Symplectic geometry and Fourier analysis (Lie groups ; v. 5) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Math Sci Press

作者:Nolan R Wallach

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1977

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780915692156

丛书系列:

图书标签:

• Symplectic geometry
• Fourier analysis
• Lie groups
• Differential geometry
• Mathematical physics
• Topology
• Harmonic analysis
• Classical mechanics
• Representation theory
• Geometry

好的，这是一份关于《Symplectic Geometry and Fourier Analysis (Lie Groups; v. 5)》这本书的详细简介，不包含该书本身的内容，而是围绕其可能涉及的领域进行深入的、独立的阐述。 经典与现代数学的交汇：辛几何、傅里叶分析与李群的广阔图景 本书的标题本身就勾勒出数学物理与纯数学中两个核心且深奥的分支的交汇点：辛几何 (Symplectic Geometry) 与 傅里叶分析 (Fourier Analysis)，它们在 李群理论 (Lie Group Theory) 的框架下得到了有力的统一。尽管我们不直接讨论该书的具体内容，我们可以从这三大支柱出发，构建一个理解它们之间深刻联系的详尽背景。 第一部分：辛几何——经典力学的语言与拓扑的精妙 辛几何是微分几何的一个重要分支，其核心在于研究辛流形 (Symplectic Manifolds) 及其上的辛形式 (Symplectic Form)。 1. 辛形式与泊松括号 辛流形 $(M, omega)$ 是一个光滑流形 $M$ 配备一个闭合的、非退化的二形式 $omega$。这个二形式 $omega$ 扮演着至关重要的角色，它允许我们在流形上定义一个泊松括号 ${f, g}$，这直接对应于经典哈密顿力学中的动力学演化律。 对于流形上的任意两个光滑函数 $f$ 和 $g$，泊松括号定义为： $${f, g} = omega(X_f, X_g)$$ 其中 $X_f$ 和 $X_g$ 分别是哈密顿向量场 (Hamiltonian Vector Fields)，它们由 $df$ 和 $dg$ 通过 $omega$ 导出。这种代数结构——泊松代数——是辛几何的核心，它将微分几何的连续性与代数结构的精确性结合起来。理解辛流形的结构，就是理解任何保守系统（即哈密顿系统）如何在其相空间中演化。 2. 辛同胚与不变量 辛几何的几何等价关系是辛同胚 (Symplectomorphism)，即保持辛形式 $omega$ 的微分同胚。与黎曼几何中长度和面积被保留不同，辛几何的拓扑不变量更为微妙。著名的诺特定理 (Noether's Theorem) 在辛框架下得到了更优雅的表达，通过能量守恒与对称性的对应关系。 更进一步，刘维尔积分 (Liouville Integrability) 概念依赖于在辛流形上找到一组相互泊松对易的函数，这在研究可积系统时至关重要。此外，诺梅尔-温施泰因（Noremy-Weinstein） 等人的工作揭示了辛流形与李群的某种“几何切片”关系，尤其是在描述李群的共轭类时，它们天然地带有辛结构。 第二部分：傅里叶分析——从周期到无穷远处的变换 傅里叶分析是研究函数分解为其正弦和余弦分量（或复指数形式）的数学工具。它在处理偏微分方程（PDEs）、信号处理以及函数空间的分析中占据核心地位。 1. 经典傅里叶变换与抽象调和分析 在 $mathbb{R}^n$ 上，傅里叶变换 $mathcal{F}{f}(xi) = int_{mathbb{R}^n} f(x) e^{-2pi i x cdot xi} dx$ 是一个基础操作。它将函数从“空间域”转换到“频率域”，常常将微分运算转化为简单的乘法运算，极大地简化了对线性偏微分方程（如热方程、波动方程）的求解。 当我们将分析的目光投向更一般的空间，比如调和分析 (Harmonic Analysis)，傅里叶分析就发展成为对抽象群上的函数进行分析。这要求我们理解酉表示 (Unitary Representations) 的性质，特别是拉东-约翰 (Radon-John) 积分和测度论在定义广义傅里叶级数和变换中的作用。 2. 概率与分析的桥梁 在概率论中，傅里叶分析表现为特征函数 (Characteristic Function)。对于一个随机变量 $X$，其特征函数 $phi_X(t) = E[e^{itX}]$ 是其概率密度函数的傅里叶变换（可能相差一个因子）。这种联系在证明中心极限定理和理解随机过程的收敛性时至关重要。 第三部分：李群理论——对称性的代数核心 李群是既是群又是光滑流形的结构，并且群的乘法和求逆运算都是光滑的。它们是描述连续对称性的基本对象，从旋转群 $SO(3)$ 到洛伦兹群 $O(3,1)$，它们在物理学和几何学中无处不在。 1. 李代数与指数映射 李群 $G$ 的核心伴随结构是其李代数 $mathfrak{g}$，即在单位元处的切空间。李代数通过李括号 $[X, Y]$ 捕捉了群结构中的无穷小关系。从李代数到李群的桥梁是通过指数映射 $exp: mathfrak{g} o G$ 实现的。 李群理论的强大之处在于，许多关于群的全局拓扑和分析性质可以转化为对其局部（代数）结构——李代数——的研究。例如，群的表示理论（如何将群作用于向量空间）完全由其李代数的表示理论所决定。 2. 齐性空间与对称性 李群经常作用于流形，形成齐性空间 (Homogeneous Spaces)。例如，球面向前（$S^n$）是正交群 $O(n+1)$ 作用于 $mathbb{R}^{n+1}$ 的法向量集而得到的商空间。在这些空间上，李群的作用提供了强大的对称性，使得分析和几何问题得以简化。 第四部分：三者的交汇——几何、分析与群论的合奏 当辛几何、傅里叶分析与李群理论相遇时，我们进入了现代数学物理的前沿领域，尤其是可表示性理论 (Representation Theory) 和量化 (Quantization) 过程。 1. 几何量化与柯舍尔-里曼 (Kirillov-Riemann) 观点 辛几何为经典力学提供了精确的语言；傅里叶分析（抽象调和分析）为量子力学中的表示和谱理论提供了工具。 在几何量化 (Geometric Quantization) 的框架下，辛流形（经典系统的相空间）被用于“提升”到希尔伯特空间上的量子理论。这个过程的几何基础往往需要一个相容的极化 (Compatible Polarization)，而这个极化结构常常与作用于流形的某个李群的对称性紧密相关。 著名的柯舍尔-里曼-威格纳 (Kirillov-Riemann-Wigner) 分布，是研究李群表示理论的关键工具。它将群的不可约表示与其在群的共轭类（这些共轭类在某些李群上天然带有辛结构，如 $S^1 imes S^1$ 上的表示）联系起来。这里的分析涉及对李群对偶空间（即傅里叶分析在离散群上的推广）的深入理解。 2. 伪微分算子与 Wigner 变换 傅里叶分析在几何中的直接应用是伪微分算子 (Pseudodifferential Operators) 的理论，这是椭圆方程理论和渐近分析的基石。这些算子可以被视为在辛流形上的某种“泛函化”的微分操作。 为了在辛流形上局部地定义量子算符，常常使用Wigner 分布（或 Weyl 变换）的概念。Wigner 分布将希尔伯特空间上的密度算符映射回相空间（辛流形），它本质上是量子态在辛几何中的“半经典”傅里叶图像。这种变换依赖于李群作用下的平移不变性（或者更一般地，是群的无穷小生成元结构），从而将三个领域无缝连接起来。 总结而言，一个深入探讨这三者交汇的专题著作，必然会涉及如何利用李群的对称性来结构化辛流形，并应用高级的傅里叶分析工具（如调和分析和特征函数理论）来解决从经典系统量化到抽象群表示的深刻问题。

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