Algebraic Number Fields (Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) GSM/7 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Gerald J. Janusz

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:2005-12-05

价格:USD 50.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821804292

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

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好的，以下是关于一本名为《代数数论基础》（暂定名，以区别于您提到的具体书籍）的图书简介，该书的重点内容将集中于代数数论的基础概念、结构和应用，但不包含您提及的特定书籍《代数数论：研究生数学研究丛书，第 7 卷》（Algebraic Number Fields (Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) GSM/7）中的特定内容。 --- 《代数数论基础》：结构、算法与核心概念 图书简介 本书旨在为数学专业本科高年级学生及初级研究生提供一个严谨而全面的代数数论入门。本书的目标不仅是介绍这一迷人领域的关键理论结构，更重要的是，通过详细的证明和丰富的实例，使读者能够掌握运用这些工具解决实际问题的能力。我们假设读者已具备扎实的抽象代数基础，特别是对环论和域扩张有深入的理解。 本书的叙事结构清晰，从最基本的概念出发，逐步深入到代数数论的核心主题。我们将代数数论视为经典数论在代数框架下的自然延伸，通过引入代数整数的概念，开启了对数论问题的全新视角。 第一部分：基础构筑与核心概念 本书的开篇聚焦于建立必要的代数基础。我们首先复习了域扩张、有限扩张的阶和正规扩张的概念。随后，我们引入了代数数的严格定义，并证明了代数数构成的集合形成一个代数闭包。在此基础上，我们深入探讨了代数整数——那些具有首一整系数多项式的代数数。通过研究整数环 $ mathcal{O}_K $（域 $K$ 的代数整数环），我们阐明了其作为 Dedekind 环的基本性质，这为后续的理想理论奠定了坚实的基础。 我们详细考察了判别式（Discriminant）的概念，不仅展示了其在判断域扩张的正则性中的重要作用，还将其作为衡量域扩张“扭曲”程度的代数不变量。通过分析判别式，读者将能理解如何利用线性代数工具来处理代数结构问题。 第二部分：理想理论与分解定律 本书的第二部分是代数数论的精髓所在——理想的唯一分解。经典整数环 $ mathbb{Z} $ 中素数的唯一分解性质在更一般的代数数域中不再直接成立。我们通过引入素理想的概念来恢复这种分解的“唯一性”。 我们详尽地分析了素理想在域扩张中的行为，即素理想的分解律。具体来说，对于一个数域 $K$ 和其最大整数环 $ mathcal{O}_K $，给定一个有理素数 $p$，我们研究 $ pmathcal{O}_K $ 如何分解成 $ mathcal{O}_K $ 中素理想的乘积。这一分析围绕着域扩张的惯性次数、剩余次数和分支因子展开。我们证明了在许多重要情况下（如绝对伽罗瓦群为循环群时），分解具有高度的规律性。 书中特别强调了拉姆定理（Dedekind's Identity）在理想分解中的核心地位，并展示了如何利用它来精确计算素理想的分解结构。我们引入了阶群（Class Group）的概念，这是衡量整数环偏离唯一因子分解整环程度的拓扑不变量。阶群的计算和性质是本书后续许多应用的起点。 第三部分：单位群与Dirichlet定理 理解整数环中的单位结构是代数数论的另一大支柱。我们致力于深入研究数域 $K$ 的整数环 $ mathcal{O}_K $ 的单位群 $ mathcal{O}_K^ $。这是一个有限生成阿贝尔群，其结构完全由Dirichlet 单位定理所描述。 本书提供了Dirichlet定理的详细、清晰的证明。我们展示了如何通过分析数域的实际嵌入（实嵌入和复嵌入）来确定单位群的结构。我们清晰地定义了基本单位（Fundamental Unit），并展示了如何构造这些单位，尽管我们承认计算它们在实践中可能非常困难（我们将这一点留给更高级的计算代数课程讨论）。我们通过具体的二次域和三次域实例，说明了单位结构如何影响数论方程（如佩尔方程）的求解。 第四部分：应用与实例分析 本书的最后部分致力于展示代数数论作为强大工具的应用。我们不会深入讨论复杂的 $L$-函数或高阶的伽罗瓦理论，而是将重点放在费马大定理的初步案例研究以及其他 Diophantine 方程的分析上。 我们将展示如何利用素理想的分解来解决特定类型的丢番图方程，例如处理 $ x^2 + dy^2 = z^n $ 形式的方程。我们还将讨论类数（Class Number）的概念，解释它如何与单位结构共同决定了数域的算术性质。 本书特色 本书的叙述风格旨在平衡理论的深度和教学的清晰度。关键定理都伴随着完整的、易于理解的证明。我们包含了大量来自 $ mathbb{Q}(sqrt{d}) $（二次域）和 $ mathbb{Q}(zeta_n) $（分圆域）的具体数值例子，以帮助读者将抽象概念与具体计算联系起来。通过这些例子，读者可以直观地理解诸如环的秩、判别式的符号以及素理想如何分解等概念。本书力求成为一个坚实的桥梁，连接初级的抽象代数与更高级的解析数论和代数几何。 ---

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在我深入钻研代数数域的过程中，《代数数域》(Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) GSM/7 这本书起到了至关重要的引导作用。我之所以对这本书评价如此之高，是因为它在内容的深度、广度和表述的清晰度上都达到了令人赞叹的水平。作者在介绍代数整数的定义、理想的唯一因子分解以及群论在数域分析中的应用时，都力求做到概念的精确和论证的严谨。我尤其欣赏书中对数域的类数和单位群的深入探讨，这些概念是理解数域算术性质的核心，而这本书对它们的阐释清晰且富有启发性。书中对 Galois 理论的介绍，尤其是如何利用 Galois 群来分析域的扩张，让我对数学的抽象性和逻辑性有了更深刻的理解。我曾经花了不少时间去研究书中关于数域的判别式和迹的计算方法，这些具体的计算技巧对于解决实际问题至关重要，而这本书的讲解非常细致。而且，书中对一些经典数论问题的处理，例如关于二次互反律的代数证明，也让我看到了代数数域在解决数论中的核心问题上的强大威力。习题部分的设计也是这本书的一大亮点，它们不仅能够帮助我巩固所学的理论知识，更能激发我独立思考和探索新的数学问题的能力。这本书为我打开了代数数域研究的大门，也点燃了我对数学研究的持久热情。

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在我探索代数数域的旅程中，《代数数域》(Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) GSM/7 扮演了一个至关重要的角色，它如同一个经验丰富的向导，引领我穿越抽象数学的复杂迷宫。我必须承认，起初我对这个领域感到一丝畏惧，因为我了解到其抽象性和理论深度。然而，这本书的作者以其卓越的教学能力，将这些抽象的概念变得清晰易懂。从对整数环的推广，到代数整数的定义，再到数域的结构分析，每一个章节都循序渐进，逻辑清晰。我特别喜欢书中对关键定理的论证过程，它们不仅展示了数学的严谨性，也教会了我如何构建一个完整的数学证明。例如，关于域的类数的概念，书中通过对理想的分解和模运算的巧妙运用，将一个抽象的数论问题转化为可以分析和计算的形式。书中提供的例子也非常有启发性，它们将理论知识与实际应用相结合，让我能够更好地理解抽象概念的含义和价值。我曾经花了大量时间去啃读关于单位群的章节，那里的理论涉及了 Dirichlet 单位定理，这是一个非常深刻且重要的结果，而这本书对它的解释非常透彻，让我能够深入理解其证明的精妙之处。书中的习题集更是我学习过程中不可或缺的一部分，它们不仅测试了我对概念的掌握程度，更激发了我对数学问题的思考。通过解决这些习题，我能够更深刻地理解理论的内涵，并逐渐培养出独立的分析能力。这本书的阅读体验是令人愉悦的，它在保持学术严谨性的同时，也兼顾了读者的接受能力，使得我在学习过程中始终保持着积极性和探索欲。

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这本书《代数数域》(Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) GSM/7，在我对代数数域的求学之路上，堪称是一本不可或缺的宝典。它不仅仅是一本教科书，更是一次深入的数学思想启迪之旅。初次接触代数数域时，我对其抽象的定义和复杂的结构感到一丝困惑，但正是这本书，以其清晰的讲解和详实的论证，逐渐消除了我的疑虑。我特别赞赏作者在阐述各个核心概念时所采用的方法，例如对理想类群的定义和性质的探讨，书中从最基础的理想分解性质出发，一步步构建出整个理论框架，使得我能够从宏观上把握代数数域的整体结构。书中所包含的关于算术函数和 L-函数的部分，更是让我看到了代数数域在数论研究中的重要作用，这些理论的应用范围之广，让我对数学的魅力有了更深刻的认识。书中对一些经典问题的分析，例如费马大定理的某些初等证明思路，也让我看到了代数数域在解决古老数学难题中的力量。我记得在学习关于域的嵌入和同态的部分时，书中对 Galois 群的介绍非常详尽，它将群论的概念巧妙地与域扩张联系起来，为我理解更复杂的代数结构打下了坚实的基础。书中的习题设计巧妙，很多题目不仅考察了对基本概念的理解，更引导读者进行更深层次的思考和探索。通过解答这些习题，我不仅巩固了所学的知识，更激发了我对数学研究的兴趣。这本书的阅读体验是沉浸式的，它让我能够全身心地投入到代数数域的理论世界中，去感受数学的逻辑之美和思想之深邃。

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《代数数域》(Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) GSM/7 这本书，对我而言，是一次深刻的数学思想的洗礼。它不仅仅是一本学术著作，更是一段引导我探索数学真谛的旅程。初次翻阅这本书时，我对代数数域的抽象性和复杂性感到有些畏惧，但作者以其精湛的教学技艺，将这些挑战性的概念逐一击破。我特别欣赏书中对数域的构造和分类的系统性讲解，它就像一幅精密的地图，指引我沿着清晰的路径深入了解不同类型的数域。书中对理想理论的深入剖析，特别是关于理想类群的性质和计算，让我对数域的算术性质有了更深刻的理解。我记得在学习关于模算术和中国剩余定理的推广时，书中将这些基础概念与代数数域的结构相结合，展现了数学的普适性和美妙之处。而且，书中对于素数在不同数域中分解行为的讨论，也让我对数论中的分解律有了全新的认识。我曾经花了不少时间去研究书中关于域的扩张次数和迹的计算方法，这些具体的计算技巧对于解决实际问题至关重要，而这本书的讲解非常细致。习题部分的设计也是这本书的一大特色，它们不仅能够帮助我巩固所学的理论知识，更能激发我独立思考和探索新的数学问题的能力。这本书的阅读过程是一种享受，它让我沉浸在数学的逻辑世界中，感受着知识的不断积累和思维的不断提升。

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作为一名数学系研究生，我对代数数域领域的研究充满了热情，而《代数数域》(Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) GSM/7 这本书无疑是我学术道路上一块重要的里程碑。它不仅仅是一本教材，更像是一本循循善诱的导师，带领我深入探索抽象代数的迷人世界。从最初对域扩张的模糊认识，到最终能够熟练运用代数数域的理论工具解决研究中的实际问题，这本书提供了坚实的基础和清晰的脉络。作者在内容编排上考虑得非常周全，从最基础的概念，如理想、唯一因子分解域、主理想域等，循序渐进地引入更复杂的理论，例如域的类数、单位群、理想的唯一因子分解以及有限域上的 Galois 理论等。每一个概念的引入都伴随着详细的定义和直观的解释，这对于初学者来说至关重要。我尤其欣赏书中对证明的严谨性和完整性，它迫使我去思考每一步推理的逻辑，而非仅仅停留在表面理解。此外，书中包含的众多例题和练习题也极大地帮助了我巩固所学知识，并培养了我独立解决问题的能力。许多练习题的设计巧妙，能够触及到核心概念，并且答案的提供也十分及时，使得我在遇到困难时能够及时获得反馈。这本书的语言风格也是我非常欣赏的一点，它在保持学术严谨性的同时，也具有一定的可读性，避免了过于晦涩难懂的表达。总的来说，《代数数域》是一部内容丰富、结构清晰、逻辑严谨的经典之作，它为我打开了代数数域的大门，并为我后续更深入的研究奠定了坚实的基础。

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在我的高等数学学习生涯中，《代数数域》(Graduate Studies in Mathematics, V. 7) (2nd ed) GSM/7 这本书所带来的启发是难以估量的。它不仅仅是一部关于抽象数学理论的书籍，更像是一扇窗户，让我得以窥见代数数域研究的广阔天地。我之所以如此推崇这本书，是因为其内容组织得体，逻辑严谨，并且深度适中。作者在处理诸如代数整数的构造、理想的分解以及代数数域的分类等复杂问题时，展现出了非凡的洞察力。我尤其欣赏书中对数域的判别式和迹的深入探讨，这些概念在理解域的结构和性质方面起着至关重要的作用，而这本书对它们的解释和推导都非常到位。书中所涉及的关于局部域和全局域的对比分析，也让我对数论问题有了更全面的认识，它展示了如何将局部信息整合到全局理论中。我曾经花了很长时间去理解关于单位群结构的那一部分，特别是 Dirichlet 单位定理的证明，这本书的讲解让我茅茅塞顿开，对那些抽象的群论概念有了直观的感受。而且，书中穿插的许多历史背景和数学家的贡献，也让我在学习理论知识的同时，能够感受到数学发展的脉络和人类智慧的结晶。习题部分的设计也是这本书的一大亮点，它既包含了对基本概念的巩固练习，也包含了一些具有挑战性的研究性问题，这极大地提升了我的学习效率和解决问题的能力。总而言之，这本书为我打下了扎实的代数数域理论基础，也激发了我对更深入研究的渴望。

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