有界解析函数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:加耐特

出品人:

页数:459

译者:

出版时间:2010-1

价格:55.00元

装帧:

isbn号码:9787510005466

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 泛函分析
• 复分析
• 解析函数
• 有界性
• 函数论
• 数学分析
• 复变函数
• 数学
• 高等数学
• 解析延拓
• 边界值问题

探索函数世界的边界：一场严谨的数学之旅 在浩瀚的数学海洋中，函数扮演着至关重要的角色，它们描绘了变量间的依存关系，揭示了宇宙运行的内在规律。而在这无垠的函数世界里，存在着一类特殊而迷人的函数——解析函数。它们以其光滑、可微的特性，以及在整个复平面上定义并能由泰勒级数展开的优美性质，吸引了无数数学家的目光。然而，即使是如此“完美”的函数，也并非无所不能，它们的行为并非总是可以在整个平面上任意伸展。当我们将目光聚焦于函数行为的“边界”时，一项引人入胜的数学课题便应运而生：有界解析函数。 本书并非直接探究“有界解析函数”这一特定概念本身，而是将读者带入一个更广阔的数学框架，在那里，我们得以深刻理解函数为何会有“边界”，以及这些边界如何塑造函数的性质，进而为理解“有界解析函数”的存在和特性奠定坚实的基础。我们将从最基础的函数概念出发，逐步构建起一个严谨的分析理论体系，借此来审视函数在不同条件下的行为表现。 第一篇：函数世界的基石——分析学的回顾与延伸 在正式踏入函数边界的探索之前，我们需要巩固对函数本质的理解。本篇将带领读者回顾分析学中的核心概念，并将其延伸至更复杂的场景。 实数域上的函数： 我们将从直观的实数域开始，复习函数的定义、性质，如单调性、奇偶性、周期性、连续性等。这些基本概念是理解一切函数行为的出发点。我们会通过大量的实例，加深对这些基本属性的认识。例如，我们将会探讨不同类型函数的图像特征，以及它们在现实世界中的应用，如物理学中的运动学模型，经济学中的供需关系等。 序列与级数： 函数的“无穷”行为，往往通过序列和级数来刻画。我们将深入研究收敛、发散的判定方法，例如柯西收敛准则、比值判别法、根值判别法等。特别地，我们将重点关注幂级数的性质，理解它作为一种强大的函数表示工具，是如何连接离散的数列与连续的函数的。泰勒级数和麦克劳林级数的构造原理及其在函数逼近中的作用，将是本篇的重头戏。我们将通过解析几何的视角，理解级数收敛域的几何意义。 微分与积分： 微分是描述函数局部变化率的工具，而积分则是描述函数累积效应的工具。本篇将详细阐述微分的定义、求导法则，以及导数在函数性态分析中的应用，例如单调性、极值、凹凸性等。积分的部分，我们将回顾定积分与不定积分的概念，并探讨积分在计算面积、体积、曲线长度等方面的能力。此外，我们将触及一些进阶的积分技巧，以及它在概率论和统计学中的应用，例如概率密度函数等。 第二篇：复数域的奇妙之旅——解析函数的优雅 当我们将函数的定义域从实数轴拓展到复数平面时，函数的行为会发生翻天覆地的变化，诞生出更为丰富和优雅的解析函数。 复数与复变函数： 本篇将从复数的概念出发，介绍复数的代数运算和几何表示。在此基础上，我们引入复变函数的概念，以及复变函数的可微性——即解析性。我们将清晰地区分复变函数的可导性与解析性的不同，并理解解析性对函数性质的强大约束力。 柯西-黎曼方程： 这是判断一个复变函数是否为解析函数的充要条件。我们将深入理解柯西-黎曼方程的由来及其数学意义，并通过一系列实例，熟练掌握运用柯西-黎曼方程来判定函数的解析性。我们将看到，满足柯西-黎曼方程的函数，其在复平面上的行为是何其“顺滑”。 解析函数的积分性质： 解析函数拥有诸多独特的积分性质，例如柯西积分定理和柯西积分公式。我们将详细推导并理解这些定理的深刻含义，它们揭示了解析函数在整个区域上积分的独立性，以及函数值与其边界上积分的密切联系。这些定理是理解解析函数性质的基石。 泰勒级数与洛朗级数： 就像实变函数可以通过幂级数表示一样，解析函数同样可以通过泰勒级数在某点附近展开。我们将探究解析函数的泰勒级数展开的唯一性，以及其收敛域的性质。对于非解析的点，我们将引入洛朗级数，它能够描述解析函数在奇点附近的局部行为，是理解函数复杂性的重要工具。 第三篇：函数行为的限制——边界与约束 在理解了解析函数的强大能力之后，我们开始关注那些限制其“自由”的因素——边界。当一个解析函数被限定在一个特定的区域内，或者其值受到某种约束时，它的行为会发生怎样的变化？ 区域与边界： 我们将引入“区域”和“边界”的数学概念，例如开集、闭集、连通集等，以及它们在复变函数理论中的重要性。我们将探讨不同类型的区域，以及它们的拓扑性质。边界不仅是区域的“边缘”，它更是信息传递的重要载体。 连续延拓与解析延拓： 解析函数的一个重要性质是，如果它在一个区域内被唯一确定，那么它就唯一地确定了它在整个复平面上的解析性（如果存在）。我们将探讨如何通过已知的函数值或导数值，来“延拓”函数的定义域，并理解解析延拓的唯一性和重要性。 函数方程与微分方程： 很多函数并非随意产生，而是满足特定的函数方程或微分方程。我们将研究如何求解这些方程，并理解方程的解集所具有的性质。这部分内容将为我们后续理解有界性条件对解的约束埋下伏笔。 范数与度量： 为了量化函数的“大小”或“距离”，我们需要引入范数和度量的概念。在实数域，我们有欧几里得范数；在函数空间，我们有各种各样的范数，例如上确界范数、Lp范数等。这些工具将为我们严谨地定义和讨论函数的“有界性”提供数学语言。 第四篇：探索有界性的意义 在前面的铺垫之后，我们终于可以聚焦于“有界性”这个关键概念，并思考它对解析函数意味着什么。 局部有界与整体有界： 我们将区分函数的局部有界性（在某点附近有界）和整体有界性（在整个定义域内有界）。虽然解析函数在局部一定是“无限可微”的，但其整体的值域未必是有界的。 区域上的有界性： 当一个解析函数被限制在一个有界的区域上时，它的行为会受到怎样的影响？我们将会看到，在这种情况下，函数的值仍然可能变得非常大。然而，如果区域是闭有界的，并且函数在边界上是连续的，那么函数在该区域上一定存在最大值和最小值。 复数域上的有界性： 在复数域，函数的“大小”通常用其模来衡量。我们将研究，如果一个解析函数在整个复平面上都有界，那么它会是怎样的函数？这个问题看似简单，却引出了复变函数理论中最深刻、最著名的结果之一。 本书通过层层递进的论述，从分析学的基本原理出发，逐步深入到复变函数的奇妙世界，并最终引导读者去思考函数行为的边界和约束。我们力求在严谨的数学推导中，穿插丰富的例子和直观的解释，帮助读者建立起对函数性质的深刻理解。本书将为那些对数学分析、复变函数以及相关数学领域感兴趣的读者，提供一个坚实的理论基础和广阔的视野。阅读本书，您将不仅仅是学习知识，更是一场思维的洗礼，一次对数学逻辑之美的全身心投入。

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其实我还没读完，读到一半想给个评价。阅读体验其实只能给三颗星，也就是不太好。多一颗星是因为很少有讲类似内容的书。其实内容绝大多数都是作者东拼西凑的，我感觉更像作者的读书笔记汇总。。。读这本书一定要注意一点就是作者似乎英语不太好的样子，证明前半部分有时候语无伦次，这时候不要盯着琢磨，往下继续看就知道讲的意思了……

评分☆☆☆☆☆

这本书不好读啊！ 其中第1.2.3章和第6章主要是调和分析的内容，其余的部分全部是关于函数代数和interpolating sequences的，奈何水平有限，兴趣有限，只细读了调和分析的部分 另外，本书有很多小错误

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这本书不好读啊！ 其中第1.2.3章和第6章主要是调和分析的内容，其余的部分全部是关于函数代数和interpolating sequences的，奈何水平有限，兴趣有限，只细读了调和分析的部分 另外，本书有很多小错误

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