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出版者:Cambridge University Press

作者:Chris Doran

出品人:

页数:592

译者:

出版时间:2007-12-10

价格:USD 78.99

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isbn号码:9780521715959

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几何代数在物理学中的应用：一本深入探讨基础与前沿的著作 本书聚焦于几何代数（Geometric Algebra, GA）作为一种统一数学框架在现代物理学各个领域中的强大应用。 本书旨在为物理学家、工程师和高级物理专业学生提供一个全面且深入的视角，展示如何利用 GA 提供的简洁、直观且具有高度结构性的语言来重构和解决复杂的物理问题。 核心理念与结构 几何代数，又称超复数代数或外代数（Exterior Algebra）与内积的统一，提供了一种比传统张量分析或复数分析更为强大的工具。它自然地融合了向量、标量、双矢量（bivectors）和更高阶的多矢量（multivectors）的概念，使得方向、面积、体积等几何实体能够在同一个代数框架内被处理。 本书的结构设计遵循从基础概念的建立到复杂物理系统的应用的递进路线。 第一部分：几何代数的基础构建 本部分致力于为读者打下坚实的代数基础，使他们能够熟练运用 GA 的基本运算。 第一章：多矢量的代数结构与乘法 本章详细介绍了多矢量的概念，解释了它们如何代表几何对象。核心在于介绍楔积（外积）和点积（内积）的定义及其几何意义。重点阐述了楔积的反对称性如何自然地捕捉到平面、体积等概念，以及点积如何处理投影和正交性。我们将深入探讨几何乘积（Geometric Product），它是点积和楔积的统一，并展示它是 GA 中最核心的操作符。 第二章：旋转、反射与变换 几何代数的一个巨大优势在于其对旋转的简洁描述。本章将引入旋转子（Rotors）的概念。我们将证明，一个具有特定多矢量形式的旋转子可以直接作用于任何多矢量上，实现旋转，而无需依赖欧拉角或复杂的矩阵乘法。这包括二维平面（复数或二维 GA）和三维空间（Cl(3)）中的旋转。此外，本章还将扩展到反射和螺旋运动的代数表示。 第三章：坐标系无关性与基矢的演化 与依赖特定坐标系的张量不同，GA 的运算具有内在的坐标系无关性。本章探讨了如何在任意基底和坐标变换下保持代数表达式的简洁性。我们将展示如何利用外代数的对偶性概念来处理协变和反变向量，并在不显眼的情况下统一向量代数和张量分析的某些方面。 第二部分：经典物理学的几何代数重构 本部分将几何代数应用于经典物理学的核心领域，展示其带来的清晰性和效率。 第四章：经典力学与拉格朗日/哈密顿表述 我们将使用 GA 来重新表述经典力学的基本方程。在相空间中，系统的状态可以用多矢量来表示。重点讨论如何利用 GA 来简洁地定义动量和角动量，特别是角动量作为双矢量（表示旋转平面）的自然出现。拉格朗日量和哈密顿量将在 GA 框架下被重新审视，突出其几何起源。 第五章：电磁场的几何代数统一 这是 GA 在物理学中最著名的应用之一。本章将使用Cl(3,1) 洛伦兹几何代数来统一电场 $mathbf{E}$ 和磁场 $mathbf{B}$。法拉第张量被替换为一个单一的电磁多矢量 $F$。麦克斯韦方程组被简化为一个单一的、优雅的方程：$ abla F = J$。本章将详细推导这一统一形式，并展示如何在时空（Minkowski 空间）中直接处理电磁波的传播，避免了复杂的张量索引和复数表示。 第六章：经典场论的变分原理 本章将把变分原理（如最小作用量原理）提升到 GA 的层次。我们将利用导数算子 $ abla$ 的几何代数形式，定义出场的几何梯度，并利用其对偶性来构建作用量泛函。这为向量子场论的过渡奠定了坚实的几何基础。 第三部分：几何代数在现代物理中的前沿应用 本部分将读者带入更高级的主题，展示 GA 如何应对现代物理学中最具挑战性的问题。 第七章：狭义相对论与四维时空几何 我们将在洛伦兹代数 $ ext{Cl}(3,1)$ 的严格框架下重新审视狭义相对论。洛伦兹变换不再是矩阵操作，而是通过旋转子实现的代数操作。本章将深入探讨四维矢量（位置、动量）和双矢量（如角动量和电磁场张量）在时空中的演化，强调因果结构如何通过 GA 的基础运算自然体现。 第八章：量子力学与量子信息 几何代数提供了一种处理量子态（如量子比特和多量子比特系统）的直观方式。量子态可以被表示为多矢量，而量子操作（如演化和测量）则转化为几何乘积。本章将探讨Pauli代数作为 $ ext{Cl}(3)$ 的子代数如何自然地产生泡利矩阵，以及Clifford代数如何应用于描述自旋和角动量。特别地，我们将使用 GA 来清晰地阐述量子纠缠的几何性质。 第九章：微分几何与广义相对论的初步接触 尽管广义相对论通常使用黎曼几何和张量，但 GA 提供了一种更基础的视角。本章将介绍导数的广义化，即在弯曲时空中的 GA 导数算子。我们将探讨如何使用 GA 来表达黎曼曲率张量的某些分量，并讨论将 GA 应用于规范场论和非交换几何的潜力。 总结与展望 本书的最终目标是使读者能够将几何代数视为一种现代物理学的“通用语言”。通过本书的学习，读者将掌握一种比传统数学工具更具几何洞察力、计算效率更高且更具统一性的分析方法，为探索尚未完全解决的物理学问题做好准备。本书不回避数学的严谨性，但始终以物理直觉和几何图像为指引。

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这本书给我带来的不仅仅是知识的增长，更是一种深刻的思维方式的转变。作者以一种极其清晰和系统的方式，将几何代数这一强大的数学工具，与其在物理学中的广泛应用联系起来。我尤其欣赏书中对于“多向量”（multivectors）概念的引入和阐述，它如何能够统一地表示点、线、面、体等各种几何对象，并提供了一种全新的语言来描述物理现象。例如，在三维空间中，双向量（bivectors）能够自然地表示平面和旋转，这使得对旋转的理解变得异常直观和优雅，远胜于传统的欧拉角或四元数方法。作者在讲解过程中，始终强调数学概念的几何意义，这使得抽象的数学运算变得生动形象。我曾花费大量时间去理解书中关于克利福德代数的构建，以及它如何在高维空间中统一各种数学结构。书中提供的详细推导和丰富的例子，让我能够逐步掌握这些复杂的概念。无论是电磁学中的麦克斯韦方程组，还是量子力学中的自旋，几何代数都展现出了其无与伦比的简洁性和力量。我深信，这本书为我理解物理学的许多深层问题，提供了一个全新的、更加有力的视角。它不仅仅是一本理论书籍，更是一本能够激发读者探索欲望的实践指南。

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这本书给我带来的阅读体验，可以说是既充满深度又极富启发性。作者以一种极其系统和全面的方式，将几何代数这一精深的数学工具，与其在物理学中的核心应用一一对应，并进行了深入浅出的讲解。我尤其欣赏书中对于“多向量”（multivectors）概念的构建，它如何能够统一地表示和操作不同维度的几何对象，从而为理解物理世界的几何结构提供了一个强大的框架。例如，书中在讨论三维空间中的旋转时，对“旋转子”（rotors）的详细阐述，以及它们如何能够以一种直观且无须担心万向节死锁的方式，表示和组合任意的旋转，这对我来说是革命性的。作者在讲解过程中，始终不忘强调数学概念背后的物理意义，使得那些抽象的数学运算，如几何积、逆运算等，都变得有血有肉，易于理解。我曾花费不少时间去消化书中关于克利福德代数的数学结构，以及它如何自然地泛化了向量代数和复数。几何代数在电磁学、量子力学以及狭义相对论中的应用，都被作者以一种清晰且极具说服力的方式呈现出来，让我深刻体会到了这门学科的强大之处。这本书不仅仅是理论知识的堆砌，它更像是一次关于物理世界基本语言的探索，为我提供了理解宇宙奥秘的全新视角。

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在接触《Geometric Algebra for Physicists》之前，我一直认为数学在物理学中的应用，更多的是一种工具性的存在，而这本书彻底改变了我的看法。作者通过严谨的推导和生动的阐释，展示了几何代数作为一种内在的语言，如何能够以一种更加自然和统一的方式描述物理世界。我特别着迷于书中关于“几何积”（geometric product）的介绍，它如何巧妙地融合了内积和外积，从而能够统一处理标量、向量、双向量等各种几何对象。这种统一性，使得在物理学中处理复杂的几何关系时，语言和表示都变得异常简洁。例如，书中利用几何代数来处理三维空间中的旋转，通过“旋转子”（rotors）的定义，使得旋转的组合和变换变得非常直观和高效。我曾尝试过用其他方法来理解这些概念，但往往陷入繁琐的计算和晦涩的定义中，而几何代数则提供了一种全新的、更具几何直觉的视角。作者对几何代数在电磁学、量子力学以及狭义相对论中的应用进行了详尽的探讨，每一个例子都充分展示了其作为一种强大数学语言的潜力。这本书不仅仅是知识的传递，更重要的是它启发了我用一种更深刻、更内在的视角去理解物理学的基本原理。

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坦白说，在翻阅《Geometric Algebra for Physicists》之前，我对于几何代数仅仅是略有耳闻，对它在物理学中的实际应用更是知之甚少。然而，这本书如同一位耐心而技艺精湛的向导，为我打开了一扇通往全新理解世界的大门。作者的写作风格，可以说是将数学的严谨性与物理的直观性完美地融合在了一起。他不仅仅是在教授一套数学工具，更是在传授一种看待和描述物理现象的全新视角。我尤其对书中关于“几何积”（geometric product）的阐述印象深刻，它如何巧妙地结合了点积和外积，从而能够统一处理不同类型的向量运算，并自然地引入了“双向量”（bivectors）和“多向量”（multivectors）的概念，这对我来说是前所未有的启发。我曾尝试过理解三维空间中的旋转，但总是觉得概念繁琐，而几何代数则提供了一种极其优雅和直观的方式，通过“旋转子”（rotors）来表示和组合旋转，这让我豁然开朗。书中还详尽地探讨了几何代数在解决经典物理问题中的应用，例如在电动力学和量子力学中，它如何简化了许多复杂的计算和概念。作者的讲解方式，并非照本宣科，而是充满了引导性和启发性，鼓励读者主动思考和探索。每一次阅读，都感觉自己在智力层面得到了极大的提升。这本书不仅仅是一本教材，它更像是一次深刻的智力洗礼，让我重新认识了数学与物理之间的内在联系。

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这本书给我带来的阅读体验，可以说是既充满挑战又极其 rewarding。作者并没有选择回避那些棘手的数学细节，而是以一种极其审慎和系统的方式，逐步构建起整个几何代数的理论体系。从最基本的代数结构开始，到后来对不同维度的几何代数（如二维、三维、四维甚至更高维度）的详细阐述，每一步都像是精心设计的阶梯，稳固地支撑着读者的理解。我特别喜欢作者在讲解过程中，总会引用经典的物理问题来佐证几何代数的强大之处。比如，利用几何代数来处理电磁学中的麦克斯韦方程组，或者在量子力学中描述自旋的量子态，这些例子都极大地增强了我学习的动力和对这门学科的信心。作者对于如何将几何代数与狭义相对论中的洛伦兹变换联系起来的解释，更是让我拍案叫绝。它以一种前所未有的简洁和优雅，揭示了时空几何的本质。相比于传统的张量分析方法，几何代数在处理这些问题时，展现出了无与伦比的清晰度和效率。我花了不少时间去理解书中关于“多向量”（multivectors）的概念，以及它们在描述不同几何对象（点、线、面、体）时的作用。这种统一的语言，无疑是几何代数最迷人的地方之一。这本书的阅读过程，更像是在学习一种新的“语言”，一种能够更直接、更深入地描述物理世界的语言。我曾遇到过一些概念上的瓶颈，但通过反复推敲书中提供的例题和证明，最终都能豁然开朗。这是一本需要耐心和细致去品味的著作，而最终的回报，则是对物理学更深刻的理解。

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这本书的内容深度和广度都令人惊叹，它如同一位博学的导师，引领我深入探索几何代数在物理学中的应用。作者的叙述方式严谨而富有逻辑，每一个概念的引入都经过精心设计，确保读者能够逐步构建起完整的理解。我尤其欣赏书中关于“多向量”（multivectors）的详细阐述，以及它们如何能够统一描述不同维度的几何对象，从点到线，从面到体。这使得用几何代数来处理物理问题时，语言和表示都变得极为简洁和统一。我曾花费不少时间研究书中关于利用几何代数来解决三维空间中的旋转问题，尤其是如何用“旋转子”（rotors）来表示和组合旋转。这比传统的欧拉角或者四元数方法，在概念上更加直接和清晰。作者也详细探讨了几何代数在电磁学、量子力学以及相对论等领域的应用，每一个例子都充分展示了其作为一种强大的数学语言的潜力。例如，书中利用几何代数来推导和理解麦克斯韦方程组，就展现了一种前所未有的简洁和优雅。我深切感受到，掌握了几何代数，就如同获得了一把解锁物理学更深层奥秘的钥匙。书中的插图和详细的推导过程，更是帮助我巩固了对抽象概念的理解。即使对于一些初学者来说，这本书也提供了足够的支撑，让大家能够逐步掌握这门精深的学科。它的价值，在于它提供了一种全新的、更加直观的思考物理问题的方式。

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这本书无疑是一次引人入胜的智力探险，它如同一位技艺精湛的向导，带领我在一个充满几何直觉和抽象运算的迷人世界里穿行。刚翻开书页，我就被作者流畅而清晰的叙述风格所吸引，即使对于那些初次接触几何代数概念的读者来说，也不会感到丝毫的畏惧。作者巧妙地将复杂的数学工具与物理学的基本原理紧密联系起来，使得那些原本抽象的概念立刻鲜活起来，仿佛在我眼前展开了一幅幅生动的物理图景。从矢量代数的基础，到四元数在三维旋转中的应用，再到更广阔的几何代数框架，每一步都铺垫得恰到好处。书中大量的插图和详细的推导过程，更是让我受益匪浅，它们不仅仅是视觉上的辅助，更是理解深层含义的关键。我尤其欣赏作者在引入新的代数结构时，总会不厌其烦地解释其几何意义，这种“寓教于乐”的方式，让我在掌握数学工具的同时，也深刻理解了其物理内涵。例如，关于克利福德代数的介绍，以及它如何自然地统一了向量、双向量和多向量的概念，这对我来说是颠覆性的。我曾尝试过其他介绍几何代数的书籍，但无一能达到如此的高度，将理论的严谨性与物理应用的直观性完美结合。这本书不仅仅是一本教科书，它更像是一扇窗，透过它，我看到了物理学更深层次的美丽与和谐。每一次阅读，都能发现新的细节，理解新的视角，这种持续的智力回报，是我选择反复研读它的重要原因。我确信，任何希望在理论物理领域有所建树的研究者，都应该将这本书列入必备书单。

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这本书所提供的不仅仅是数学工具，更是一种全新的物理学视角。作者以一种极具条理和深度的论述方式，将几何代数这一数学分支，巧妙地融入到物理学的各个领域。我尤其对书中关于“多向量”（multivectors）的阐述印象深刻，它们如何能够统一地表示和操作不同维度的几何实体，为理解物理世界提供了极其强大的框架。在处理三维空间中的旋转问题时，书中利用“旋转子”（rotors）的定义，展现了一种前所未有的简洁和直观。这种方法不仅避免了传统方法中的一些弊端，更重要的是，它将旋转这一物理概念，以一种纯粹的几何方式呈现出来，极大地加深了我对其内在机制的理解。作者在讲解过程中，始终强调数学概念的几何直觉，这使得那些原本抽象的数学运算，变得生动形象，易于把握。我曾花费不少时间去消化书中关于克利福德代数如何统一不同数学结构的内容，这为我打开了新的思路。几何代数在电磁学、量子力学以及狭义相对论中的应用，都被作者以一种清晰且极具说服力的方式呈现，充分展示了其作为一种普适性数学语言的潜力。这本书不仅仅是一本教科书，它更像是一次深刻的智力旅程，让我重新认识了数学与物理之间那层层递进、相互呼应的美妙关系。

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我不得不说，《Geometric Algebra for Physicists》这本书，彻底颠覆了我过去对数学和物理关系的认知。它不仅仅是一本关于特定数学工具的书，更是一次对物理世界基本语言的探索。作者的写作风格，给我一种“润物细无声”的感觉，在不知不觉中，就把我带入了一个全新的思维模式。书中对于几何代数基本运算的讲解，比如乘法（内积、外积、几何积）以及逆运算，都做了非常详尽的解释，并且总是伴随着清晰的几何解释。我尤其欣赏作者对于“外积”（bivector）的引入，以及它如何自然地代表了“平面”和“旋转”。这对于理解三维空间中的旋转，比传统的欧拉角或旋转矩阵要直观得多。书中关于四元数的章节，更是让我大开眼界，它不仅解释了四元数在计算机图形学中的广泛应用，更重要的是，它展示了四元数作为一种特殊的几何代数（如在三维空间中），如何优雅地解决了万向节死锁等问题。作者在讲解过程中，并没有刻意去“简化”概念，而是选择了一种循序渐进、层层递进的方式，让读者能够真正理解每一个数学概念背后的物理意义。我曾尝试过用其他方法来理解三维空间中的旋转，但总是觉得概念晦涩，而几何代数则提供了一种全新的视角，让我能够用一种更“几何”的方式去思考。这本书的价值，不仅仅在于它教授的数学工具，更在于它培养了一种全新的物理直觉。它鼓励我用几何的眼光去看待物理现象，去发现隐藏在公式背后的美。

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对于任何希望深入理解物理学理论基础的研究者而言，这本书无疑是一本不可多得的宝藏。作者在书中对几何代数概念的引入和发展，都展现了极高的学术严谨性和清晰的逻辑性。从最基本的矢量和双向量，到更复杂的克利福德代数，每一个概念的提出都伴随着详尽的几何解释和物理意义的阐述。我尤其欣赏书中对“几何积”（geometric product）的细致讲解，它如何将内积和外积统一起来，从而能够统一处理各种几何关系，并生成不同维度的“多向量”。这使得在物理学中描述几何结构，如点、线、面、体，以及它们之间的相互作用，都变得异常简洁和直观。书中关于三维旋转的章节，利用“旋转子”（rotors）来表示和组合旋转，极大地简化了计算，并提供了比传统方法更清晰的几何理解。作者在讲解过程中，并没有回避数学上的挑战，而是通过精心的铺垫和清晰的推导，引导读者逐步掌握复杂的概念。他对几何代数在电磁学、量子力学和相对论中的应用，更是展示了这门学科的广泛适用性和强大威力。这本书的价值，在于它不仅仅传授了数学工具，更重要的是它培养了一种全新的物理直觉，让读者能够以一种更深刻、更内在的方式去理解物理世界。

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