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出版者:

作者:Stanley I. Grossman

出品人:

页数:784

译者:

出版时间:1994-1

价格:$ 355.89

装帧:

isbn号码:9780030973543

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 初等线性代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 代数
• 矩阵
• 向量
• 数学分析
• 工程数学

《空间几何与代数结构：探索数学的深层联系》 本书旨在为读者构建一个严谨而富有洞察力的数学框架，深入剖析空间几何的直观美学与代数结构的抽象逻辑如何相互渗透，揭示其背后深刻的数学联系。本书并非对特定 textbook 的改编或概括，而是致力于从基础概念出发，引导读者建立起独立理解和应用数学工具的能力。 第一部分：向量空间与线性变换的基石 我们将从向量空间的定义开始，详细阐述向量加法、标量乘法的基本性质，并引入线性组合、生成集、线性无关等核心概念。通过直观的几何解释和严谨的代数推导，读者将深刻理解子空间的概念，并掌握判断一个集合是否构成子空间的充要条件。 为了更好地描述向量空间之间的映射关系，我们引入线性变换。本书将详细讲解线性变换的定义、性质，以及矩阵与线性变换之间的深刻联系。读者将学会如何通过矩阵来表示线性变换，并理解矩阵乘法在变换复合中所扮演的角色。此外，我们还将探讨核（Kernel）与像（Image）的概念，并阐述它们与线性变换的性质以及方程组解空间的紧密关系。 第二部分：矩阵运算的精妙与方程组的求解 本部分将聚焦于矩阵的运算，包括矩阵的加法、数乘、乘法、转置等。我们将深入探讨矩阵乘法的性质，并分析其在复合变换、多步操作中的应用。在此基础上，本书将详细讲解矩阵的逆，包括其存在条件、求解方法以及在解线性方程组中的重要作用。 线性方程组是代数与几何交汇的重要体现。本书将从列空间、零空间的角度，提供对线性方程组解空间的深入理解。读者将学习高斯消元法（行简化阶梯形）的原理和技巧，并掌握如何利用它来求解任意规模的线性方程组，判断其解的存在性和唯一性。此外，我们还将介绍克拉默法则（Cramer's Rule）等其他求解方法，并分析其适用范围和计算效率。 第三部分：行列式的威力与特征值/特征向量的洞察 行列式作为一种重要的矩阵不变量，在代数和几何中都扮演着关键角色。本书将系统地介绍行列式的定义、性质，并教授计算不同尺寸矩阵行列式的各种方法，包括代数余子式展开法和行（列）变换法。我们将揭示行列式与矩阵可逆性、方程组解的唯一性之间的深刻联系，并探讨其在计算几何面积、体积等方面的应用。 特征值和特征向量是理解线性变换行为的关键工具。本书将详细讲解特征值和特征向量的定义，并教授计算方法。我们将深入分析特征值和特征向量的几何意义，理解它们如何描述线性变换在特定方向上的伸缩行为。通过对特征值和特征向量的深入研究，读者将能够更好地理解矩阵的对角化，以及它在简化复杂问题、分析动力系统等领域的强大作用。 第四部分：内积空间、正交性与几何应用的拓展 本书还将引入内积空间的概念，为向量空间引入长度和角度的度量。我们将详细讲解各种内积的定义（如欧几里得内积），并推导其性质，包括柯西-施瓦茨不等式。在此基础上，我们将深入探讨正交性，讲解正交向量组、正交基的概念，以及格拉姆-施密特正交化过程。 正交性在几何和代数中都有着广泛而重要的应用。我们将展示如何利用正交基来简化问题的求解，例如投影的概念和最小二乘法。此外，本书还将初步介绍正交矩阵及其性质，以及它们在坐标变换、数据降维等领域的实际应用。 第五部分：多线性代数与张量的初步探索 为了进一步拓展数学的边界，本书将初步引入多线性代数和张量的概念。我们将从双线性形式出发，逐步过渡到多线性映射，并理解张量作为多线性映射的推广。尽管这一部分将侧重于概念的引入和基本性质的阐述，但它将为读者打开一扇通往更高级数学领域的大门，例如微分几何、物理学中的理论等。 学习目标与方法 本书的学习目标是： 建立坚实的理论基础： 掌握向量空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值等核心概念及其相互关系。 培养严谨的数学思维： 能够进行逻辑严密的证明，并清晰地阐述数学论证过程。 提升解决问题的能力： 能够运用所学知识分析和解决各种代数和几何问题，特别是线性方程组的求解和线性变换的应用。 激发数学兴趣： 通过对数学概念的深入理解和对抽象结构的探索，激发读者对数学更深层次的兴趣。 本书的教学方法将结合理论讲解、例题分析和练习题。我们会提供大量的例子来 ilustrar 抽象的概念，并鼓励读者通过解决练习题来巩固和应用所学知识。本书注重概念的理解和数学方法的掌握，而非机械的计算技巧。 面向读者 本书适合以下读者： 对数学有浓厚兴趣，希望系统学习线性代数基础知识的学生。 需要掌握线性代数作为工具的理工科、计算机科学、经济学等领域的研究者和从业人员。 希望提升自身数学素养，拓展思维边界的任何读者。 本书提供了一个扎实而全面的线性代数学习路径，旨在帮助读者建立起对数学结构和空间关系的深刻理解，为他们未来的学习和研究打下坚实的基础。

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