Exercises in Abelian Group Theory (Texts in the Mathematical Sciences) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:D. Valcan

出品人:

页数:351

译者:

出版时间:2003-04-30

价格:USD 109.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781402011832

丛书系列:

图书标签:

• Abelian Group Theory
• Group Theory
• Abstract Algebra
• Mathematics
• Texts in the Mathematical Sciences
• Algebraic Structures
• Mathematical Exercises
• Problem Solving
• Higher Education
• Pure Mathematics

抽象代数与群论的广阔天地：数学研究的基石 《抽象代数基础：从环到域的探索》 （A Foundation in Abstract Algebra: Exploring from Rings to Fields） 本书旨在为数学系本科高年级学生和研究生提供一套全面且深入的抽象代数教材，特别侧重于群、环和域这三大核心结构的严谨构建与深入分析。本书并非简单地罗列定义和定理，而是致力于构建一个连贯的理论框架，引导读者理解这些代数结构是如何在不同数学分支中发挥关键作用的。全书结构清晰，逻辑严密，旨在培养读者进行抽象思维和解决复杂代数问题的能力。 第一部分：群论的坚实基础 (Foundations of Group Theory) 第一部分将群论视为抽象代数的心脏，从最基础的概念出发，逐步攀升至更复杂的结构。 第一章：代数结构的基本要素 本章首先回顾集合论和映射的基本概念，为后续的代数结构奠定必要的语言基础。随后，引入“群”的公理化定义，并详细分析群运算的性质，如结合律、单位元和逆元的唯一性。我们将通过大量的实例——包括对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$、一般线性群 $GL_n(mathbb{F})$ 以及加法群 $mathbb{Z}_n$ 和 $mathbb{R}^+$ ——来具体化抽象定义。特别地，本章会引入半群、幺半群的概念，并探讨它们的与群的内在联系。 第二章：子群、陪集与拉格朗日定理 本章是群论的核心篇章之一。我们详细探讨子群的定义、生成子群的概念以及如何利用生成元来描述群的结构。陪集的引入是理解商群的关键，我们将严格证明拉格朗日定理，并深入探讨其推论，例如元素阶的性质。通过陪集的构造性讨论，读者将对群的分解有更直观的认识。 第三章：群同态与同构 本章侧重于结构保持的映射——同态。我们定义群同态和群同构，并证明同构是群结构的“等价性”关系。核（Kernel）和像（Image）的概念将被详尽阐述，并在此基础上，严格证明第一同构定理（或称规范定理），这是连接商群与同态像的桥梁。后续将讨论群间的同态的性质，例如同态的复合以及同构的必要条件。 第四章：正规子群与商群 正规子群是构造商群的前提。本章将清晰界定正规子群的特征，并分析其在群中扮演的角色。商群（或因子群）的构造将通过陪集运算给出，并证明商群上的运算良定义。我们将通过实例（如 $mathbb{Z}$ 对 $nmathbb{Z}$ 的商群 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$，以及一般线性群对中心的正规子群）来巩固理解。 第五章：群的作用与西洛定理 群作用（Group Actions）是连接抽象群与具体对象的强大工具。本章将定义群作用，并引入轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的概念。通过轨道-稳定子定理，我们将量化群作用的复杂性。本章的高潮是西洛定理（Sylow Theorems）的完整证明及其在有限群分类中的应用，特别是关于 $p$-群的性质探讨。 第二部分：环论的代数结构 (The Algebraic Structures of Ring Theory) 第二部分将视角从乘法和加法结合的群结构，转向同时包含两种运算的环结构。 第六章：环、子环与理想 本章从双目运算的结构——环——出发，定义环的公理化要求（交换环、单位环）。子环的性质将被讨论。接着，引入“理想”（Ideal）的概念，它对应于群论中的正规子群，是定义商环的基础。我们将对比左、右理想和双边理想。 第七章：环同态与商环 与群同态类似，本章定义环同态，并严格证明第一同构定理在环上的对应形式。商环的构造及其性质将被详述，特别是整环（Integral Domain）的定义及其重要性。 第八章：特殊类型的环结构 本章深入探讨几种重要的环结构：整环、主理想整环（PID）、唯一因子分解整环（UFD）以及欧几里得整环（ED）。我们将严格证明它们之间的包含关系：$ED Rightarrow PID Rightarrow UFD$，并通过具体的例子（如 $mathbb{Z}[i]$、多项式环 $mathbb{F}[x]$）来说明哪些环属于哪一类。 第九章：域与域扩张 域是加法和乘法运算都具有逆元（零元素除外）的特殊环。本章将重点研究域的性质，并引出域扩张（Field Extensions）的概念。域扩张的次数、代数元与超越元、以及最小多项式的概念将被引入，为伽罗瓦理论打下基础。 第三部分：高级主题与应用 (Advanced Topics and Applications) 第三部分将连接前两部分的内容，并探讨更高级的主题。 第十章：多项式环与因式分解 本章专注于多项式环 $mathbb{F}[x]$，特别是在域 $mathbb{F}$ 上的多项式环。我们将利用整环的性质，研究多项式的最大公约式、因式分解的唯一性，以及不可约多项式的概念。高斯引理和艾森斯坦判别法等工具将被用来判断多项式的可约性。 第十一章：中国剩余定理与结构定理 本章将从中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）开始，展示其在环论中的推广形式。随后，我们将系统地回顾和总结重要的结构定理，如有限生成阿贝尔群的基本定理（尽管此处侧重于群论的最终结论，但其与环的分解结构有深刻联系），并探讨其在密码学（如RSA算法的理论基础）中的潜在应用。 附录：与拓扑和几何的联系 附录将简要探讨群论在几何和拓扑中的初步应用，例如由群作用定义的流形结构，以及基本的几何群论概念，旨在激发读者对代数与其他数学分支交叉研究的兴趣。 全书通过大量的练习题，涵盖了基础验证、结构分析和证明推导等不同层次，确保读者能够扎实掌握抽象代数的理论精髓。本书的叙述风格保持高度的数学严谨性，同时注重概念的几何直觉和历史发展背景，力求使抽象的代数世界变得清晰可见。

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