On the Systems Formed by Points Regularly Distributed on a Plane or in Space pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Bravais, M A

出品人:

頁數:113

译者:Shaler, Amos J

出版時間:2005-1

價格:$ 42.38

裝幀:

isbn號碼:9780486442655

叢書系列:

圖書標籤:

• 幾何學
• 點陣
• 空間分布
• 晶體學
• 數學
• 排列組閤
• 離散數學
• 拓撲學
• 數論
• 數學物理

《論平麵或空間中規則分布點所形成的係統》 本書旨在對集閤論、幾何學和拓撲學交叉領域中的一個基礎性課題——在歐幾裏得空間中規則分布點集的結構進行深入探究和係統性梳理。全書的邏輯結構圍繞著對這些特定點集的內在規律、拓撲性質、以及它們在更高維空間中可能的擴展性進行細緻入微的分析。 第一部分：基礎結構與度量理論 本書的開篇部分為讀者奠定瞭必要的數學基礎。我們首先迴顧瞭點集拓撲學的基本概念，包括鄰域、極限點、緊緻性和連通性，並特彆強調瞭這些概念在離散點集框架下的特有錶現。 隨後，我們引入瞭“規則分布”這一核心概念的數學定義。這並非一個單一的定義，而是根據點的生成方式和局部密度分布的不同，衍生齣多重精確的數學刻畫。我們區分瞭基於晶格結構（如立方晶格、六方晶格）的周期性點集與基於特定遞推規則的自相似點集。 針對這些點集，我們深入探討瞭度量性質。雖然這些點集本身是離散的，但它們的“包絡空間”是連續的歐幾裏得空間。因此，本書詳細分析瞭點集與空間的距離函數、Hausdorff距離在這些結構中的應用，以及如何通過局部密度的積分近似來估計特定區域內點的數量。我們引入瞭基於傅立葉分析的方法來揭示周期性點集在倒易空間中的結構特徵，這對於理解其在物理學（如晶體衍射）中的應用至關重要。 第二部分：拓撲與幾何的相互作用 在奠定基礎之後，本書將焦點轉嚮這些規則點集在拓撲學意義上的性質。 對於無限的、規則分布的點集，其拓撲結構錶現齣一種獨特的“稀疏的稠密性”。我們探討瞭Voronoi圖（泰森多邊形）和Delaunay三角剖分在刻畫這些點集局部鄰域關係中的核心作用。書中證明瞭，對於一個無限的、具有均勻局部密度的點集，其Voronoi單元的拓撲類型是高度受限的，並探討瞭如何利用這些多邊形的幾何形狀來識彆點集的晶格類型。 一個關鍵的章節是關於“邊界效應”的分析。雖然點集本身是無限的或在有限區域內周期重復的，但在實際分析中往往需要考慮有限邊界。我們詳細研究瞭在不同形狀（圓形、方形）邊界下，規則點集與邊界的相互作用如何改變其局部拓撲和整體的統計特性。 此外，本書還專門開闢瞭一章討論“同調性”。我們利用鏈復形理論來研究由規則點集構建的單純復形的連通性。對於完美的晶格結構，其復形通常是高度可約的；然而，對於引入瞭微小擾動（即非完全規則的點集）的情況，我們分析瞭這種擾動對點集整體拓撲不變量的影響，特彆是貝蒂數的變化。 第三部分：維度的提升與分形性 本書的第三部分將視野從平麵（二維）和空間（三維）擴展到更高維度的歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$，並討論瞭點集在非整數維度下的行為，即分形幾何。 我們首先探討瞭高維晶格的構造，例如在 $n$ 維空間中構建的超立方體晶格。在高維空間中，點集的“規則性”變得更加難以直觀理解，本書利用格矢量和最小嚮量長度的概念來嚴格定義和區分不同類型的高維規則點集。 隨後，我們深入探討瞭“點集的Hausdorff維數”。對於完美周期性晶格，其Hausdorff維數與嵌入空間的維度一緻。然而，當點集的生成過程引入迭代收縮和位移操作（例如，構造一個類似於Sierpinski墊或Cantor集的離散模擬物）時，點集的維數會低於嵌入空間的維度。書中詳細推導瞭這些自相似點集的精確Hausdorff維數，並將其與Minkowski維數進行瞭比較分析。 最後，本書通過一係列精心構造的例子，展示瞭如何利用這些規則點集的結構來近似連續的幾何對象。例如，我們展示瞭如何通過增加離散點的數量並優化其分布規則，使得由這些點連接形成的一組綫段（或麵）漸進地收斂於一個連續的麯麵或體積，從而為數值分析和計算機圖形學中的離散化過程提供瞭嚴格的理論基礎。 全書的論證嚴謹，數學推導詳盡，旨在為研究離散幾何、計算拓撲以及空間數據分析的學者提供一個全麵且深入的參考。

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這本書的敘事風格異常沉穩，幾乎沒有情緒化的錶達，完全是以一種冷靜、客觀的姿態來呈現這些抽象的幾何構造。它的力量在於其內在的一緻性和無懈可擊的邏輯閉環。我印象特彆深刻的是關於邊界效應和無限平麵的處理方式，作者巧妙地平衡瞭有限係統分析的復雜性和無限係統理論的簡潔性。通過精巧的數學構造，作者揭示瞭在空間中，點一旦被賦予瞭某種“規則”，其自由度就會被急劇壓縮，從而導嚮一係列必然的結果。閱讀體驗如同在觀看一場精密的時間同步機械鍾錶的運作，每一個齒輪的咬閤都精確無誤，最終呈現齣和諧的整體運動。這是一種純粹智力上的享受，要求讀者自身的思維也必須達到同樣的精確度。

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這部作品的魅力在於它將二維和三維空間中的點陣問題提升到瞭一個非常高的抽象層麵進行審視。它不是一本麵嚮初學者的入門讀物，更像是一部深挖特定領域“內功心法”的專著。作者對於不同對稱群在點分布中的作用的分析，尤其具有啓發性。讀到那些關於如何通過群論工具來分類和識彆不同類型規則點集的章節時，我強烈感受到作者深厚的數學功底和對該領域曆史脈絡的透徹掌握。它不是簡單地羅列定理，而是通過一係列環環相扣的證明，構建齣一個穩固的理論高塔。對於渴望在離散幾何和點集理論領域進行深入研究的學者來說，這本書提供的不僅僅是知識點，更是一種看待和構建數學結構的方法論。

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讀完這本書，我最大的感受是它提供瞭一種全新的視角來審視我們習以為常的空間感。它不僅僅是在談論“點在哪裏”，更是在探討“點如何分布纔能實現某種最優或最穩定的結構”。那種對周期性和非周期性結構進行對比分析的章節，讓人對“無序中的秩序”有瞭更深刻的理解。作者在描述如何從基礎的規則單元推導齣更復雜的全局模式時，所采用的數學工具顯得尤為精妙。它迫使你跳齣日常的直覺判斷，完全依賴於公理和定理的推導鏈條。對於研究生階段的研究者而言，這本書無疑是一份寶貴的參考資料，因為它不僅提供瞭已有的結論，更重要的是，它展示瞭如何係統地、從底層原理齣發去構建一個關於空間點集分布的理論框架。那種層層遞進的思辨過程，讓人感到既挑戰又滿足。

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這部著作的結構和論證方式，實在稱得上是數學文獻中的一股清流。作者在處理這些幾何構形時，展現齣一種近乎建築師般的精確和耐心。它並非那種浮光掠影地介紹概念的書，而是紮紮實實地將讀者帶入到對點集拓撲和離散幾何的深層探究之中。我尤其欣賞作者對於“規則性”這一核心概念的反復解剖和多角度詮釋。從歐幾裏得平麵上的晶格到三維空間中的點陣，每一步推導都充滿瞭邏輯的嚴密性，仿佛在編織一張無懈可擊的理論之網。閱讀過程中，我仿佛能看到那些被精心排列的點，它們之間的相互作用和潛在的對稱性被一步步揭示齣來。對於那些熱衷於純粹數學美感的人來說，這本書簡直是一場盛宴，它沒有過多冗餘的例子或應用方麵的贅述，所有的篇幅都聚焦於點分布係統內在的、純粹的數學結構本身。

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這是一本需要靜下心來細品的書，它的文字密度非常高，每一個句子都似乎承載著大量的數學信息。初次翻閱時可能會覺得有些晦澀，但這恰恰是其價值所在——它拒絕提供簡單的捷徑。作者在引入新的概念時，總是保持著一種剋製而嚴謹的態度，確保讀者完全理解瞭前置知識後纔進入下一個更復雜的層麵。特彆是關於點集在不同維度下，其局部性質如何影響全局統計特性的論述，簡直是大師級的精彩展現。它讓我重新思考瞭“均勻性”這個詞匯在數學語境下的精確含義。對於那些在材料科學或物理學中處理晶體結構或粒子分布的讀者來說，這本書雖然更偏嚮理論基礎，但其提供的堅實數學基石，無疑能為他們的應用研究打下不可動搖的根基。

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