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具体描述
This is a genuine introduction to algebraic geometry. The author makes no assumption that readers know more than can be expected of a good undergraduate. He introduces fundamental concepts in a way that enables students to move on to a more advanced book or course that relies more heavily on commutative algebra.
The language is purposefully kept on an elementary level, avoiding sheaf theory and cohomology theory. The introduction of new algebraic concepts is always motivated by a discussion of the corresponding geometric ideas. The main point of the book is to illustrate the interplay between abstract theory and specific examples. The book contains numerous problems that illustrate the general theory.
The text is suitable for advanced undergraduates and beginning graduate students. It contains sufficient material for a one-semester course. The reader should be familiar with the basic concepts of modern algebra. A course in one complex variable would be helpful, but is not necessary. It is also an excellent text for those working in neighboring fields (algebraic topology, algebra, Lie groups, etc.) who need to know the basics of algebraic geometry.
作者简介
Klaus Hulek: Universität Hannover, Hannover, Germany
目录信息
Title 4
Copyright 5
Contents 6
Preface 8
Chapter 0. Introduction 10
Exercises 24
Chapter 1. Affine Varieties 26
§1.1. Hilbert's Nullstellensatz 26
§1.2. Polynomial Functions and Maps 46
§1.3. Rational Functions and Maps 58
Exercises 67
Chapter 2. Projective Varieties 72
§2.1. Projective Space 72
§2.2. Projective Varieties 75
§2.3. Rational Functions and Morphisms 84
Exercises 103
Chapter 3. Smooth Points and Dimension 106
§3.1. Smooth and Singular Points 106
§3.2. Algebraic Characterization of the Dimension of a Variety 112
Exercises 121
Chapter 4. Plane Cubic Curves 124
§4.1. Plane Curves 124
§4.2. Intersection Multiplicity 127
§4.3. Classification of Smooth Cubics 135
§4.4. The Group Structure of an Elliptic Curve 145
Exercises 148
Chapter 5. Cubic Surfaces 152
§5.1. The Existence of Lines on a Cubic 153
§5.2. The Configuration of the 27 Lines 160
§5.3. Rationality of Cubics 170
Exercises 172
Chapter 6. Introduction to the Theory of Curves 176
§6.1. Divisors on Curves 176
§6.2. The Degree of a Principal Divisor 181
§6.3. Bezout's Theorem 191
§6.4. Linear Systems on Curves 193
§6.5. Projective Embeddings of Curves 202
Exercises 213
Bibliography 216
§A. Books on Commutative Algebra 216
§B. Books on Algebraic Geometry 216
§C. Other Literature 217
Index 220
A 220
B 220
C 220
D 220
E 220
F 220
G 221
H 221
I 221
J 221
K 221
L 221
M 221
N 221
O 221
P 221
Q 221
R 221
S 222
T 222
U 222
V 222
W 222
Z 222
Back Cover 225
· · · · · · (收起)
读后感
评分
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用户评价
在阅读《Elementary Algebraic Geometry》的过程中，我感受到了作者在知识体系构建上的匠心独运。书中的章节安排不仅逻辑严密，而且充分考虑到了学习者的接受习惯。作者从仿射空间出发，逐步引入射影空间、多项式环、理想、代数簇等核心概念，每一步都为后续内容的学习打下坚实基础。我尤其喜欢书中在介绍代数簇的“维度”概念时，通过与熟悉几何对象的类比，以及代数工具的支撑，使得这个抽象的概念变得生动而具体。书中还涉及了一些关于可数性、完备性等性质的探讨，这些内容虽然看似基础，却对理解代数几何的深刻性至关重要。我记得曾经花了很多时间去理解书中关于“光滑性”的定义，以及它与代数几何中各种问题的联系。作者在解释这些复杂概念时，总是能够提供清晰的例子和直观的解释，让我能够逐渐掌握这些抽象的数学工具。这本书不仅仅是知识的堆砌，更像是一场精心策划的数学之旅，每一步都充满了发现和惊喜。它为我开启了理解现代数学深层结构的大门，让我看到了代数几何在其他数学分支中的巨大潜力。
评分《Elementary Algebraic Geometry》给我最深刻的感受是，它如何将抽象的代数语言与直观的几何图像完美地结合起来。作者在构建每一个数学概念时，都仿佛是在精心雕琢一件艺术品，力求在严谨性与可理解性之间达到一种绝妙的平衡。我特别欣赏书中对“簇”这一核心概念的讲解，作者从最基础的多项式方程组的解集出发，逐步引入理想、商环等代数工具，最终将几何对象与代数结构紧密联系起来。这种从具体到抽象，再从抽象回归具体的论证方式，让我对代数几何的本质有了更深刻的认知。书中对一些著名几何问题的代数处理方法，例如关于平面曲线的分类和性质，让我看到了代数几何在解决几何难题上的强大威力。我记得书中有专门的章节详细介绍了有理参数化，这让我对曲线的几何形状有了更直观的认识。尽管某些证明过程相对复杂，但作者总能提供必要的辅助说明和提示，帮助读者一步步跟上思路。这本书的阅读体验，更像是在进行一场严谨的智力探险，每一次克服一个难点，都能获得新的发现和乐趣。它不仅仅传授知识，更培养了一种解决数学问题的能力和信心。
评分这本书给我带来的，远不止于对代数几何基础知识的梳理，它更像是一把开启了理解抽象数学世界大门的钥匙。初读《Elementary Algebraic Geometry》时，我被它严谨而清晰的逻辑结构深深吸引。作者并没有一开始就抛出复杂的定理和证明，而是循序渐进地引导读者进入代数几何的殿堂。从射影空间的概念出发，逐步引入齐次坐标、簇、理想等核心要素，每一步都像是在搭建一座精密的数学模型。我尤其喜欢书中对一些抽象概念的几何化解释，比如将多项式的根集视为几何对象，这种视角极大地降低了理解门槛，也让我感受到了数学的魅力所在。书中大量的例题和练习题更是不可或缺的财富，它们不仅巩固了理论知识，更重要的是教会了我如何运用这些工具去解决实际问题。每一次独立完成一个练习，都仿佛完成了一次小小的数学探索，那种成就感至今难忘。这本书不是那种可以一目十行读完的书，它需要静下心来，细细品味，反复思考。我经常会在读完一个章节后，花大量时间回顾之前的内容，并在脑海中构建这些抽象概念的图像。这种深入的思考过程，让我对代数几何的理解更加深刻和透彻。可以说，它为我今后的数学学习打下了坚实的基础，让我在面对更高级的数学理论时，多了一份自信和从容。
评分《Elementary Algebraic Geometry》为我提供了一个认识代数几何的全新视角。作者并没有急于给出繁复的定义和定理，而是通过剖析一些经典的几何问题，引出代数几何中重要的工具和概念。我记得在学习关于多项式环的性质时，书中详细阐述了理想的结构如何反映了多项式方程组解集的几何形状。这种从代数结构的根源去理解几何对象的思路，让我感到非常受启发。书中对复数域上的代数簇的讨论，以及与实数域上的几何直观的对比，也让我对这些概念有了更全面的认识。我特别欣赏书中对一些代数几何基本定理的介绍，比如希尔伯特零点定理，作者不仅给出了严谨的证明，还对其几何意义进行了深入的解读。这让我不再仅仅将这些定理视为孤立的数学命题，而是能够理解它们在整个代数几何体系中的重要地位。虽然本书的某些证明过程确实具有一定的挑战性，但作者在文字的表述上力求清晰和准确，确保读者能够跟随其思路进行推导。它不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的培养，让我学会了如何用代数的眼光去审视几何世界。
评分《Elementary Algebraic Geometry》给我最深刻的印象是其严谨的数学逻辑和深刻的几何洞察力之间的完美结合。作者在引入代数几何的核心概念时，并没有回避其中的抽象性，而是通过层层递进的论证，引导读者逐步深入。我尤其赞赏书中对“簇”的定义和性质的阐述，它从最基础的多项式方程组的解集出发，通过引入理想和商环等代数工具，将几何对象与代数结构紧密地联系起来。这种从代数角度理解几何对象的思路，让我对数学的统一性有了更深的认识。书中还详细介绍了各种类型的代数簇，例如曲线、曲面等，以及它们的各种几何性质，如连通性、不可约性等。这些内容不仅丰富了我的知识，更让我看到了代数几何在描述和分析几何对象方面的强大能力。我记得书中有专门的章节讲解了二次曲线的分类，作者通过将方程转化为标准形式，展示了如何利用代数方法来识别和理解这些几何图形。尽管有些证明过程确实需要仔细推敲，但作者在文字的表述上力求清晰，并通过大量的例题来巩固概念，这使得学习过程即使充满挑战，也充满了乐趣。这本书不仅仅是一本教科书，更是一扇窗户，让我得以窥见数学世界中那些深邃而迷人的风景。
评分在研读《Elementary Algebraic Geometry》的过程中，我深刻体会到了一位优秀数学教育者所应具备的深度和广度。作者不仅仅是传递知识，更重要的是教会读者如何思考。书中的每一个定理，都不仅仅是结果的陈述，更往往伴随着深刻的几何直觉的阐释，或者对历史背景的简要回顾，这使得学习过程更加生动有趣。我特别喜欢书中在讨论代数簇的性质时，引入的各种不变量的概念，例如维数、重数等，以及它们如何反映簇的几何特征。这些内容让我开始意识到，代数几何不仅仅是对方程组的几何解释，更是对几何对象内在结构的代数刻画。这本书的习题设计也颇具匠心，有些习题是理论知识的直接运用，有些则是对概念的延伸和深化，需要读者主动去探索和发现。我记得曾经花了一个下午的时间去解决一个关于黎曼-罗赫定理的习题，虽然过程艰辛，但最终的豁然开朗让我对该定理的理解上升到了一个新的高度。这本书并没有回避数学中的困难，但它总能以一种鼓励的方式，引导读者去克服这些困难，最终抵达理解的彼岸。它为我打开了一扇通往更广阔数学领域的大门，让我看到了数学的无穷魅力。
评分《Elementary Algebraic Geometry》的魅力在于它能够将看似高深的数学概念，用一种相对容易理解的方式呈现出来。在我学习的过程中，我发现这本书的逻辑层次非常分明，从最基本的代数工具，例如环、域、模，到代数几何的核心概念，如簇、概形，再到更进一步的课题，如上同调论的初步介绍，每一步都衔接得非常紧密。我尤其欣赏书中在介绍代数簇的定义时，所采用的先从仿射空间出发，再推广到射影空间，最后引入概形概念的这种递进式讲解方式。这使得我在理解这些抽象概念时，能够有一个由易到难、循序渐进的过程。书中对一些经典代数曲线的讨论，例如椭圆曲线，给我留下了深刻的印象。作者通过详细的例子，展示了如何运用代数方法来分析和理解这些几何对象，这让我体会到了代数几何的强大之处。虽然这本书的某些部分确实需要花费大量的时间去消化和理解，但作者在梳理概念时的细致和耐心，使得这些努力最终都会得到丰厚的回报。它不仅仅是一本提供知识的工具书，更是一本能够激发学习者对数学产生浓厚兴趣的书籍。
评分从纯粹的学习体验来说，《Elementary Algebraic Geometry》给予了我一次非常愉悦且高效的知识获取过程。我通常会带着问题去阅读，而这本书总能在合适的时机给出清晰的解答。书中的语言风格十分严谨，但又不失优雅，没有多余的修饰，每一个句子都旨在传递最准确的数学信息。我尤其喜欢作者在解释一些关键定理时，会反复强调其背后的几何直观意义。例如，在讲解曲面的分类时，书中深入浅出地解释了不同曲面类型在代数几何中的结构和性质，以及它们是如何通过拓扑和代数属性来区分的。这种“形”与“数”的结合，让我对代数几何的理解不再停留在孤立的公式和定理上，而是形成了一个相互关联、逻辑严密的知识体系。书后附带的参考文献列表也为我进一步深入研究提供了宝贵的线索。我曾根据书中的提示，去查找了一些原始论文，进一步拓展了对某些概念的理解。虽然本书的篇幅不小，但由于其结构清晰，章节之间的过渡自然，阅读起来并不觉得枯燥。反而，每一次翻页都充满了对新知识的期待。这本书不仅仅是一本教材，更像是一本引人入胜的数学小说，每一次阅读都仿佛在探索一个全新的、充满奥秘的数学宇宙。
评分当我第一次翻开《Elementary Algebraic Geometry》时，我被它内容组织的条理性所折服。书中的每一章都像是一个精心设计的逻辑单元，层层递进，确保读者能够稳步地掌握代数几何的核心思想。作者在介绍射影几何的基本概念时，非常注重从仿射空间的过渡，强调了齐次坐标的引入如何解决了仿射空间中“无穷远点”的问题。这种循序渐进的讲解方式，极大地降低了初学者的门槛。我尤其喜欢书中对“概形”这一重要概念的介绍，虽然它是代数几何中非常抽象的一个概念，但作者通过大量的例子和类比，将其与代数簇的联系阐述得非常清楚。这让我不再畏惧这些抽象的数学结构，反而对其产生了浓厚的兴趣。书中还涉及了一些关于代数曲线不变量的讨论，比如 genus，以及它们与代数几何定理之间的关系，这让我对代数几何的深刻性和普遍性有了更深的体会。尽管这本书的某些章节需要反复推敲才能完全理解，但每一次的努力都让我感觉离数学的本质又近了一步。它不仅仅是一本教材，更是一位循循善诱的老师，引导我走向更广阔的数学世界。
评分《Elementary Algebraic Geometry》在概念的引入上，展现出了一种“润物细无声”的教学智慧。作者并没有生硬地灌输定义，而是通过对问题的巧妙设计，引导读者自然而然地接触并理解代数几何的核心思想。我记得在学习环论与代数几何的联系时，书中通过对多项式环的研究，引出了理想的概念，并且详细阐述了理想与代数簇之间的对应关系。这种从代数结构出发，再去构建几何对象的思路，让我耳目一新。书中的图示也恰到好处，它们并不是简单的装饰，而是辅助理解抽象概念的重要工具。例如，在介绍曲线的交点理论时，书中的配图清晰地展示了不同曲线的相交情况，以及由此引申出的 Bezout 定理的直观含义。即使是初学者，也能通过这些图示获得初步的感性认识。我特别欣赏书中对一些经典问题的探讨，比如丢番图方程的几何解释，以及曲线的 genus 的代数和几何意义。这些内容不仅丰富了我的知识面，更让我看到了代数几何在数论等其他数学分支中的广泛应用。阅读这本书的过程，就像在与一位经验丰富的数学家进行对话，他会耐心地解答你的疑问，并引导你发现数学世界中隐藏的规律。虽然有时候会遇到一些挑战性的证明，但一旦克服，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。
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