On the Systems Formed by Points Regularly Distributed on a Plane or in Space pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:Bravais, M A

出品人:

页数:113

译者:Shaler, Amos J

出版时间:2005-1

价格:$ 42.38

装帧:

isbn号码:9780486442655

丛书系列:

图书标签:

• 几何学
• 点阵
• 空间分布
• 晶体学
• 数学
• 排列组合
• 离散数学
• 拓扑学
• 数论
• 数学物理

《论平面或空间中规则分布点所形成的系统》 本书旨在对集合论、几何学和拓扑学交叉领域中的一个基础性课题——在欧几里得空间中规则分布点集的结构进行深入探究和系统性梳理。全书的逻辑结构围绕着对这些特定点集的内在规律、拓扑性质、以及它们在更高维空间中可能的扩展性进行细致入微的分析。 第一部分：基础结构与度量理论 本书的开篇部分为读者奠定了必要的数学基础。我们首先回顾了点集拓扑学的基本概念，包括邻域、极限点、紧致性和连通性，并特别强调了这些概念在离散点集框架下的特有表现。 随后，我们引入了“规则分布”这一核心概念的数学定义。这并非一个单一的定义，而是根据点的生成方式和局部密度分布的不同，衍生出多重精确的数学刻画。我们区分了基于晶格结构（如立方晶格、六方晶格）的周期性点集与基于特定递推规则的自相似点集。 针对这些点集，我们深入探讨了度量性质。虽然这些点集本身是离散的，但它们的“包络空间”是连续的欧几里得空间。因此，本书详细分析了点集与空间的距离函数、Hausdorff距离在这些结构中的应用，以及如何通过局部密度的积分近似来估计特定区域内点的数量。我们引入了基于傅立叶分析的方法来揭示周期性点集在倒易空间中的结构特征，这对于理解其在物理学（如晶体衍射）中的应用至关重要。 第二部分：拓扑与几何的相互作用 在奠定基础之后，本书将焦点转向这些规则点集在拓扑学意义上的性质。 对于无限的、规则分布的点集，其拓扑结构表现出一种独特的“稀疏的稠密性”。我们探讨了Voronoi图（泰森多边形）和Delaunay三角剖分在刻画这些点集局部邻域关系中的核心作用。书中证明了，对于一个无限的、具有均匀局部密度的点集，其Voronoi单元的拓扑类型是高度受限的，并探讨了如何利用这些多边形的几何形状来识别点集的晶格类型。 一个关键的章节是关于“边界效应”的分析。虽然点集本身是无限的或在有限区域内周期重复的，但在实际分析中往往需要考虑有限边界。我们详细研究了在不同形状（圆形、方形）边界下，规则点集与边界的相互作用如何改变其局部拓扑和整体的统计特性。 此外，本书还专门开辟了一章讨论“同调性”。我们利用链复形理论来研究由规则点集构建的单纯复形的连通性。对于完美的晶格结构，其复形通常是高度可约的；然而，对于引入了微小扰动（即非完全规则的点集）的情况，我们分析了这种扰动对点集整体拓扑不变量的影响，特别是贝蒂数的变化。 第三部分：维度的提升与分形性 本书的第三部分将视野从平面（二维）和空间（三维）扩展到更高维度的欧几里得空间 $mathbb{R}^n$，并讨论了点集在非整数维度下的行为，即分形几何。 我们首先探讨了高维晶格的构造，例如在 $n$ 维空间中构建的超立方体晶格。在高维空间中，点集的“规则性”变得更加难以直观理解，本书利用格矢量和最小向量长度的概念来严格定义和区分不同类型的高维规则点集。 随后，我们深入探讨了“点集的Hausdorff维数”。对于完美周期性晶格，其Hausdorff维数与嵌入空间的维度一致。然而，当点集的生成过程引入迭代收缩和位移操作（例如，构造一个类似于Sierpinski垫或Cantor集的离散模拟物）时，点集的维数会低于嵌入空间的维度。书中详细推导了这些自相似点集的精确Hausdorff维数，并将其与Minkowski维数进行了比较分析。 最后，本书通过一系列精心构造的例子，展示了如何利用这些规则点集的结构来近似连续的几何对象。例如，我们展示了如何通过增加离散点的数量并优化其分布规则，使得由这些点连接形成的一组线段（或面）渐进地收敛于一个连续的曲面或体积，从而为数值分析和计算机图形学中的离散化过程提供了严格的理论基础。 全书的论证严谨，数学推导详尽，旨在为研究离散几何、计算拓扑以及空间数据分析的学者提供一个全面且深入的参考。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这是一本需要静下心来细品的书，它的文字密度非常高，每一个句子都似乎承载着大量的数学信息。初次翻阅时可能会觉得有些晦涩，但这恰恰是其价值所在——它拒绝提供简单的捷径。作者在引入新的概念时，总是保持着一种克制而严谨的态度，确保读者完全理解了前置知识后才进入下一个更复杂的层面。特别是关于点集在不同维度下，其局部性质如何影响全局统计特性的论述，简直是大师级的精彩展现。它让我重新思考了“均匀性”这个词汇在数学语境下的精确含义。对于那些在材料科学或物理学中处理晶体结构或粒子分布的读者来说，这本书虽然更偏向理论基础，但其提供的坚实数学基石，无疑能为他们的应用研究打下不可动摇的根基。

评分☆☆☆☆☆

读完这本书，我最大的感受是它提供了一种全新的视角来审视我们习以为常的空间感。它不仅仅是在谈论“点在哪里”，更是在探讨“点如何分布才能实现某种最优或最稳定的结构”。那种对周期性和非周期性结构进行对比分析的章节，让人对“无序中的秩序”有了更深刻的理解。作者在描述如何从基础的规则单元推导出更复杂的全局模式时，所采用的数学工具显得尤为精妙。它迫使你跳出日常的直觉判断，完全依赖于公理和定理的推导链条。对于研究生阶段的研究者而言，这本书无疑是一份宝贵的参考资料，因为它不仅提供了已有的结论，更重要的是，它展示了如何系统地、从底层原理出发去构建一个关于空间点集分布的理论框架。那种层层递进的思辨过程，让人感到既挑战又满足。

评分☆☆☆☆☆

这部著作的结构和论证方式，实在称得上是数学文献中的一股清流。作者在处理这些几何构形时，展现出一种近乎建筑师般的精确和耐心。它并非那种浮光掠影地介绍概念的书，而是扎扎实实地将读者带入到对点集拓扑和离散几何的深层探究之中。我尤其欣赏作者对于“规则性”这一核心概念的反复解剖和多角度诠释。从欧几里得平面上的晶格到三维空间中的点阵，每一步推导都充满了逻辑的严密性，仿佛在编织一张无懈可击的理论之网。阅读过程中，我仿佛能看到那些被精心排列的点，它们之间的相互作用和潜在的对称性被一步步揭示出来。对于那些热衷于纯粹数学美感的人来说，这本书简直是一场盛宴，它没有过多冗余的例子或应用方面的赘述，所有的篇幅都聚焦于点分布系统内在的、纯粹的数学结构本身。

评分☆☆☆☆☆

这部作品的魅力在于它将二维和三维空间中的点阵问题提升到了一个非常高的抽象层面进行审视。它不是一本面向初学者的入门读物，更像是一部深挖特定领域“内功心法”的专著。作者对于不同对称群在点分布中的作用的分析，尤其具有启发性。读到那些关于如何通过群论工具来分类和识别不同类型规则点集的章节时，我强烈感受到作者深厚的数学功底和对该领域历史脉络的透彻掌握。它不是简单地罗列定理，而是通过一系列环环相扣的证明，构建出一个稳固的理论高塔。对于渴望在离散几何和点集理论领域进行深入研究的学者来说，这本书提供的不仅仅是知识点，更是一种看待和构建数学结构的方法论。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事风格异常沉稳，几乎没有情绪化的表达，完全是以一种冷静、客观的姿态来呈现这些抽象的几何构造。它的力量在于其内在的一致性和无懈可击的逻辑闭环。我印象特别深刻的是关于边界效应和无限平面的处理方式，作者巧妙地平衡了有限系统分析的复杂性和无限系统理论的简洁性。通过精巧的数学构造，作者揭示了在空间中，点一旦被赋予了某种“规则”，其自由度就会被急剧压缩，从而导向一系列必然的结果。阅读体验如同在观看一场精密的时间同步机械钟表的运作，每一个齿轮的咬合都精确无误，最终呈现出和谐的整体运动。这是一种纯粹智力上的享受，要求读者自身的思维也必须达到同样的精确度。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆