Symmetric Functions and Hall Polynomials pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Oxford University Press

作者:I. G. Macdonald

出品人:

页数:488

译者:

出版时间:1999-7-29

价格:USD 150.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780198504504

丛书系列:Oxford Mathematical Monographs

图书标签:

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代数几何中的对称结构与多项式理论 《代数几何中的对称结构与多项式理论》 内容提要： 本书深入探讨了代数几何、组合学和表示论交叉领域中的核心概念：对称结构与多项式理论。全书围绕代数簇上的对称性展开，重点分析了由这些对称性自然产生的多项式家族，特别是那些在模空间（Moduli Spaces）和Schubert演算中扮演关键角色的特定多项式族。本书旨在为研究生和研究人员提供一个严谨而深入的框架，以理解这些代数结构如何连接不同的数学分支。 第一部分：对称群与基环 本书始于对古典对称群 $Sigma_n$ 的细致考察，不仅仅停留在其群论性质，更侧重于其在代数几何背景下的作用。我们详细讨论了李群和代数群的背景，特别是线性群在向量空间上的作用，并引入了对称群作为有限代数群的一个基本范例。 核心内容集中于对称群的表示论。我们系统地回顾了舒尔代数 (Schur Algebras) 和 Hecke代数，强调了它们如何作为对称群表示空间的特定代数结构。特别地，本书引入了由Young图（Young Diagrams）索引的不可约表示空间，并探讨了这些表示空间之间的内积结构。 在组合学的视角下，我们详尽阐述了分拆 (Partitions) 理论。分拆不仅是索引对称群表示的工具，它们也与 Schubert 类的计算紧密相关。我们引入了李氏幂和 (Power Sums)、初等对称多项式 (Elementary Symmetric Polynomials) 以及完全齐次多项式 (Complete Homogeneous Symmetric Polynomials)，并阐述了牛顿恒等式和伽拉比-陈-刘维尔定理在这些多项式之间的关系。本书的一个重点是展示这些多项式如何在特定代数拓扑空间（如旗形空间 $Flag Manifolds$）的余调环上生成一个同构的代数结构。 第二部分：代数簇上的对称性与旗形空间 本部分将讨论聚焦于旗形空间 $Fl(V)$，即向量空间 $V$ 的所有完备旗的集合。旗形空间是研究代数群表示论和组合学的“天然”几何场所。我们详细分析了旗形空间的基本群和余调环 $H^(Fl(V))$。 关键在于Schubert 胞腔 (Schubert Cells) 的结构。我们展示了 Schubert 胞腔如何构成 $Fl(V)$ 的 CW分解，并讨论了Schubert 闭包的代数性质。本书将大量的篇幅用于推导Schubert 环 $R(Fl(V))$，这是一个由 Schuber 类的生成元构成的环。我们论证了 Schuber 环在某种意义上是对称群作用的代数回响。 在这一部分，我们详细考察了Schubert 环的生成元，即 $sigma_w$（其中 $w in Sigma_n$ 是一个排列），以及它们在环中的乘法关系，即小丘公式 (Littlewood-Richardson Rule) 的几何和代数解释。我们探讨了对称群的作用如何诱导出 Schuber 环上的一个自然作用，并分析了这种作用的不动点集的结构。 第三部分：非完全对称多项式与模空间 超越了标准的对称多项式家族，本书转向了更精细的结构，特别是在涉及到局部化和模空间时出现的特定多项式族。这些多项式通常源于对特定几何约束下的对称性条件的松弛或修改。 我们引入了一般线性群 $GL_r$ 作用下的代数簇，并分析了其商空间 $mathcal{M}$ 的几何性质。这些商空间通常是模空间。在模空间的研究中，特征类 (Characteristic Classes) 的计算至关重要。本书侧重于由这些模空间上的向量丛（Vector Bundles）诱导出的特定陈类 (Chern Classes) 和庞加莱对偶类 (Poincaré Dual Classes)。 我们详细考察了环上的对称函数的推广，例如莫尔加（Motzkin）多项式和拉盖尔（Laguerre）多项式在特定背景下的变形。这些变形通常是通过在对称群的作用下引入权重或度量失衡来实现的。我们展示了如何通过几何构造（如 Gelfand-Tsetlin 簇或某些子空间）来明确地定义并计算这些“非标准”的多项式族。 第四部分：对称函数与几何的精确联系 本书的最后一部分致力于将对称函数理论提升到更一般的代数簇的框架下，超越了旗形空间这一特定例子。我们探讨了K-理论在研究对称结构中的应用。 我们研究了旗形空间 $Fl(V)$ 上的Schubert 环与K-理论环 $K(Fl(V))$ 之间的关系。我们展示了如何用 K-理论中的构件 (Constructible Functions) 来重新阐释 Littlewood-Richardson 规则，并引入了Riet-Tse 乘积的概念，这是一个在 K-理论中定义的，与古典 Schur 乘积结构相对应的运算。 此外，我们深入分析了特殊代数簇上的Schubert 结构。例如，在Grassmannian 簇 $Gr(k, n)$ 上的结构，这些结构是由对称群的孪对 (Dyadic) 子群决定的。在这里，我们探讨了如何通过完全对称多项式的投影来获得描述这些子空间的几何特征的代数表达式。这些表达式往往表现出优美的对称性，即使在高度非线性或奇异的几何背景下依然成立。 结论： 《代数几何中的对称结构与多项式理论》提供了一个统一的视角，将古典组合学中的对称多项式与现代代数几何中的模空间、K-理论和特征类理论紧密联系起来。全书强调了精确的代数推导和深刻的几何洞察的结合，为理解代数几何中隐藏的对称美学提供了坚实的数学基础。

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《Symmetric Functions and Hall Polynomials》这本书，是我近期在学术探索中最具启发性的阅读体验之一。作者以一种非凡的洞察力，将看似独立的数学概念——对称函数和Hall多项式——紧密地联系在一起，揭示了它们之间深刻而普遍的联系。书中的章节安排非常合理，从对称函数的各种基（如单项对称函数、完备对称函数、初等对称函数）的详细介绍，到它们在代数表示论中的应用，再到Hall多项式的引入及其性质，每一步都衔接得恰到好处。我特别欣赏作者对Hall多项式的处理，它不仅被看作是一个定义，更被视为一种强大的工具，能够连接不同的对称函数基，并用于理解更复杂的代数结构，例如，与有限群或李代数相关的表示。书中关于Schur函数以及它们如何通过Hall多项式在Young图板理论中扮演关键角色的论述，为我提供了全新的视角。对于那些正在深入研究代数组合学、表示论、量子群理论，或者需要处理大量组合对象的计算机科学领域的研究者来说，这本书无疑是一份不可多得的珍宝。它的内容深度和思想的精妙之处，足以让任何一位有志于此的读者受益匪浅。

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我最近有幸通读了《Symmetric Functions and Hall Polynomials》这本书，它无疑是我近几年来阅读过的最引人入胜的数学专著之一。作者以一种非常独特的方式，将对称函数这一经典数学对象与Hall多项式这一更现代、更具活力的工具相结合，为我们呈现了一个极其丰富且充满洞察力的数学世界。书中对各种对称函数基的介绍，如基本对称函数（elementary symmetric functions）和完备对称函数，以及它们之间的对偶关系，都处理得非常到位。但本书的真正核心在于其对Hall多项式的深入探讨，以及如何利用它们来理解更复杂的结构，比如表示论中的特定模块（modules）和李代数的表示。我特别惊叹于作者在解释Littlewood-Richardson规则的组合解释时所展现的智慧，它将原本纯代数的乘法运算，转化为了一种关于Young图的组合规则，这使得理解变得异常直观。这本书对于那些希望将代数组合学应用于表示论、代数几何、甚至某些统计物理模型的研究者来说，无疑是一份极其宝贵的资源。它不仅提供了严谨的数学框架，更教会我们如何用一种“组合化”的思维方式去解决代数问题，从而获得更深刻的理解和更有效的计算方法。

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《Symmetric Functions and Hall Polynomials》这本书，其内容的深度和思想的精妙之处，足以让任何一位对代数组合学或表示论有执着追求的读者为之倾倒。作者在书中对对称函数的讲解，是从最基础的定义出发，层层递进，逐渐引入更复杂的概念，如Macdonald多项式及其特殊化。我必须强调，书中对Hall多项式的处理，是本书最令人印象深刻的部分。它不仅仅是一个数学定义，更是一个连接不同数学领域的强大工具。作者通过Hall多项式，清晰地展示了对称函数如何与表示论中的某些对象（例如，与Hecke代数相关的表示）联系起来。我尤其欣赏书中对Hall多项式与Young图板（Young tableaux）之间的关系的阐述，这使得理解一些抽象的代数概念变得更加具体和直观。书中的例子，从简单的对称函数计算到复杂的表示理论证明，都处理得非常细致，为读者提供了丰富的实践机会。对于那些希望在自己的研究领域（如量子群、几何表示论）中找到有力数学工具的学者来说，这本书无疑是一个绝佳的起点。它不仅能够提供理论基础，更能够启发新的研究思路，帮助我们以更广阔的视野来审视数学问题。

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坦白讲，我在阅读《Symmetric Functions and Hall Functions》这本书之前，对对称函数这一领域虽有所耳闻，但总觉得其应用和联系略显模糊。然而，这本书的出现，彻底改变了我的看法。作者以一种极其清晰且富有启发性的方式，将对称函数的各种基，如完备对称函数、初等对称函数、幂和函数等，以及它们之间复杂而优美的关系，通过Hall多项式这一核心工具，进行了系统而深刻的阐述。我尤其被书中对Littlewood-Richardson规则的解读所吸引，它不仅揭示了对称函数乘法的组合意义，更巧妙地关联了表示论中的张量积分解。书中的数学推导严谨且逻辑缜密，但又不失数学的美感，许多证明都显得精巧绝伦。对于那些希望深入理解代数表示论，尤其是与Young图板理论、Schur函数以及李代数表示相关的研究者而言，这本书简直就是一座宝藏。它提供了一种强大的分析框架，能够将抽象的代数概念转化为具体的组合对象，从而获得更直观的理解和更有效的计算方法。每一次重读，我都能发现新的理解和更深层次的洞察，这种“常读常新”的体验，正是优秀数学专著的标志。

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《Symmetric Functions and Hall Polynomials》这本书，对于任何想要深入理解代数组合学核心概念的读者来说，都是一本不容错过的必读之作。作者在讲解对称函数时，并没有拘泥于单一的定义方式，而是从多种角度，如多项式环的对称子空间、Macdonald多项式的特殊情况等，进行了详尽的阐述。我特别着迷于书中对Hall多项式作为连接不同对称函数基的“桥梁”的精彩阐释。通过Hall多项式，我们能够清晰地看到，原本看似独立的数学对象之间，其实存在着深刻而优美的内在联系。作者在引入Hall多项式时，并没有止步于其定义，而是花了大量篇幅探讨了它们的各种性质，例如它们的递推关系、它们的生成函数以及它们在特定代数结构中的出现。这些细节的处理，充分体现了作者深厚的学术功底和对读者的关怀。我尤为欣赏书中关于如何利用Hall多项式来构造特定类型的表示，以及它们在研究Schur复形（Schur complexes）和其他代数结构时的应用。这本书不仅仅是理论的集合，更是一份数学研究方法的指南，它教会我们如何运用抽象的工具去解决具体的问题，以及如何从看似简单的组合对象中挖掘出深刻的代数信息。

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这部《Symmetric Functions and Hall Polynomials》简直是一场智力与数学之美的奇妙邂逅！作为一名长久以来对组合学和代数表示论抱有浓厚兴趣的读者，我在翻阅这本书的过程中，体验到了前所未有的清晰与深刻。作者以一种极其巧妙的方式，将对称函数这一抽象概念与Hall多项式这一具体构造紧密地联系起来，仿佛为我打开了一个全新的数学视界。书中对对称函数的各种基（如完备对称函数、初等对称函数、幂和对称函数等）的介绍，不仅详尽且逻辑性极强，更重要的是，它们之间的深刻联系通过Hall多项式这一核心工具得以生动地展现。我尤其欣赏作者在解释Littlewood-Richardson规则时所运用的直观方法，它不仅揭示了对称函数的乘法结构，更隐喻了表示论中张量积的复杂性。那些通过Hall多项式进行的组合证明，无一不令人拍案叫绝，它们将原本枯燥的代数运算转化为富有几何直觉的图形操作，极大地降低了理解门槛。书中穿插的许多历史典故和对早期数学家（如Macdonald）思想的致敬，也让这部学术著作增添了人文色彩。对于每一个渴望深入理解代数组合学核心概念的读者而言，这本书绝对是一份不可多得的珍宝，它不仅提供了严谨的数学框架，更激发了探索未知的好奇心。每一次重读，都能发现新的细节和更深层次的理解，这种“常读常新”的体验，正是优秀数学专著的魅力所在。

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《Symmetric Functions and Hall Polynomials》是一部真正意义上的“案头之书”，其深度和广度足以吸引任何对组合代数领域怀有热情的读者。作者的叙述风格极其严谨，但又不失启发性。他对主对称函数（monomial symmetric functions）的引入，以及如何通过它们来理解其他对称函数基，是本书的一大亮点。书中对Schur函数（Schur polynomials）的深入探讨，以及它们与表示论、Young图板理论之间的紧密联系，更是将读者带入了代数组合学最核心的疆域。我特别赞赏作者在介绍Hall多项式时所展现的数学深度，它不仅仅是一个定义，而是连接了离散数学、代数几何甚至数论的桥梁。书中的例子，从简单的Young图到复杂的表示理论问题，都处理得恰到好处，既展示了理论的普适性，又提供了具体的应用场景。我印象深刻的是，作者是如何通过Hall多项式的性质来证明一些关于Young图和它们表示的深刻定理，这是一种将抽象代数工具转化为强大分析能力的典范。这本书对于正在研究或即将研究代数表示论、量子群理论、或者与组合学相关的计算机科学领域的学生和研究人员来说，无疑是一份宝贵的财富。它的结构清晰，章节之间的过渡自然，即使是对于非数学专业背景但对该领域有强烈兴趣的读者，只要投入足够的时间和精力，也能从中受益匪浅。

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《Symmetric Functions and Hall Polynomials》这本书，是一部真正意义上能够“启迪思想”的数学著作。作者以一种极其精妙的方式，将看似独立的两大数学领域——对称函数和Hall多项式——编织在一起，展现了一个庞大而和谐的数学图景。书中对对称函数各种基的介绍，如完备对称函数、初等对称函数、幂和函数，以及它们之间的对偶关系，都处理得十分细致。然而，本书的真正亮点在于其对Hall多项式的深度挖掘，以及如何利用它们来理解更复杂的代数结构，特别是与表示论相关的概念。我特别着迷于书中关于Hall多项式在刻画李代数表示中的作用，以及它们如何与Young图板的组合性质联系起来。作者的论证过程清晰、逻辑严谨，并且富有数学美感，许多证明都显得精巧绝伦。这本书对于正在深入研究代数组合学、表示论、量子群理论，以及任何需要大量处理组合结构的领域的研究者来说，无疑是一份珍贵的财富。它不仅仅提供了扎实的理论基础，更重要的是，它教会我们如何以一种“组合化”的思维方式去解决抽象的代数问题，从而获得更深刻的理解和更有效的计算手段。

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我必须说，《Symmetric Functions and Hall Polynomials》这本书的出现，在某种程度上重新定义了我对“数学书籍”的认知。它不仅仅是知识的堆砌，更是一种数学思想的传承与发展。作者以一种非常“有耐心”的方式，引导读者逐步深入到对称函数的复杂世界。从最初的定义和基本性质，到更复杂的概念如齐次对称函数（homogeneous symmetric functions）和完备对称函数（complete homogeneous symmetric functions）的表示，再到它们与Hall多项式的精妙联系，每一步都经过深思熟虑。我特别欣赏书中所展示的，如何利用Hall多项式来刻画李代数（Lie algebra）的表示，这是一种非常高阶且具有挑战性的联系，但作者却将其分解得如此易于理解。书中关于Hall多项式在表示论中作为“代数索引”的角色，为我理解某些看似晦涩的定理提供了全新的视角。对于那些在学术研究中需要大量运用组合方法来解决代数问题的学者，这本书的价值是无法估量的。它提供了一种强大的语言和工具集，能够将复杂的代数结构转化为组合对象，从而获得更直观的理解和更有效的计算方法。读完这本书，我感觉自己的数学工具箱里增加了一种全新的、极其强大的工具，它让我能够以一种更深刻、更全面的方式来看待代数和组合学中的许多问题。

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在我接触《Symmetric Functions and Hall Polynomials》这本书之前，我对对称函数与Hall多项式之间的联系，始终只停留在一种模糊的认知层面。但这本书的出现，彻底打开了我对这一领域的新视野。作者的叙述风格极其严谨，但又不失启发性。他对各种对称函数基的介绍，从完备对称函数到初等对称函数，再到幂和函数，都做得非常详尽，并且着重强调了它们之间的相互关系。本书的核心，无疑是对Hall多项式的深入挖掘，以及如何利用它们来揭示更深层次的代数结构。我尤其欣赏书中对Littlewood-Richardson规则的组合性证明，它将原本抽象的代数乘法，转化为了一种富有几何直觉的Young图板操作。这对于理解表示论中的张量积分解，提供了极其宝贵的洞见。对于正在进行代数表示论、代数几何、或者与组合学交叉领域研究的学者来说，这本书提供了一种强大的分析工具和一套全新的思维方式。它不仅仅是理论的传授，更是一种数学思想的启迪，让我能够以一种更深邃、更全面的方式去理解和解决复杂数学问题。

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