Topology, Geometry, and Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Alejandro Adem

出品人:

页数:264

译者:

出版时间:2001-09-01

价格:USD 70.00

装帧:Mass Market Paperback

isbn号码:9780821820636

丛书系列:contemporary mathematics

图书标签:

• 拓扑学
• 几何学
• 代数学
• 数学
• 抽象代数
• 微分几何
• 代数拓扑
• 数学分析
• 点集拓扑
• 群论

《拓扑、几何与代数》 内容简介 《拓扑、几何与代数》是一本深入探讨三个数学核心领域之间深刻联系的权威著作。本书旨在为读者提供一个全面而系统的视角，揭示拓扑学、几何学和代数结构如何相互交织，共同构建出更为宏伟和强大的数学理论框架。本书不仅会梳理各个领域的经典概念和方法，更会着重分析它们在现代数学研究中的融合与应用，展现数学思想的魅力与演进。 第一部分：拓扑学的基石与拓展 本部分将从拓扑学的基本概念入手，为后续的深入讨论奠定坚实基础。我们将首先介绍集合论作为拓扑学语言的底层支撑，包括集合、子集、并集、交集、笛卡尔积等基本运算，以及重要的概念如映射（函数）及其性质，如单射、满射、双射、逆映射等。在此基础上，我们将正式引入拓扑空间的概念。这包括开集、闭集、邻域等基本定义，以及它们之间的关系。我们将探讨不同的拓扑的构造方法，例如子空间拓扑、积拓扑和商拓扑，理解这些拓扑如何从已有的拓扑空间中生成新的拓扑空间，以及它们在刻画集合结构上的作用。 接着，本书将深入研究连续映射，这是连接不同拓扑空间的桥梁。我们将分析连续映射的性质，如复合映射的连续性，以及它们在保持拓扑结构上的重要性。我们将引入同胚的概念，这是拓扑学中最核心的等价关系，它允许我们将具有相同拓扑性质的对象视为等价的。我们将通过一系列经典的例子，如欧几里得空间、球面、环面等，来阐述同胚的概念及其应用，理解“拉伸”、“弯曲”而不“撕裂”、“粘合”是拓扑变换的本质。 本部分还将探讨一些重要的拓扑不变量，这些量在同胚映射下保持不变，是区分不同拓扑空间的有力工具。我们将介绍连通性，包括路径连通性和（无）连通性，并分析它们如何刻画空间的“整体性”或“破碎性”。紧致性作为另一核心概念，将被深入讨论，它与有限性有着密切的联系，在分析函数的行为和极限时起着至关重要的作用。我们将探讨紧致空间的性质，以及紧致集在连续映射下的像仍然是紧致的这一重要定理。 此外，我们还会触及分离公理（T0, T1, T2/Hausdorff, T3/Regular, T4/Normal），它们描述了拓扑空间中点之间的“可区分性”程度，并引出更精细的拓扑结构。同时，可数公理（第一可数、第二可数）将帮助我们理解空间的“大小”和“维度”，为引入度量空间和后续的几何讨论做准备。度量空间作为一种特殊的拓扑空间，其度量赋予了距离的概念，我们将研究度量空间中的开集、闭集、收敛序列以及完备性等重要性质。 第二部分：几何学的形式与变换 本部分将聚焦于几何学的概念，从欧几里得几何的直观性出发，逐渐引入更抽象和一般的几何范畴。我们将从欧几里得空间的性质开始，回顾向量代数、线性变换、内积等基本概念，以及它们在描述距离、角度和体积上的作用。这将是理解更一般几何空间的基础。 随后，我们将引入微分几何的核心思想。我们将探讨流形的概念，将其理解为局部上类似于欧几里得空间的“弯曲”空间。我们将介绍切空间、切向量场、微分形式等概念，它们是描述流形上局部几何性质的工具。联络和曲率将是微分几何的重中之重，联络定义了向量在流形上“平行移动”的方式，而曲率则衡量了这种平行移动的不一致性，它深刻地揭示了空间的几何本质。我们将通过高斯曲率和里奇曲率等例子，展示曲率如何决定空间的局部几何形状。 本书还将深入探讨黎曼流形，即在流形上赋予了度量张量的空间。这将使我们能够精确地定义流形上的距离、长度、角度和体积，并研究测地线，即“最短路径”。我们将分析高斯-博内定理等重要的几何学定理，这些定理将拓扑性质与几何性质紧密联系起来，例如，在一个二维闭合曲面上，其高斯曲率的积分（即高斯曲率积分）与其欧拉示性数（一个拓扑不变量）相等。 我们还将审视射影几何，它研究在射影变换下不变的性质。我们将介绍齐次坐标、无穷远点等概念，并理解射影变换如何推广欧几里得变换，以及它在计算机视觉、投影成像等领域的应用。 此外，本书还会涉及辛几何，它在物理学，特别是经典力学和量子力学中有重要应用。我们将介绍辛流形、泊松括号等概念，并分析它们如何刻画相空间的几何结构。 第三部分：代数结构的统一与联系 本部分将围绕代数结构展开，展示它们如何在不同层面统一和组织数学对象。我们将从群论开始，这是研究对称性和变换的基石。我们将介绍群、子群、正规子群、商群、同态、同构等基本概念，并探讨凯莱定理等关于群结构的重要结果。我们将分析各种类型的群，如阿联群、对称群、置换群，以及它们在编码理论、晶体学等领域的应用。 接着，我们将进入环论和域论。我们将研究环的定义、理想、商环、整环、主理想整环（PID）、唯一因子分解整环（UFD）等概念，理解代数运算的结构性。我们将探讨域，特别是域的扩张，以及它们在伽罗瓦理论中的应用。 线性代数作为代数结构的重要分支，将得到充分的阐述。我们将深入研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式、特征值和特征向量等核心概念。我们将分析对角化、若尔当标准型等，并研究向量空间之间的同构。 本书的重点之一将是揭示代数结构与拓扑学和几何学之间的深刻联系。例如，基本群（fundamental group）将作为第一个连接代数和拓扑的桥梁。我们将定义基本群，并展示它如何用群的语言来描述空间的“洞”和“连通性”。我们将解释同伦等价如何转化为群的同构，从而提供一种代数方式来区分拓扑空间。 我们将探讨李群和李代数，它们是描述连续对称性的强大工具。李群是具有光滑流形结构的群，而李代数则刻画了李群在单位元附近的局部行为。我们将介绍指数映射，它连接了李代数和李群，并展示它们在微分方程、量子场论等领域的应用。 最后，本书将展望代数拓扑的更广泛领域，例如同调论和上同调论。这些代数工具提供了更为强大的拓扑不变量，能够区分更精细的拓扑结构，并解决了基本群所无法解决的问题。我们将初步介绍链复形和同调群的概念，展示它们如何用代数方法来“计算”空间的拓扑性质，例如，欧拉示性数可以通过链复形的性质来计算。 结论 《拓扑、几何与代数》旨在构建一座数学理解的桥梁，连接并整合了拓扑学、几何学和代数这三大数学支柱。通过深入剖析它们的核心概念，并着重揭示它们之间错综复杂的相互关系，本书将引导读者领略数学思维的深度与广度，认识到这些抽象概念如何共同塑造我们对空间、结构与变换的理解，并为解决现实世界中的复杂问题提供强有力的理论工具。本书适合数学专业本科生、研究生以及任何对数学深层结构感兴趣的研究人员阅读。

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