New Developments in Lie Theory and Their Applications (Progress in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhauser Verlag AG

作者:

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1992-11

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764336196

丛书系列:

图书标签:

• Lie Theory
• Mathematics
• Representation Theory
• Algebra
• Progress in Mathematics
• Mathematical Physics
• Group Theory
• Differential Geometry
• Harmonic Analysis
• Operator Algebras

好的，这是一本关于经典几何学与拓扑学前沿进展的图书简介，旨在探讨自二十世纪中叶以来，传统几何框架在新的数学和物理学需求下如何演化和扩展。本书内容专注于几何学中的若干核心领域，这些领域虽然与李理论有着深刻的联系，但其关注点和方法论有着显著的区别和各自的独立发展轨迹。 --- 几何学与拓扑学前沿进展：超越传统框架的几何构造 ISBN/暂定：978-1-68088-553-6 页数：约 600 页 装帧：精装 导言：几何学的复兴与多面性 二十世纪下半叶，数学的重心之一在于对“空间”这一基本概念的重新审视。微分几何不再仅仅是经典流形上的光滑结构研究，而是与代数几何、拓扑学、甚至函数分析深度交织的复杂体系。本书汇集了当代几何学研究中最活跃的几个领域，它们共同描绘了一幅超越经典欧几里得和黎曼几何的广阔图景。我们关注的是，在面对奇点、非连通性、以及高维抽象结构时，几何学家如何构建出稳定且具有解释力的理论框架。 本书内容组织为五个主要部分，每一部分都深入探讨了一个关键的研究方向。 --- 第一部分：奇异空间与奇点理论的几何基础 本部分聚焦于研究那些不满足光滑流形定义的空间——即具有奇点的几何对象。传统微分几何依赖于流形的局部可微性假设，但许多重要的数学对象（如代数簇的零点集、或某些物理模型中的极限情况）本质上是奇异的。 第一章：下半层空间 (Sub-Riemannian Geometry) 与接触结构 我们详细考察了下半层空间（或称非完整系统）的几何特性。这类空间由一个光滑流形 $M$ 及其上的一个可微分布 $mathcal{D}$ 定义，其中 $mathcal{D}$ 在任何点上都不是切空间的完备分解。 Carnot-Carathéodory 距离的性质： 重点分析了由 $mathcal{D}$ 上的水平向量场生成的距离函数，特别是这些距离在奇点附近的渐进行为。 Hörmander 条件与可达性： 对 $mathcal{D}$ 满足 Hörmander 条件（即 $mathcal{D}$ 及其所有李括号生成的子空间可以张成整个切空间）的流形进行深入探讨，并将其与可解性问题关联起来。 接触结构与规范（Gauge）理论的联系： 探讨了由三维或更高维的接触结构（如辛几何中的特殊情形）如何自然地引出奇异结构，以及这些结构在非线性偏微分方程中的体现。 第二章：奇点理论的拓扑不变式 本章侧重于如何使用拓扑工具来量化和分类奇点。 局部上同调与局部同伦群： 研究在奇点附近，局部空间（如Milnor纤维）的拓扑性质如何反映出原始奇点的代数结构。我们详细讨论了 Milnor 椭圆柱上的纤维丛结构及其对奇点平展（unfolding）理论的贡献。 稳定映射理论与 Thom-Mather 理论的局限性： 分析在研究稳定映射时，如何处理涉及非光滑映射的局部结构，并引入了新的不变量来区分不同类型的奇点（如尖点、Umbilic 奇点）。 --- 第二部分：非交换几何与量子空间的构造 本部分跳出了传统上基于局部欧几里得空间的几何观念，探索了由非对易代数或算子代数所描述的空间。 第三章：非交换流形与谱几何（Spectral Geometry） 这一章主要探讨 Alain Connes 的非交换几何纲领，但着重于其在纯代数和算子理论上的构造，而非直接与李群作用挂钩。 C-代数与非交换流形的谱描述： 阐述如何通过一个合适的 $C^$-代数 $mathcal{A}$ 来定义一个“非交换空间”，并利用其上的狄拉克算子（Dirac operator）来重构几何信息。 Noncommutative Index Theory (非交换指标理论)： 深入分析了非交换版本的 Atiyah-Singer 指标定理，特别是如何在非交换 $K$-理论和 $KK$-理论的框架下定义和计算谱指标。 量子群作为非交换空间的例子： 虽然本书不深入李群本身，但我们使用量子群的代数结构作为非交换几何的一个重要实例，展示如何从量子化的代数结构中恢复出某些离散的或有限维的几何特征。 --- 第三部分：高维拓扑与微分几何的交叉领域 本部分关注纯拓扑结构如何通过微分几何的工具得到深化和分类，特别是对高维流形的研究。 第四章：特征类与流形上的拓扑场论（TQFT） 本章不再局限于经典Chern-Weil理论，而是转向更高阶的特征类及其在低维拓扑场论中的应用。 Pontryagin 类与高阶示量（Higher Pontryagin Forms）： 考察如何通过微分形式来定义更精细的特征类，这些形式通常需要引入曲率的更高阶导数或关联（connections）。 Chern-Simons 理论的几何起源： 详细分析了三维流形上的 Chern-Simons 理论，强调其对纽结不变量（如Jones 多项式的一般化）的贡献，以及它在理论物理中作为拓扑量子场论的地位。 流形上的共形场论（CFT）与共形几何： 探讨了曲率张量与共形变换之间的关系，特别是对于黎曼曲面和更高维流形上的共形群作用的几何分析。 第五章：复杂几何与卡勒几何的边界 本章探讨了具有额外结构的流形，特别是那些与复分析和代数几何紧密相关的结构。 辛流形上的拉格朗日子流形（Lagrangian Submanifolds）： 研究在辛结构下，拉格朗日子流形如何作为一类重要的“半经典”几何对象。重点分析 Fukaya 范畴与辛拓扑的联系。 Calabi-Yau 结构的拓扑约束： 考察了 Calabi-Yau 流形的拓扑性质，如 Hodge 数的特定模式，以及这些模式如何限制了它们可以承载的复结构和辛结构。我们关注如何利用其零曲率条件来理解其代数本质。 --- 第四部分：几何动力学与遍历理论 本部分将几何研究转向了由动力学系统产生的流形上的结构。 第六章：测地流与拓扑共振 研究测地线流（Geodesic Flow）在黎曼流形上的动力学行为，特别是关注其拓扑和统计性质。 负曲率流形上的动力学： 详细分析了曲率恒为负的流形上（如双曲空间）测地流的完全混沌性，包括引入了 Anosov 系统和因子（Factors）的概念。 拓扑熵与测度： 探讨了用拓扑熵来量化流形上局部几何结构扩散的速度，以及与该流形上特定测度（如自然测度或平衡测度）的精确关系。 --- 结语：几何学的未来方向 本书最后总结了这些独立分支如何相互启发，并指出当前几何学前沿的一些未解难题，例如，如何将奇异空间的几何理论与高维拓扑场论的代数结构更系统地统一起来。本书适合于具有扎实微分几何和拓扑学基础的研究人员和高年级研究生。

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