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出版者:

作者:Kung, Joseph P. S./ Rota, Gian-Carlo/ Yan, Catherine H.

出品人:

页数:408

译者:

出版时间:2009-2

价格:$ 135.60

装帧:

isbn号码:9780521883894

丛书系列:Cambridge Mathematical Library

图书标签:

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《数学的奇妙拼图：探索组合学》 在浩瀚的数学宇宙中，有一门学科，它以其独特的视角，将看似杂乱无章的元素巧妙地组织、计数和排列，揭示出隐藏在规律背后的深刻联系。这便是组合学，一门关于“选择”与“排列”的艺术，一门构建世界的数学基石。 本书《数学的奇妙拼图：探索组合学》并非一本枯燥的定理堆砌，而是一次引人入胜的数学之旅，旨在带领读者领略组合学的魅力，理解其核心思想，并感受其在现实世界中的广泛应用。我们将从最基础的概念出发，循序渐进地深入探讨组合学的核心分支。 第一部分：基础构建——计数的力量 旅程的起点，我们将聚焦于组合学的基本工具：计数原理。在这里，你会学习到如何系统地计算不同情境下的可能性，例如： 加法原理与乘法原理： 理解当事件之间相互独立或互斥时，如何将它们各自的可能性叠加或相乘，从而解决简单的计数问题。这就像是在规划一条最短路线，你需要考虑每一步选择的可能性。 排列（Permutation）： 探索当元素的顺序很重要时，如何计算它们的排列方式。想象一下，不同的选手参加一场比赛，他们获得冠、亚、季军的顺序有多少种可能？这就是排列的魅力所在。我们会深入理解“不重复排列”和“可重复排列”的区别。 组合（Combination）： 学习当元素的顺序无关紧要时，如何计算选择的组合方式。比如，从一群朋友中选出几位参加派对，他们被选中的成员组合有多少种？这与排列不同，重点在于“选出”的整体，而非“选出的顺序”。我们将详细介绍“不重复组合”和“可重复组合”的计算方法。 二项式定理与系数： 深入理解 $(a+b)^n$ 的展开式，揭示二项式系数的组合意义。它不仅是代数上的一个恒等式，更是连接代数与组合学的桥梁，让我们能够以一种全新的方式理解多项式的展开。 鸽巢原理： 掌握一个看似简单却异常强大的原理。当物体放入的盒子比物体本身数量少时，至少有一个盒子会包含不止一个物体。这个原理能够简洁地证明一些存在性的结论，在证明问题时展现出惊人的力量。 第二部分：深入探索——结构与模式 随着基础的牢固，我们将进一步探索组合学中更复杂的结构和模式： 生成函数（Generating Functions）： 引入一种强大的数学工具，用多项式来表示一个序列，并利用多项式的运算来解决组合计数问题。生成函数就像一把钥匙，能够解锁许多棘手的计数难题，它将代数运算与组合计数巧妙地结合起来。 图论初步： 探索组合学与图论的紧密联系。图论是研究点（顶点）和线（边）之间关系的数学分支。我们将介绍图的基本概念，如路径、圈、连通性等，并探讨一些经典的图论问题，例如旅行商问题和最短路径问题，了解它们在组合学中的应用。 容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion）： 学习一种用于计算集合的并集大小的强大技术。当直接计算集合的并集大小变得困难时，容斥原理通过计算交集来间接求解，它在处理具有重叠属性的计数问题时尤为有效。 斯特林数（Stirling Numbers）： 深入理解斯特林数，它们是组合学中用来计数将集合划分为非空子集（第一类斯特林数）或将元素分配到不同箱子（第二类斯特林数）的计数。这些数字在研究集合的划分和函数映射时扮演着重要角色。 整数划分（Integer Partitions）： 探索将一个正整数表示为若干个正整数之和的不同方式。整数划分的研究揭示了数论与组合学之间的深刻联系，并引出了许多有趣的计数问题。 第三部分：现实应用的广度 组合学的价值不仅体现在其内在的数学美，更在于其在各个领域无处不在的应用。本书将通过生动的案例，展示组合学的强大生命力： 计算机科学： 探索组合学在算法设计、数据结构、编码理论、密码学等领域的关键作用。例如，如何计算特定算法的时间复杂度，如何设计高效的查找算法，如何保证信息的安全传输。 概率论： 理解组合学如何为概率计算提供基础。计算各种事件发生的概率，例如抽奖、洗牌、掷骰子等，都离不开精确的组合计数。 统计学： 了解组合学在样本选择、数据分析和假设检验中的应用。 物理学与化学： 探索组合学在统计力学、分子结构研究等方面的应用。 运筹学与优化： 学习如何利用组合学解决资源分配、调度安排、路径规划等实际问题。 生物信息学： 了解组合学在基因序列分析、蛋白质折叠等领域的贡献。 本书特色： 直观易懂的讲解： 我们将尽量使用清晰的语言和直观的图示来解释复杂的概念，避免过于抽象的数学符号。 丰富的实例： 每个概念都配有精心设计的实例，帮助读者理解抽象原理在实际问题中的应用。 循序渐进的难度： 从基础概念到高级主题，难度逐步提升，适合不同数学背景的读者。 启发思考的练习题： 每章末都附有练习题，鼓励读者动手实践，巩固所学知识，并进一步探索。 《数学的奇妙拼图：探索组合学》邀请您踏上一段充满智慧与发现的旅程。无论您是数学爱好者，还是希望在相关领域深入研究的学生，亦或是希望了解数学如何塑造我们世界的读者，本书都将是您不可或缺的向导。让我们一同沉浸在组合学的世界，用数学的语言解读世界的秩序与变化，感受那份“选择”与“排列”带来的无限可能。

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拿到这本书的时候，我其实是带着点怀疑的，因为市面上关于这个领域的书籍已经很多了，很难想象还能有什么新的视角。然而，这本书的独特之处在于它的“应用导向”。作者似乎非常注重如何将这些纯粹的数学工具应用于实际工程和计算机科学领域。我印象最深的是关于网络流和匹配理论的那几节，作者不仅解释了算法的原理，还用流程图和伪代码清晰地展示了如何实现它们，这对于我从事算法优化工作非常有帮助。与我之前读过的其他教材相比，这本书的语言风格更加口语化，少了一些刻板的说教，多了一份与同行交流的感觉。即便是对于那些已经掌握了基础知识的读者，这本书也能提供一些高阶的、鲜为人知的技巧和优化方法。我把它放在手边，时不时翻阅一下，总能从中找到新的灵感，它更像是一本工具箱，而不是一本线性的教程。

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我必须承认，这本书的开篇让我感到有些吃力，它没有像许多现代教材那样用大量的背景铺垫来软化读者。直接切入主题，以一种非常直接和高效的方式介绍了最基础的计数原理。但是，一旦适应了这种节奏，你会发现它的效率极高。书中对递归关系的讨论极为透彻，特别是如何利用特征方程来求解非齐次线性递归关系的那部分，讲解得丝毫不含糊，每一个步骤的合理性都有据可查。此外，这本书在组织材料时非常注重逻辑的递进关系，前一章的结论往往会成为下一章深入探讨的基础，这使得知识体系的构建非常牢固。我特别喜欢它在介绍斯特林数和欧拉数的章节中，所使用的那种“从具体现象归纳出抽象结构”的方法，这比单纯给出定义和公式要有效得多。总的来说，这是一本为那些追求知识的“纯粹性”和“内在逻辑”的读者量身定做的宝典。

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这本书简直是数学爱好者的一场盛宴，但它绝非一本轻松的读物，需要投入相当的精力和专注力。我花了很长时间才消化完关于生成函数的那几章，里面的推导过程环环相扣，稍不留神就会跟不上作者的思路。不过，一旦你攻克了这些难点，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。作者对Sperner定理的讨论非常深入，不仅回顾了历史背景，还详细分析了不同证明路径的优劣，这种学术上的严谨性让人肃然起敬。我尤其喜欢其中关于图论中组合结构的部分，它将抽象的集合论与实际的连接问题巧妙地结合起来。虽然某些章节的习题难度偏高，需要借助外部资源辅助思考，但正是这些挑战性的练习，才真正锻炼了我的问题解决能力。对于那些寻求深度和广度兼备的读者来说，这本书提供了无可替代的价值，它不是用来“看”的，而是用来“做”的。

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这本书的阅读体验非常“欧式”，那种对数学美感的极致追求贯穿始终。作者的叙述充满了古典的优雅，仿佛在引领我们进行一场精致的思维漫步。它并不急于给出最快的解决方案，而是倾向于展示证明的美感和逻辑的严密性。例如，在涉及排列组合计数法的证明时，作者采用了多种不同的视角进行反复论证，每一种都揭示了问题的不同侧面，让人在重复中领悟到数学的深度。虽然这本书对读者的背景知识要求较高，它假设你已经对离散数学和基础代数有扎实的了解，但对于有准备的读者来说，这是一种享受。章节间的过渡处理得极其自然，几乎不需要跳转页码来寻找上下文的联系。它更像是一部数学史诗，记录了组合学的思想演变历程，读完之后，你会觉得不仅仅是学到了一些技巧，更是提升了对数学思维本身的敬畏之心。

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这本书的封面设计得非常简洁有力，乍一看让人感觉内容会比较偏理论和严谨，但实际上阅读起来的体验比我想象的要顺畅得多。作者在引入一些核心概念时，运用了非常生动的例子，即使对于初学者来说，也不会感到过于抽象难懂。比如在讲解二项式定理时，他没有直接抛出复杂的公式，而是通过一个构建花园的场景来引导读者思考，这种叙事性的讲解方式极大地降低了学习曲线。我特别欣赏的是，书中对鸽巢原理的阐述，不仅给出了经典的证明方法，还拓展到了一些更复杂的变体，这让我对这个看似简单的原理有了更深层次的理解。而且，书中的排版清晰，图示恰到好处，不会喧宾夺主，而是作为辅助工具来强化理解。读完前半部分，我感觉自己的数学思维被极大地激发了，特别是对于如何将现实问题抽象成数学模型的能力，得到了显著的提升。这本书绝对是教科书级别的经典之作，内容覆盖全面且深入。

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