Embeddings in Manifolds pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Daverman, Robert J./ Venema, Gerard A.

出品人:

页数:474

译者:

出版时间:2009-11-30

价格:655.00元

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821836972

丛书系列:Graduate Studies in Mathematics

图书标签:

• 流形
• 嵌入
• 拓扑
• 几何
• 微分几何
• 数据分析
• 机器学习
• 降维
• 表示学习
• 高维数据

嵌入式几何的奥秘：理解抽象空间的内在结构 想象一下，我们置身于一个由点、线、面构成的复杂网络之中，这个网络可能是我们熟悉的欧几里得空间，也可能是扭曲而充满细节的几何流形。而我们要做的，就是在这片抽象的海洋中，找到一种清晰、有序的方式来描绘和理解它的内在纹理。这便是《嵌入式几何的奥秘》一书所要探索的宏大主题。本书并非仅仅罗列定理和公式，而是旨在揭示几何流形在更广阔空间中“嵌入”所带来的深刻洞见，以及这种嵌入如何帮助我们解锁流形本身的几何性质、拓扑结构乃至动力学行为。 在现代数学和物理学的诸多领域，我们常常会遇到非线性的、弯曲的几何对象，这些对象就是流形。它们可以是描述时空结构的广义相对论中的四维时空，可以是描述高维数据集的几何结构，也可以是描述量子力学中波函数空间的复杂几何。然而，直接在这些抽象的流形上进行分析和计算往往困难重重。幸运的是，一个核心的思想应运而生：将这些“内在”弯曲的流形“嵌入”到我们更熟悉的、平坦的欧几里得空间中。这个过程，就如同将一张折叠的地图展开平铺在桌面上，使得我们能够更容易地测量距离、观察形状、分析运动。 本书将从最基础的概念入手，为读者构建一个坚实的理论框架。我们会从向量空间和度量空间出发，逐步引入黎曼流形的定义。这里，“黎曼”一词至关重要，它意味着我们在流形上定义了距离的概念，即一种光滑的、处处正定的二次型，它允许我们在流形的每一点上精确地测量微小的长度和角度。这将是理解流形几何性质的基石。本书不会回避那些看似抽象的数学语言，但我们会始终强调其几何直观意义。例如，当讨论切空间时，我们会将其比喻为流形在某一点的“局部平面”，所有沿着该点的可能运动方向都可以在这个切空间中找到对应的表示。 接下来的关键在于“嵌入”的概念。本书将深入探讨两种主要的嵌入方式：正则嵌入 (Regular Embedding) 和 度量嵌入 (Isometric Embedding)。正则嵌入允许我们将一个流形精确地映射到一个更高维度的欧几里得空间，而不会在映射过程中产生“褶皱”或“自相交”。这就像是将一个三维物体投影到二维平面上，虽然失去了一维的信息，但其基本形状仍然得以保留。本书将详细阐述正则嵌入的定理，包括著名的Whitney嵌入定理，它保证了任何光滑的 $n$ 维流形都可以被光滑地嵌入到 $2n$ 维的欧几里得空间中。我们将探究为什么是 $2n$ 维，以及这种嵌入如何为我们提供了一个更广阔的视角来观察流形的内部结构。 而度量嵌入，或者更准确地说，等距嵌入 (Isometric Embedding)，则是在此基础上提出了一个更为苛刻的要求：不仅要保证映射的正则性，还要在嵌入过程中保持距离。换句话说，流形上任意两点之间的测地距离，在嵌入到欧几里得空间后，仍然是它们欧几里得距离。这犹如将一张羊皮纸完整地、不拉伸、不压缩地平铺在桌面上。等距嵌入的难度远大于正则嵌入，并且并非所有的黎曼流形都能等距嵌入到某个欧几里得空间中。本书将重点介绍Nash关于等距嵌入的深刻定理，尤其是Nash-Kuiper嵌入定理，它揭示了看似“不可能”的等距嵌入在某些情况下是可以实现的，前提是我们允许使用“挤压”或“折叠”等非平滑的操作，但最终仍然能在某些空间实现“看起来”平滑的等距嵌入。我们将探讨这些定理的证明思路，以及它们对于理解流形内在刚性的重要意义。 理解了嵌入的数学机制后，本书将转向这些嵌入如何帮助我们量化和分析流形的几何特性。例如，我们可以利用嵌入后的欧几里得空间来计算流形的曲率。曲率是描述流形弯曲程度的关键指标，而通过嵌入，我们可以将计算曲率的复杂过程转化为在欧几里得空间中的向量运算。本书将详细介绍高斯曲率、平均曲率以及里奇曲率等概念，并展示它们如何通过嵌入流形来得以计算和理解。我们会深入探讨曲率与流形整体形状之间的联系，例如，一个曲率处处为正的流形很可能具有球状的几何特征。 此外，嵌入还为我们提供了研究流形 拓扑性质 的有力工具。拓扑性质是那些在连续形变下保持不变的性质，例如连通分支的数量、孔洞的数量等。通过将流形嵌入到欧几里得空间，我们可以利用成熟的代数拓扑工具，如同调论和同伦论，来研究流形的拓扑结构。本书将举例说明，如何通过观察嵌入流形在欧几里得空间中的“行为”，来推断流形本身的拓扑不变量。例如，一个嵌入在三维空间中的二维球面，其拓扑性质可以通过其在三维空间中的“外形”来直观地捕捉。 本书还将触及嵌入与 动力学系统 之间的深刻联系。许多动力学系统都在高维相空间中演化，而这个相空间本身就可以被视为一个流形。研究这些系统在流形上的行为，往往需要将其“嵌入”到一个更容易分析的动力学框架中。本书将探讨如何利用嵌入来研究不动点、周期轨道、混沌行为等动力学现象，并给出一些在物理学和工程学中的应用案例，例如描述粒子在势场中的运动，或者分析神经网络中的信息流动。 为了让读者更好地掌握这些抽象的概念，本书将精心设计一系列 数学例证和几何可视化。我们会从二维曲面（如球面、圆环面）开始，逐步过渡到更高维度的流形。读者将有机会通过具体的例子，理解曲率如何影响流形的形状，嵌入如何帮助我们测量距离，以及拓扑性质如何在嵌入过程中得以体现。同时，本书也将介绍一些重要的 数值方法，例如流形学习中的降维技术（如ISOMAP, LLE），这些方法正是基于“嵌入”的思想，试图在低维欧几里得空间中重构高维流形的内在几何结构，从而实现数据可视化、模式识别等任务。 总而言之，《嵌入式几何的奥秘》是一本致力于揭示嵌入这一强大数学工具在理解和分析几何流形方面所扮演核心角色的著作。它不仅仅是一本技术性的教科书，更是一次引导读者深入探索抽象空间内在奥秘的旅程。通过掌握本书所介绍的原理和方法，读者将能够以一种全新的视角来审视数学、物理学、计算机科学以及其他诸多领域中涌现出的复杂几何结构，并能够运用这些工具来解决实际问题，推动科学研究的边界。这是一本写给那些对几何的深度、空间的结构以及数学的优雅充满好奇的探索者们的读物。

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