Vector Spaces And Matrics in Physics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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作者:Jain, M. C.

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页数:0

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价格:523.00 元

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isbn号码:9781842652152

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• 向量空间
• 矩阵
• 物理
• 线性代数
• 数学物理
• 高等数学
• 物理学
• 数学
• 工程数学
• 理论物理

基础代数与计算在物理学中的应用 本书旨在为物理学研究者、研究生以及高年级本科生提供一套全面而深入的基础代数与计算工具集，重点关注其在理论物理学各个分支中的实际应用。 本书内容不涉及向量空间、矩阵理论在物理学中的具体展开（如量子力学中的算符表示、矩阵对角化等），而是侧重于构建这些高级概念所需的坚实代数基础、数值计算方法以及抽象思维框架。 全书结构围绕三个核心支柱展开：第一部分：基础代数与结构，奠定抽象代数的入门基础；第二部分：线性代数预备知识，聚焦于向量与标量运算的严谨定义和几何直观；第三部分：计算方法与算法入门，介绍解决实际物理问题的数值工具。 --- 第一部分：基础代数与结构 本部分着重于建立严谨的数学语言和集合论基础，为后续更复杂的结构分析做好铺垫。 第一章：集合论与函数基础回顾 本章对物理学中常用的集合、关系和函数概念进行系统梳理。内容包括：集合的定义、子集、笛卡尔积、并集、交集和补集运算。重点阐述了函数（映射）的严格定义、单射（一对一）、满射（映 onto）和双射（一一对应）的性质，以及复合函数和反函数的构造。此外，我们引入了有限集和无限集的初步概念，为理解向量空间中的维度奠定概念基础。 第二章：群论的初步探索 本章将抽象代数中最基本的结构——群的概念引入物理学的背景。我们首先定义代数结构（二元运算）、幺元、逆元和结合律，进而构建群的严格定义。内容涵盖了有限群的例子（如反射群、置换群的初步例子）和无限群（如整数加法群 $mathbb{Z}$）。讨论了子群、陪集（左陪集与右陪集）的概念，并引入了同态（Homomorphism）与同构（Isomorphism）的概念，强调结构保持的重要性，而非具体元素的属性。这为后续理解对称性在物理学中的代数表达方式提供了必要的语言。 第三章：域的结构与基本运算 本章聚焦于构成向量空间必需的“标量”集合——域（Field）。我们详细考察了实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的代数性质，包括加法和乘法的封闭性、结合律、交换律、分配律以及乘法逆元的存在性。我们也会探讨有限域（如 $mathbb{F}_2$）的简单例子，但主要的篇幅将用于阐述复数在物理学，尤其是在处理振动和波动现象时的必要性及其代数运算规则（如复数的几何表示、共轭与模）。 --- 第二部分：线性代数预备知识 本部分严格界定了向量（作为具有特定运算规则的元素）的特性，但不展开到由这些向量张成的空间结构。 第四章：关于“向量”的严格定义与运算 本章从代数运算的角度定义“向量”元素，而非依赖于几何空间中的箭头概念。我们讨论了两个代数对象（称为向量）进行“加法”运算的封闭性和交换性，以及“数乘”运算的性质（标量与向量的相乘）。重点在于展示这些运算必须满足的封闭性、结合律等八条公理（或其子集），从而构建一个“向量集合”的初步框架。我们使用简单的多元素有序对（如 $(a, b)$ 或 $(a, b, c)$）作为示例对象，来演示这些运算规则。 第五章：线性组合与张成集的初步概念 基于第四章定义的向量加法和数乘，本章引入了“线性组合”的数学表达式 $sum c_i mathbf{v}_i$。我们分析在特定有限集合向量上，所有可能的线性组合构成的集合的性质。我们将此集合称为“张成集”（Span），并研究在不同标量域下，张成集如何随基向量的变化而变化。本章强调的是如何通过线性组合来构造新的元素，而不是判断这些组合是否能够穷尽整个空间。 第六章：线性无关性与基的必要条件 本章探讨了判断一组向量集合中是否存在冗余的关键概念——线性无关性。我们通过求解齐次线性方程组（只含零向量的组合等于零向量的情况）来严格定义线性无关的条件：只有所有系数均为零时，线性组合才等于零。我们将重点放在如何系统地检验一组已知向量的线性相关性，以及由此引申出的“最小生成集”的概念，这是理解维度（Dimension）的必要前提，但我们在此不深入探讨维度理论。 --- 第三部分：计算方法与算法入门 本部分专注于解决实际物理问题中遇到的代数方程和系统，侧重于数值技巧和算法实现。 第七章：线性方程组的求解：直接法 本章是计算物理学的基石。我们聚焦于求解形式为 $mathbf{A}mathbf{x} = mathbf{b}$ 的线性代数方程组（其中 $mathbf{A}$ 是一个方阵，不特指其矩阵结构，而是代数数组）。详细介绍高斯消元法（Gaussian Elimination）的完整步骤，包括主元选择、行交换、上三角化过程。同时，我们也会介绍 LU 分解的基本思想，将其视为高斯消元过程的结构化表示，用于高效地重复求解不同右端项 $mathbf{b}$ 的问题。 第八章：迭代求解方法 对于大规模或稀疏的线性系统，直接法往往效率低下。本章介绍几种基础的迭代求解方法。我们将雅可比迭代（Jacobi Iteration）和高斯-赛德尔迭代（Gauss-Seidel Iteration）的代数原理进行详细推导。重点分析收敛性的代数条件（如对角优势条件），并讨论迭代误差的估计和终止准则的设定。 第九章：多项式与插值技术 本章侧重于处理物理数据中的函数逼近问题。我们讨论如何通过一组离散数据点构造精确通过这些点的多项式，详细介绍拉格朗日插值多项式的代数构造。随后，我们引入牛顿差商形式，分析其在增量计算中的优势。本章的重点在于理解插值多项式的唯一性、代数构造步骤以及由此产生的误差项的性质（尽管我们不深入分析误差理论）。 第十章：数值微分与积分基础 本章介绍使用离散代数方法近似处理连续微积分运算的技巧。在数值微分方面，我们使用有限差分公式（前向、后向和中心差分）的代数推导，展示如何利用相邻数据点来近似导数。在数值积分方面，我们推导并应用梯形法则（Trapezoidal Rule）和辛普森法则（Simpson's Rule），重点在于理解这些近似公式是如何通过函数值的线性或二次组合构建的，以及增加采样点数如何影响代数求和的精度。 --- 总结： 本书提供了一个纯代数结构和数值计算的工具箱，旨在为读者打下坚实的数学基础，使其能够理解和构建更复杂的物理模型。全书严格限制在基础集合运算、群的初探、域的性质、向量的代数定义、线性组合的构造、方程组的直接与迭代求解，以及数据拟合的代数方法。它是一本关于代数运算和数值算法的严谨教材，为后续学习更高级的数学工具（如特征值、正交性、算符代数）做了充分的铺垫，但本身不包含那些高级主题的深入讨论。

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这本书的习题设计，可谓是精妙绝伦，它真正体现了“学以致用”的教学理念。这些习题并非简单的计算题堆砌，而是精心设计的小型“案例研究”。很多题目本身就模拟了物理学中遇到的具体问题场景，要求读者运用所学的矩阵代数和向量空间知识去解决一个实际的物理模型，比如简谐振动的解耦或者刚体转动的描述。更绝妙的是，作者在书中对大部分练习题都提供了非常详尽的解答步骤，但这些解答往往不是唯一的。他们会展示至少两种不同的解题路径，一种是基于纯粹的代数运算，另一种则是基于几何或变换的直观理解。这极大地拓宽了读者的思路，让人明白同一个物理结论可以通过不同的数学视角来获取。这种双重路径的引导，有效避免了读者陷入“只会套公式”的僵局，而是培养了真正具备分析和建模能力的物理学思维。

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这本书的深度和广度是令人印象深刻的。它不仅仅满足于教授如何计算矩阵的行列式或如何对向量进行坐标变换这种操作层面的知识，而是深入探讨了向量空间在物理描述系统中的哲学意义。书中对内积空间的引入，以及如何利用希尔伯特空间的概念来形式化量子力学的基本结构，展现了作者深厚的理论功底。我发现，作者非常注重将抽象的数学结构与具体的物理实例相结合，例如，在介绍张量（Tensor）时，他们没有拘泥于分量形式的复杂性，而是回归到张量作为描述物理量变换性质的本质——即它在坐标系改变下保持不变的那个“核心信息”。这种由表及里的教学方法，使得那些在其他教材中显得晦涩难懂的概念，变得触手可及。这本书的阅读曲线是陡峭的，但如果你能坚持跨越最初的适应期，你会发现它为你打开了一扇通往现代物理核心理论的大门，其内涵远超一本基础的“工具书”范畴。

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阅读这本书的过程，就像是经历了一次思维上的精细打磨。作者在叙述理论时，并非采取那种教科书式的、直接抛出结论的做法，而是非常注重逻辑链条的构建和推导的完整性。他们似乎深谙读者在面对线性代数时最容易卡壳的地方，总能在关键的转折点停下来，用非常精炼但富有洞察力的文字解释为什么必须引入某种特定的定义或公理。例如，在讲解正交性与特征值分解的部分，作者并没有仅仅停留在代数运算层面，而是巧妙地将物理中的“基态”和“能量本征态”的概念穿插进来，让读者立刻明白这些纯数学工具在物理世界中究竟代表了什么意义。这种“数学服务于物理”的叙事方式，极大地增强了学习的内在驱动力。我特别欣赏作者处理复杂证明时的严密性，每一个步骤都像是被仔细打磨过的齿轮，咬合得天衣<bos>。对于那些习惯于“跳着看”的读者来说，这本书可能会显得有些“啰嗦”，但正是这份“啰嗦”，确保了知识的底层结构是完全稳固的，为后续更复杂的量子场论或广义相对论的学习打下了坚实的基础。

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在阅读体验上，这本书带给我一种非常独特的“对话感”。作者的语气并非高高在上地传授知识，而更像是一位经验丰富的导师，在你迷茫时给予恰到好处的点拨。尤其是在讲解一些容易引起混淆的概念，比如“线性无关性”和“基底的唯一性”之间的微妙区别时，作者会插入一些简短的旁注或脚注，用一种近乎口语化的方式来澄清误解。这种非正式的介入，极大地缓和了纯数学推导带来的阅读压力。我发现自己经常会因为一个巧妙的比喻或一个及时的提醒而会心一笑，从而感到对理论的掌握更进一步。这本书成功地将严谨性与可读性完美地融合在一起，使得读者在保持对物理深度敬畏的同时，也能享受到理解复杂系统所带来的智力愉悦。它不仅仅是一本教材，更像是一部伴随学习者成长的智慧伙伴，值得反复研读和珍藏。

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这本书的装帧设计给我的第一印象是相当专业且严谨的。封面采用了一种深沉的墨蓝色调，搭配烫金的字体，显得低调而有质感。纸张的选择也十分考究，触感厚实，印刷清晰，即便长时间翻阅，眼睛也不会感到疲劳。内页的排版布局也体现出编者对细节的关注，公式和文字之间的留白恰到好处，使得复杂的数学结构能够有足够的“呼吸空间”，这对于理解抽象概念至关重要。我注意到书中对符号的定义和一致性管理做得非常出色，每一个希腊字母、每一个运算符号的用法都在初次出现时得到了清晰的界定，这极大地减少了我在阅读过程中因符号混淆而产生的困惑。特别是那些涉及高维几何和线性变换的图示，虽然是二维印刷品，但通过巧妙的视角处理和辅助线条的运用，它们成功地将抽象的向量空间概念可视化，为初学者搭建了一座从直观图像到严格代数描述的桥梁。可以说，单从制作工艺和视觉呈现上看，这本书已经达到了教科书中的顶尖水准，它营造了一种适合深度学习的氛围，让人愿意沉下心来，去探索其中蕴含的深刻物理思想。

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