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精通微积分：大学数学基础与应用 作者： 王立德，李明华 出版社： 启航教育出版社 版次： 2023年第一版 页数： 580页 开本： 16开 ISBN： 978-7-5555-9876-5 --- 内容简介： 《精通微积分：大学数学基础与应用》是一部全面、深入且极具实用价值的大学高等数学教材及参考书，专为理工科、经济管理类及其他需要扎实数学基础的学生和专业人士设计。本书旨在系统梳理微积分学的核心概念、理论体系与实际应用技巧，帮助读者建立起严谨的数学思维和解决复杂问题的能力。 第一部分：函数、极限与连续性——微积分的基石 本书开篇即详尽阐述了高等数学中最基础也是最关键的三个概念：函数、极限与连续性。我们不仅回归了实数系统的严密定义，如 $epsilon-delta$ 语言的精确表达，更重要的是，通过大量的实例和几何直观的图解，使得抽象的极限概念变得易于理解。 函数与图形分析： 详细介绍了基本初等函数（指数、对数、三角函数及其反函数）的性质、图像及其变换。特别强调了函数的复合与反演在实际建模中的作用。 极限理论的构建： 深入探讨了数列的极限、函数的极限，并严格推导了极限的四则运算法则、保序性定理等基本性质。书中穿插了丰富的数列收敛性判别法，如夹逼定理、单调有界定理，并对无穷小与无穷大进行了系统比较。 连续性与间断点： 对函数在一点的连续性、闭区间上的连续性进行了严格定义，并阐述了连续函数在闭区间上所具有的重要性质，如有界性、最值定理、介值定理。这些性质是后续微分学和积分学理论推导的逻辑起点。 第二部分：微分学——变化率的精确描述 微分学是描述事物瞬时变化规律的强大工具。本书在介绍微分学的过程中，注重理论的严谨性与计算技巧的熟练掌握。 导数的定义与计算： 从平均变化率过渡到瞬时变化率，精确定义了导数。系统整理了基本函数的求导法则，并对复合函数、隐函数、参数方程的求导进行了详尽的讲解，尤其是对高阶导数的计算，提供了多组经典例题。 微分中值定理的几何与代数意义： 费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明过程清晰严谨，并着重分析了它们在几何上（切线存在性、平均斜率）和代数上（近似计算）的意义。 导数的应用： 这是本书应用性最强的部分之一。 函数图像的描绘： 运用一阶和二阶导数（单调性、凹凸性、拐点、极值、渐近线）对复杂函数进行全面分析，并提供大量函数图像的绘制步骤。 最优化问题： 包含了大量的实际应用案例，如资源配置、工程设计中的最大利润、最小成本等问题的建立模型与求解。 曲率与曲率半径： 对曲线的几何性质进行了深入探讨，是理解空间几何变换的基础。 第三部分：不定积分与定积分——积累与求和的艺术 积分学是微积分的另一大支柱，用于处理累积效应和面积、体积的计算。 不定积分： 详细介绍了直接积分法、换元积分法（第一、第二类）和分部积分法。对于三角函数、有理函数、简单无理函数的积分，提供了清晰的解题思路和技巧分类。特别关注了欧拉换元法等高级积分方法的应用。 定积分的概念与性质： 从黎曼和的定义出发，自然引入了定积分的概念，并阐述了定积分的基本性质。 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）： 这是连接微分与积分的桥梁，本书对其证明进行了详细剖析，并强调了其在定积分计算中的核心地位。 定积分的应用： 覆盖了广阔的应用领域： 几何应用： 面积（平面图形、曲面下）、体积（旋转体、横截面法）、曲线的弧长。 物理应用： 功、质心、压力、液体重心等经典物理问题的数学表达与求解。 第四部分：多元函数微积分初步 本书将内容拓展至二元及多元函数，为读者进入更高级的数学分析打下基础。 偏导数与全微分： 明确区分了偏导数与全微分的概念，并详细讲解了复合函数的求偏导（链式法则的多元形式）。 多元函数的极值： 介绍了海塞矩阵和二阶偏导数判别法，用于求解多变量函数的最优化问题，这对于经济学和工程优化至关重要。 二重积分基础： 介绍了二重积分的定义、性质及其在平面区域上的计算方法（直角坐标系、极坐标系下的化分）。 特色与优势： 1. 理论深度与应用广度并重： 每一章节的理论推导都力求严谨，同时配备了大量的、源自物理、工程、经济学等领域的实际应用案例，确保知识的学以致用。 2. 详尽的例题剖析： 全书包含超过 800 道精心挑选的例题和习题，其中数百道例题提供了详细的解题步骤和思路引导，帮助学生掌握从基础到综合的解题技巧。 3. 清晰的逻辑结构： 内容组织遵循“定义 $
ightarrow$ 性质 $
ightarrow$ 证明 $
ightarrow$ 应用”的经典数学教学逻辑，脉络清晰，便于自学和复习。 4. 配套资源丰富： 随书附赠“微积分核心公式速查手册”，方便读者在复习和考试时快速查阅关键公式和定理。 适用对象： 全国各高校理工科、经济学、管理学等专业本科生。 需要复习或巩固高等数学基础的在职工程师和科研人员。 准备参加研究生入学考试（如数学一、数学二、数学三）的考生。 通过研读《精通微积分：大学数学基础与应用》，读者将不仅掌握计算技巧，更能深刻理解微积分作为描述动态世界语言的精髓。
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