Dimension Theory in Dynamical Systems pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Pesin, Yakov

出品人:

页数:314

译者:

出版时间:1997-12

价格:$ 33.90

装帧:

isbn号码:9780226662220

丛书系列:Chicago Lectures in Mathematics

图书标签:

• 动力系统
• 维度理论
• 拓扑动力学
• 李雅普诺夫指数
• 分形几何
• 混沌理论
• 非线性动力学
• 相空间
• 吸引子
• 稳定性分析

动态系统中的维度理论：一部探索复杂动力学拓扑结构的深度著作 《动态系统中的维度理论》 是一部为数学家、物理学家和理论生物学家精心打造的深度著作，它系统地剖析了动态系统领域中“维度”这一核心概念的数学构造、拓扑意义及其在理解复杂系统行为中的关键作用。本书并非对传统测度论或微分几何中维度概念的简单重复，而是聚焦于动态系统特有的、往往是非整数或分形的维度度量，以及这些度量如何揭示系统内在的结构复杂性和吸引子的几何形态。 本书的叙事结构清晰、逻辑严密，旨在为读者构建一个从基础拓扑动力学到前沿混沌理论的完整知识框架。全书共分为六个主要部分，循序渐进地深入探讨了从经典的庞加莱截面到现代的耗散结构分析。 第一部分：基础回顾与拓扑动力学框架 本部分首先为读者奠定了坚实的数学基础。它回顾了必要的拓扑学和度量空间理论，特别是那些直接服务于动力系统分析的工具，如完备性、紧致性、连通性以及紧致度量空间的性质。随后，重点引入了拓扑动力系统的基本定义：流（Flows）与映射（Maps），以及对长时间行为至关重要的概念——不变集（Invariant Sets）、极限集（Limit Sets）和吸引子（Attractors）的严格定义。 在这里，维度理论的讨论尚未完全展开，而是着重于理解系统的基本“相空间”（Phase Space）结构。作者详细考察了孤立子、周期轨道和准周期运动等简单情况下的拓扑特征，为后续引入复杂的、高维度的、甚至无穷维的现象做好了铺垫。特别地，本章对同胚（Homeomorphism）和共轭性（Conjugacy）的讨论，强调了在不改变系统拓扑性质下，维度概念的相对稳定性。 第二部分：勒贝格测度和经典维度的局限性 在这一部分，作者审视了经典集合论和测度论中定义的维度——特别是勒贝格测度和豪斯多夫测度（Hausdorff Measure）。详细阐述了豪斯多夫维度（Hausdorff Dimension）的构造过程，包括开覆盖、下确界以及如何计算特定集合的豪斯多夫测度。 然而，本书的核心论点在于强调：对于大多数非平凡的动态系统，特别是那些包含混沌行为的系统，经典测度定义的维度往往无法捕捉其真实的复杂性。作者通过构造一系列简单的迭代函数系统（IFS）的例子，展示了当集合具有自相似性（Self-Similarity）时，豪斯多夫维度如何提供更精细的度量。本部分也探讨了盒计数维度（Box-Counting Dimension）与其他局部维度的关系，并讨论了为什么这些经典维度在处理低正则性或奇异的吸引子上时，其解释力会下降。 第三部分：吸引子的几何结构与分形维度 这是本书的核心理论构建部分。作者将注意力集中于奇异吸引子（Strange Attractors）——如洛伦兹吸引子（Lorenz Attractor）或Rössler吸引子——的几何特性。 本章深入探讨了分形维度的严格定义，超越了单纯的豪斯多夫或盒计数。重点介绍了关联维数（Correlation Dimension）和信息维度（Information Dimension），它们直接与系统的统计性质和概率分布相关联。作者详细推导了约克-佩辛（Yorke-Pesin）公式的基础，解释了为什么在确定性混沌系统中，信息维数和容量维数（Capacity Dimension）之间的关系至关重要。 此外，本部分还引入了广义维数（Generalized Dimensions）的概念，即$D_q$族谱。通过对$q$值的系统扫描，读者可以理解一个吸引子在不同尺度下如何分布其“质量”（即概率质量），从而揭示吸引子上的测度是如何沿着不同的子集（如叶片或纤维）分布的，这对于理解随机性在确定性系统中的角色至关重要。 第四部分：谱理论与局部稳定性 维度理论在动态系统中的应用，往往需要结合对系统局部稳定性的分析。本部分转向李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）。作者详细解释了多维系统中李雅普诺夫指数谱的计算方法，以及它们与相空间中体积变化的内在联系。 核心论点是：维度与李雅普诺夫指数是互补的。经典的卡普兰-约克维度（Kaplan-Yorke Dimension，或称围堵维度 $D_{KY}$）是如何通过李雅普诺夫指数谱的求和与乘积关系构造出来的，以及这个维度如何精确地估计了吸引子上的局部扩张率。本章通过详细的矩阵分析和误差传播模型，展示了如何从系统的雅可比矩阵推导出这个关键的维度指标。 此外，本部分还探讨了正则（Regular）与奇异（Singular）测度之间的关系，以及维度如何帮助区分一个吸引子是否具有“渗透性”（渗透性或非横截性），这是判定一个吸引子是否为“奇异”的关键拓扑特征。 第五部分：无穷维系统与偏微分方程（PDEs）的维度 本书超越了有限维常微分方程（ODEs）的范畴，进入了更具挑战性的领域：无穷维动态系统，这通常由偏微分方程的牵引集（Inertial Manifolds）或其近似有限维描述所产生。 作者讨论了牵引集维度（Attractor Dimension of PDEs）的理论框架，特别是对于著名的康托维奇空间（Kantorovich Space）上的演化方程。重点分析了希尔伯特空间（Hilbert Space）上的投影方法，以及如何利用这些投影来定义一个有效维度（Effective Dimension），用以简化对复杂物理过程（如湍流或反应-扩散系统）的模拟和分析。 本章特别关注了惯性流形（Inertial Manifolds）的正则性和有限维性质，并讨论了如何通过分析线性化系统的特征值来估计这个流形的内在维度，这在数值仿真中具有极高的实际价值。 第六部分：维度理论的应用与未来方向 最后一部分将理论成果应用于具体的科学领域。作者探讨了信息论视角下的维度：如何在复杂的网络动力学和生物系统（如神经元集群或生态模型的交互网络）中应用维度工具来量化系统的复杂性或信息存储能力。 此外，本章还探讨了维度理论在混沌控制中的作用——理解系统的真实维度有助于选择最小化控制输入的维度，从而实现更高效的控制策略。书中也展望了概率性维度理论（如基于随机过程的维度估计）的最新进展，并讨论了在非光滑动力学（如休克波或突变系统）中，如何拓展和修正现有分形维度的定义以适应这些边界条件下的系统行为。 本书以其对数学严谨性的坚持、对概念深度的挖掘以及对跨学科应用的全面覆盖，成为了研究动态系统拓扑几何的不可或缺的参考资料。

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