Multivariable Calculus and Exploring Multivariable Calculus with Mathematica to Accompany McCallum M pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:John Wiley & Sons Inc

作者:William G. McCallum

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1998-03

价格:USD 101.90

装帧:Paperback

isbn号码:9780471183921

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
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微积分的广阔天地：从基础到高阶的探索 本书旨在为读者提供一个全面且深入的微积分学习体验，涵盖从单变量基础到多变量高级概念的完整知识体系。我们致力于构建一座坚实的数学桥梁，连接初识微积分的严谨定义与其实际应用中的复杂挑战。 第一部分：夯实基础——单变量微积分的基石 学习微积分，如同攀登一座高山，必须首先稳固地基。本部分将聚焦于单变量函数，建立起极限、导数和积分的核心概念。 1. 极限与连续性：数学的精确语言 本章从直观的“趋近”概念入手，逐步引入 $epsilon-delta$ 语言，使读者领会极限的数学严谨性。我们将详细探讨单侧极限、无穷极限以及垂直渐近线和水平渐近线。对连续性的探讨将超越形式定义，深入剖析它在函数行为预测中的重要作用，包括中间值定理的实际意义。 2. 导数的本质与运算 导数是变化率的度量，是微积分的心脏。我们不仅会详细推导基本的微分法则（幂、乘积、商、链式法则），还将花费大量篇幅讲解超越函数（三角函数、指数函数、对数函数）的求导。重点将放在导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（瞬时速度与加速度）。我们还会引入隐函数求导法和相关变化率的应用实例，帮助读者将抽象的导数概念转化为解决实际问题的工具。 3. 导数的应用：理解函数图像与优化 导数的力量在于其分析能力。本章将全面介绍利用一阶和二阶导数进行函数分析：确定函数的单调区间、极值点（局部最大值与最小值）以及凹凸性。洛必达法则作为处理不定型的强力工具将被详尽讲解。更重要的是，我们将通过大量的实际问题，如最大化利润、最小化成本、相关速率问题，展示优化理论在工程、经济学中的核心地位。 4. 积分：累积与面积的几何学 定积分被引入为黎曼和的极限，这是从离散求和迈向连续累积的关键一步。我们将精确定义定积分，并探讨其几何意义（曲线下的面积）。不定积分作为导数的逆运算（反导数）将被系统介绍。 5. 微积分基本定理：连接导数与积分的桥梁 微积分基本定理是微积分理论体系的精髓。我们将分部详细阐述该定理的两部分——如何用定积分来定义反导数，以及如何使用反导数来计算定积分。随后，我们将深入探讨积分技巧：换元法（微积分中的“链式法则”逆过程）是本节的重点，并将介绍分部积分法，为更复杂的积分问题做准备。 6. 微积分的应用：累积的定量分析 本章将拓宽积分的应用范围，包括计算平面区域的面积、体积（圆盘法、扇形法、壳层法），以及更进一步地，应用在物理学（如求质心、质心、转动惯量）和经济学中。 7. 不定积分与广义积分的拓展 我们探讨数列和级数的基础知识，为向多变量微积分过渡做准备。随后，我们将处理积分的“不规则”情况——广义积分（积分区间无限或被积函数不连续），并引入判定广义积分收敛性的判别法。 第二部分：迈向高维空间——多变量微积分的构建 当世界不再局限于平面时，我们需要新的数学工具来描述和分析。第二部分将把我们已有的微积分知识扩展到三维及更高维度。 8. 空间几何与向量代数：多维坐标系的建立 多变量分析始于对空间的理解。本章将详细介绍三维笛卡尔坐标系，并引入向量的概念。我们将学习向量的加减法、标量乘法，以及两个核心运算：点积（用于投影和计算夹角）和叉积（用于确定垂直向量和平行四边形的面积）。最后，我们将研究直线和平面的参数方程与向量方程，这是理解空间几何的基础。 9. 偏导数：沿特定方向的变化率 在多变量函数中，一个函数依赖于多个变量。偏导数允许我们孤立地考察函数沿着某个坐标轴方向的变化率。我们将详细讲解偏导数的计算方法，并重点阐述全微分的概念，它是从有限差分到无限小变化的精确线性近似。 10. 链式法则与方向导数：深入方向的探索 多变量函数的链式法则远比单变量复杂，需要精妙的结构。我们将系统梳理不同情况下链式法则的应用。随后，引入方向导数，它描述了函数在任意给定方向上的变化速率。梯度（Gradient）向量被定义为包含所有偏导数的向量，它是指向函数值增加最快方向的向量，其模长即为最大方向导数，这是理解高维梯度下降算法的关键。 11. 多元函数的极值问题：寻找高维的峰谷 如何在高维曲面中找到最高点和最低点？本章将扩展单变量的极值理论。我们将使用偏导数来寻找函数的临界点，并发展多元函数的二阶偏导数判别法（Hessian 矩阵的概念被初步引入）来区分鞍点、局部极大值和极小值。随后，拉格朗日乘数法将被详细讲解，作为在约束条件下求解优化问题的强大工具。 12. 向量场与线积分：路径上的累积 我们从标量场转向向量场（如流体速度场或电场）。向量场中的线积分是沿着特定路径对某个函数（如力场做功）进行累积的数学表达。我们将探讨线积分的计算方法，并引入保守场和势函数的概念，为格林定理做铺垫。 13. 多重积分：面积与体积的更高维度扩展 将积分的概念扩展到二维和三维区域。二重积分被用来计算平面区域上的质量或体积，而三重积分则用于计算三维物体的体积或质量分布。本章的重点在于掌握积分区域的设定，以及从笛卡尔坐标系到极坐标系（二维）和柱坐标系/球坐标系（三维）的坐标变换技巧，这是解决复杂几何体积分问题的核心。 14. 向量微积分的顶点：格林、斯托克斯与散度定理 本部分是多变量微积分理论体系的巅峰。我们将严谨地介绍三大基本定理： 格林定理：将平面区域上的二重积分与封闭曲线上的线积分联系起来。 斯托克斯定理：将曲面上的曲面积分与该曲面的边界曲线上的线积分联系起来，是法拉第电磁感应定律的数学基础。 散度定理（高斯定理）：将通过一个封闭曲面的通量（Flux）与该曲面所包围的区域内的散度三重积分联系起来，是理解流体或场如何“散开”或“汇聚”的关键。 通过对这些定理的深入理解和应用，读者将能够驾驭描述自然界中各种复杂场论现象的强大数学框架。本书力求在严谨的数学推导和直观的几何解释之间找到完美的平衡点，确保读者不仅“知道如何做”，更能“理解为什么”。

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