式和对称函数如何为这些采样理论提供更广阔的框架，尤其是在非均匀采样和多维信号处理方面。 表示论中的统一： 对称函数是表示论中的核心对象，而许多表示论中的重要结果（如特征标公式）都与正交多项式密切相关。本书将深入阐述它们在表示论中的统一作用，例如在研究Schur代数、Hecke代数等代数结构时，对称函数和正交多项式扮演着互补的角色。 组合恒等式的证明： 许多组合恒等式可以通过构建一个能够同时处理对称性和正交性的代数结构来证明。本书将展示如何利用对称函数的性质来构造与正交多项式相关的递归关系，从而证明复杂的组合恒等式。 新兴领域的探索： 随着研究的深入，对称函数和正交多项式在量子信息、随机矩阵理论、统计物理等新兴领域也展现出越来越重要的作用。本书将适当地触及这些前沿方向，为读者提供进一步探索的灵感。 《对称函数与正交多项式》是一部面向数学、物理学及相关领域研究人员和高年级学生的著作。通过对这两个重要数学概念的系统性阐述和深入的关联分析，本书旨在为读者提供一个坚实的理论基础，并激发他们在解决实际问题和进行理论研究中的创新思维。无论是对代数结构的深刻理解，还是对复杂问题的建模与求解，本书都将成为读者宝贵的参考。

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