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出版者:

作者:邸继征

出品人:

页数:257

译者:

出版时间:2010-1

价格:40.00元

装帧:

isbn号码:9787030261069

丛书系列:

图书标签:

• 计算机科学
• 数学
• 小波变换
• 小波分析原理
• 小波分析
• 信号处理
• 数学分析
• 傅里叶分析
• 时频分析
• 图像处理
• 数据分析
• 数值计算
• 工程数学
• 高等数学

泛函分析导论 本书旨在为读者提供一个坚实的泛函分析基础，深入探讨向量空间、赋范空间、巴拿赫空间、希尔伯特空间等核心概念，并在此基础上介绍算子理论、谱理论等更高级的主题。本书内容循序渐进，逻辑清晰，力求让读者在理解抽象概念的同时，也能体会到其在数学和其他科学领域中的广泛应用。 第一章 向量空间与线性代数基础 本章将回顾并巩固读者在向量空间方面的基本知识，为后续泛函分析的学习奠定基础。我们将从集合和映射的基本概念出发，介绍域、向量空间、子空间、线性组合、线性无关、基、维数等核心概念。 集合与映射： 复习集合的基本运算，如并集、交集、差集，以及集合之间的映射。重点介绍单射、满射、双射及其性质。 域： 定义域的概念，并以实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 为例进行说明。 向量空间： 严格定义向量空间，给出向量加法和标量乘法的公理。通过具体的例子，如多项式空间、函数空间、矩阵空间等，加深读者对向量空间的理解。 子空间： 定义子空间的充要条件，并展示如何判断一个向量子集是否构成子空间。 线性组合与生成空间： 引入线性组合的概念，并定义由一组向量生成的子空间（生成空间）。 线性无关与线性相关： 讨论一组向量的线性无关性，以及线性相关性如何体现在向量组之间存在某种比例关系。 基与维数： 定义向量空间的基，即线性无关且能生成整个空间的向量组。引入向量空间的维数概念，并证明有限维向量空间的维数是唯一的。 同构： 介绍向量空间的同构概念，并说明同构的向量空间在代数结构上是等价的。 第二章 度量空间与拓扑基础 本章将引入度量空间的概念，这是泛函分析中研究“距离”和“收敛性”的基础。在此基础上，我们将探讨度量空间中的拓扑性质。 度量： 定义度量（距离函数）的性质，如非负性、对称性、三角不等式和零点性。介绍常用的度量，如欧几里得度量、曼哈顿度量、离散度量等。 度量空间： 定义度量空间，并从向量空间出发构造度量空间。给出球、开集、闭集、邻域等基本拓扑概念。 收敛性： 定义度量空间中序列的收敛性，并探讨收敛序列的唯一性。 Cauchy序列： 定义Cauchy序列，并给出Cauchy序列的性质。 完备性： 引入完备度量空间的概念，即所有Cauchy序列都收敛的度量空间。强调完备性在分析学中的重要性。 第三章 赋范向量空间 本章将进一步深化对向量空间的度量性质的研究，引入赋范向量空间的概念，它结合了向量空间和度量空间的结构。 范数： 定义范数（长度）的性质，如非负性、齐次性、三角不等式和正定性。给出向量空间中常用的范数，如 $L^p$ 范数。 赋范向量空间： 定义赋范向量空间，并说明如何由范数诱导出度量，从而使赋范向量空间成为一个度量空间。 子空间与闭包： 探讨赋范向量空间的子空间及其闭包。 有限维赋范向量空间： 证明在有限维赋范向量空间中，所有范数都是等价的，并且所有有限维赋范向量空间都是完备的。 无限维赋范向量空间： 介绍无限维赋范向量空间的例子，并强调它们与有限维空间的区别。 第四章 巴拿赫空间 本章将聚焦于完备的赋范向量空间——巴拿赫空间，它是泛函分析中最基本也是最重要的研究对象之一。 巴拿赫空间： 定义巴拿赫空间，并给出许多重要的巴拿赫空间例子，如 $C[a,b]$（连续函数空间）、$L^p$（可积函数空间）、$l^p$（序列空间）等。 连续线性算子： 定义两个巴拿赫空间之间的连续线性算子，并讨论其性质。介绍算子的界性和范数。 开映射定理： 陈述并证明开映射定理，这是泛函分析中的一个核心定理，它表明连续的、满射的线性算子一定是开映射。 闭图像定理： 陈述并证明闭图像定理，这是开映射定理的一个重要推论，它提供了判断线性算子连续性的一个有力工具。 有界反比定理： 陈述并证明有界反比定理，它说明如果一个线性算子是双射且有界，那么它的反算子也是有界的。 第五章 希尔伯特空间 本章将引入具有内积结构的赋范向量空间——希尔伯特空间，它在许多领域，尤其是在量子力学和信号处理中有着至关重要的作用。 内积： 定义内积的性质，如线性性、共轭对称性、正定性。给出向量空间中常用的内积，如欧几里得内积。 内积空间： 定义内积空间，并说明如何由内积诱导出范数，从而使内积空间成为一个赋范向量空间。 希尔伯特空间： 定义希尔伯特空间，即完备的内积空间。给出重要的希尔伯特空间例子，如 $L^2$（平方可积函数空间）、$l^2$（平方可积序列空间）。 正交性与正交基： 定义向量的正交性，并介绍正交集、正交基的概念。 Riesz 表示定理： 陈述并证明 Riesz 表示定理，它建立了希尔伯特空间与其对偶空间之间的等距同构关系。 投影定理： 陈述并证明投影定理，它描述了在闭凸子集上的最佳逼近。 第六章 算子理论初步 本章将初步探讨巴拿赫空间和希尔伯特空间上的线性算子，这是泛函分析的核心研究内容之一。 有界线性算子： 再次回顾并深入研究有界线性算子，包括其性质、范数以及与矩阵的联系。 算子空间： 讨论有界线性算子构成的空间，并证明其为一个巴拿赫空间。 逆算子： 研究线性算子的逆，以及逆存在的条件。 紧算子： 引入紧算子的概念，并讨论其在谱理论中的重要性。 自伴随算子： 在希尔伯特空间中，介绍自伴随算子的概念及其性质。 第七章 谱理论入门 本章将初步介绍算子的谱理论，它研究的是线性算子在复数域上的“广义特征值”问题，在微分方程、量子力学等领域有广泛应用。 预备知识： 复数域上的线性代数基础。 Resolvent 集与谱： 定义算子的 Resolvent 集和谱。 有限维情况下的谱： 讨论有限维向量空间中算子的谱，即特征值的集合。 有界算子的谱： 探讨有界线性算子的谱的性质。 紧算子的谱： 介绍紧算子的谱的特点，包括其离散性和非零部分的零特征值。 自伴随算子的谱： 讨论自伴随算子谱的性质，特别是其谱位于实轴上。 第八章 应用初步 本章将展示泛函分析理论在解决实际问题中的一些简单应用，旨在激发读者进一步探索的兴趣。 积分方程： 利用巴拿赫不动点定理（压缩映射原理）求解某些积分方程。 微分方程： 探讨利用泛函分析方法研究常微分方程和偏微分方程解的存在性、唯一性和性质。 傅里叶分析： 简要介绍傅里叶级数和傅里叶变换与希尔伯特空间的关系。 最优化问题： 阐述泛函分析在最优化问题中的应用，例如凸优化。 本书的目标是为读者构建一个严谨而系统的泛函分析理论框架，为他们深入学习相关领域的数学和科学知识打下坚实的基础。通过理论推导和丰富的例子，本书力求使抽象的数学概念变得直观易懂，并展示泛函分析在现代科学技术中的强大力量。

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这本书真是让我大开眼界，尤其是关于信号处理那一块的论述，简直是教科书级别的深度。作者对傅里叶变换的局限性分析得入木三分，那种层层递进的逻辑推导，让人不由自主地被吸引进去，仿佛置身于一个精密的数学迷宫中，每走一步都能发现新的美妙结构。我尤其欣赏他对时间-频率局部化问题的探讨，那些复杂的公式背后，蕴含着对物理世界现象的深刻洞察。阅读过程中，我时常需要停下来，对照着图表反复琢磨，生怕错过任何一个微妙的数学细节。这本书的排版清晰，图示直观，即便是初次接触这个领域的读者，也能通过严谨的推导建立起扎实的理论基础。它不是那种浮于表面的科普读物，而是真正深入核心概念的硬核之作，读完之后，我对如何捕捉和分析非平稳信号有了全新的认识，这对于我后续的研究工作无疑是巨大的助力。对于任何想在信号分析领域深耕的人来说，这本书都是不可或缺的工具书。

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说实话，一开始我对这本书抱有很高的期望，但同时也担心它会因为过于专业而显得晦涩难懂。然而，阅读体验超出了我的预期。作者在处理那些高维度的概念时，展现出惊人的洞察力，他能够将抽象的数学概念“具象化”。例如，书中对比不同变换方法的图示部分，简直是视觉学习者的福音，那些色彩的运用和空间结构的展示，比单纯的文字描述有效得多。这本书的价值不仅在于教授知识，更在于培养一种解决问题的“直觉”。通过阅读作者对各个案例的分析，我学会了在面对未知信号时，如何迅速判断哪种工具最合适，以及如何调整参数以达到最优效果。这不再是简单的学习，而是一种思维方式的升级。

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这是一本真正能让人“坐得住”的书，那种沉浸式的学习体验非常难得。它仿佛一位经验丰富、知识渊博的导师，耐心地引导你穿越一片知识的迷雾。我特别欣赏作者在讨论收敛性和误差分析时所采取的平衡态度，他既没有回避理论上的严苛要求，也没有让这些分析成为阻碍理解的绊脚石。书中对离散化过程的讨论尤其到位，这直接关系到算法在计算机上的实现。通过这本书，我不仅掌握了一套强大的分析工具，更重要的是，我理解了为什么这套工具在特定的物理和工程问题中表现优异。它不仅仅是一本关于方法的书，更是一本关于“如何用数学语言精确描述世界”的哲学思考。读完后，我感到自己的工具箱里多了一把精确到原子级别的测量尺。

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这本书的学术严谨性令人肃然起敬。它不像市面上很多声称是“入门”的书那样，只是简单罗列了几个公式然后草草收场。相反，作者对每一种基函数的选择、对正交性的严格要求，以及如何从理论走向实际应用中的数值算法，都有着极其细致和负责任的阐述。我个人对其中关于构造特定正交基的章节印象最为深刻，作者不仅展示了如何构造，更深入探讨了不同构造方法在计算复杂度和信号重构精度上的权衡。这表明作者对理论的掌握已臻化境，能够清晰地区分出理论上的“完美”与工程实践中的“可行”。对于我这种偏爱从底层原理去理解一切的读者来说，这本书提供了无与伦比的深度和扎实的理论支撑，它让我相信，真正的力量来源于对基础的深刻理解。

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我一直以为自己对数学工具的掌握已经相当不错了，直到翻开这本关于某种特定分析方法的书，才发现自己之前的理解是多么的片面和肤浅。作者在介绍核心概念时，没有急于抛出复杂的数学定义，而是先用非常生动和贴近实际的例子来引入问题的背景，这种叙事手法极大地降低了理解的门槛。我特别喜欢其中关于多分辨率分析的部分，它巧妙地将尺度（Scale）和位置（Location）结合起来，构建了一个既有广度又有深度的分析视角。这种“望远镜”和“显微镜”同时聚焦的能力，简直是解决复杂系统分析的“瑞士军刀”。书中的推导过程详尽而又富有启发性，每一步的转换都有清晰的物理或数学动机支撑，这让学习过程变得非常流畅，而不是枯燥的公式堆砌。读完这本，我感觉自己的思维框架都被重塑了，看待数据和信息的方式也变得更加灵活和全面。

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