Indefinite Linear Algebra and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Gohberg, Israel/ Lancaster, Peter/ Rodman, Leiba

出品人:

页数:357

译者:

出版时间:

价格:523.00元

装帧:

isbn号码:9783764373498

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 泛函分析
• 应用数学
• 数值分析
• 矩阵理论
• 优化
• 机器学习
• 信号处理
• 控制理论
• 高等数学

好的，这是一本关于《非线性分析与拓扑学》的图书简介，内容将侧重于经典与现代非线性问题的数学基础，同时避开线性代数与传统应用的方向。 --- 图书简介：《非线性分析与拓扑学》 概述：探索无限维空间的结构与动力学 本书《非线性分析与拓扑学》旨在为读者提供一个全面、深入的视角，探索现代数学中两个核心领域——非线性分析和拓扑学的交汇点。我们不再局限于欧几里得空间中对线性的简单延伸，而是深入到函数空间、度量空间以及更抽象的拓扑结构中，研究那些支配着物理世界、生命科学乃至经济模型中复杂现象的非线性规律。 全书结构经过精心设计，首先奠定坚实的分析基础，随后过渡到具有几何直觉的拓扑概念，最终聚焦于如何利用这些工具解决实际的非线性偏微分方程、变分问题和动力系统中的挑战。本书的读者群主要面向高年级本科生、研究生以及需要将高级数学工具应用于研究的科研人员，特别是那些对几何分析、函数空间理论或微分拓扑学感兴趣的学者。 --- 第一部分：泛函分析与拓扑基础（分析的深化） 本部分是理解非线性问题的分析框架的基石。我们不着眼于有限维向量空间的性质，而是着重于无穷维空间的特性，这些空间是处理微分方程和积分方程的自然场所。 第1章 拓扑向量空间与基本概念 本章将介绍更具一般性的空间结构。从基本的度量空间和Hausdorff空间出发，我们迅速过渡到更具挑战性的拓扑向量空间。重点讨论巴拿赫空间（Banach Spaces）和希尔伯特空间（Hilbert Spaces）的结构。我们将深入探讨紧性（Compactness）在无穷维空间中的脆弱性（例如，与有限维空间中Heine-Borel定理的差异），并引入弱收敛和强收敛的概念，这是变分法和半群理论的关键。 第2章 测度、积分与Lp空间 传统积分理论被推广到更一般的测度空间上。重点讨论Lebesgue积分的完备性，以及由此定义的函数空间$L^p(Omega)$的结构。我们将详述Riesz-Fischer定理，证明这些空间是完备的，并初步探讨Sobolev嵌入定理的基础思想——这是处理具有广义导数的偏微分方程的先决条件。 第3章 线性算子与不动点理论的铺垫 在分析的语境下，本章考察线性映射在无穷维空间中的行为。我们研究有界线性算子的谱理论（主要关注紧算子的谱），并将其作为引子引入不动点理论。我们将详细介绍Banach不动点定理（Contraction Mapping Theorem），并为后续的非线性问题引入更强大的工具——Schauder不动点定理和Brouwer不动点定理的讨论（尽管后者更多是拓扑性质的体现）。 --- 第二部分：微分几何与流形上的分析（几何的视角） 本部分将分析的工具置于几何背景下，研究光滑流形上的微分运算。 第4章 流形基础与切丛结构 本书的核心几何部分始于对微分流形的严格定义，包括光滑结构、图册和转移映射。我们着重于局部概念，如切空间（Tangent Space）和向量场。我们将构建切丛，并解释向量场作为流形上微分方程的“生成元”的角色。 第5章 张量、微分形式与外微分 为描述流形上的“非线性”对象，如曲率和流，我们需要张量和微分形式。本章详述微分形式（$k$-forms）的代数结构，并引入外微分（Exterior Differentiation）算子$d$。我们将详细考察$ ext{d}^2=0$这一基本恒等式，并以此为基础，揭示De Rham上同调的直观几何意义，尽管我们不会深入纯粹的代数拓扑计算，但会强调其在保守场和旋度分析中的应用。 第6章 变分法与能见度（Calculus of Variations） 本章将分析的焦点转向泛函的极值问题，这通常是非线性PDE的根源。我们从简单的泛函开始，推导出欧拉-拉格朗日方程。随后，重点放在更具挑战性的变分问题的正则性上，讨论Sobolev空间上的泛函，并介绍极小曲面理论（Minimal Surface Theory）中的基本非线性椭圆方程（如Mean Curvature Equation）。 --- 第三部分：非线性动力学与全局性质（拓扑的应用） 最后一部分，我们将拓扑学和分析相结合，研究系统的长期行为和稳定性。 第7章 拓扑度与非线性算子的索引 本章是连接分析与拓扑的核心。我们引入拓扑度（Topological Degree）的概念，详细阐述其在二维平面上对映射进行“缠绕”的衡量。我们将展示如何利用Brouwer度来证明某些非线性方程（如带有特定边界条件的非线性椭圆方程）的解的存在性，这超越了单纯的压缩映射原理所能及的范围。 第8章 涌现现象：奇点与分岔 本章探讨系统参数变化时，解的性质如何发生定性的、非线性的转变。我们关注常微分方程的奇点分析（如鞍点、结点和霍普夫分岔的局部分析），并介绍兰黛（Lyapunov）稳定性理论，强调稳定性判断如何依赖于局部流形的几何结构而非全局线性化。 第9章 黎曼流形上的热流与几何演化 本章应用前述工具研究几何演化问题，例如黎曼流形上的热方程的非线性推广，如Ricci流（Ricci Flow）。我们讨论流的生成元——李导数（Lie Derivative）在曲率演化中的作用，并探讨这些演化方程中出现的奇异性（如奇点形成）如何与流形的内在拓扑结构产生深刻关联。 --- 总结 《非线性分析与拓扑学》构建了一个从局部分析到全局几何的完整知识链条。本书的深度和广度在于其对“非线性”本质的揭示——这种非线性并非线性代数概念的简单否定，而是源于无穷维空间中拓扑约束和内在几何性质的复杂交互作用。读者将获得一套强大的数学工具箱，以应对现代物理学、工程学乃至数学纯粹领域中那些本质上是高度非线性的挑战。本书的论述严谨，但注重几何直觉的培养，力求使抽象的概念变得可触摸、可理解。

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总体而言，这是一部非常小众且极具挑战性的著作。它不适合作为初学者的教材，更像是为那些已经在某一领域有所建树，渴望在基础理论上寻求突破的研究者准备的“思想燃料”。它迫使你跳出固有的思维定势，去重新审视那些被视为理所当然的数学公理。虽然阅读过程充满了挫败感，但它成功地在我心中播下了一颗质疑和探索的种子，让我对未来在相关领域的研究充满了新的方向感和深刻的见解。

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这本书的封面设计非常吸引人，蓝白相间的底色搭配着精致的数学符号排版，散发出一种严谨而又充满活力的气息。我带着一种既期待又有些忐忑的心情翻开了第一章，内容上，它似乎在试图构建一个全新的线性代数框架，不同于传统教材中那种侧重于向量空间和矩阵运算的叙述方式。作者在开篇就引入了一些非常抽象的概念，似乎在探讨“不确定性”在线性代数中的表达，这让我对后面章节充满了好奇。

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这本书的排版和印刷质量堪称一流，纸张厚实，文字清晰，没有任何印刷错误，这对于一本需要反复查阅和标记的参考书来说至关重要。然而，目录结构的设计却显得有些跳跃和不连贯。有时候，一个看似基础的概念会被突然放在章节的末尾进行阐述，而更复杂的推导反而被放在了前面。这要求读者必须对整体结构有一个宏观的把握，否则很容易在细节中迷失方向，找不到逻辑主线。

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这本书的语言风格相当晦涩，充满了深奥的哲学思辨和高度浓缩的数学语言。阅读起来需要极高的专注力，我常常需要停下来，反复琢磨一个句子或者一个符号的深层含义。它不像那些入门级的教材那样循循善诱，而是更像是在进行一场智力上的攀登，每攻克一个难点，都会带来巨大的成就感。我特别喜欢作者在脚注中穿插的一些关于数学史和逻辑哲学的思考，这些内容虽然与核心推导关系不大，却极大地拓展了我的知识边界。

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从内容上看，这本书似乎对“应用”这一块着墨不多，或者说，它所讨论的应用领域非常前沿和理论化，并非我们日常接触到的工程或统计学中的经典案例。它更像是深入到了数学的本质层面，探讨了线性结构在更广阔的数学宇宙中的可能性。比如，它对“模糊线性空间”的讨论，让我对传统线性代数的严密性产生了新的认识。尽管如此，对于那些希望快速解决实际问题的读者来说，这本书可能会显得有些“不接地气”。

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