Indefinite Linear Algebra and Applications pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:

作者:Gohberg, Israel/ Lancaster, Peter/ Rodman, Leiba

出品人:

頁數:357

译者:

出版時間:

價格:523.00元

裝幀:

isbn號碼:9783764373498

叢書系列:

圖書標籤:

• 綫性代數
• 泛函分析
• 應用數學
• 數值分析
• 矩陣理論
• 優化
• 機器學習
• 信號處理
• 控製理論
• 高等數學

好的，這是一本關於《非綫性分析與拓撲學》的圖書簡介，內容將側重於經典與現代非綫性問題的數學基礎，同時避開綫性代數與傳統應用的方嚮。 --- 圖書簡介：《非綫性分析與拓撲學》 概述：探索無限維空間的結構與動力學 本書《非綫性分析與拓撲學》旨在為讀者提供一個全麵、深入的視角，探索現代數學中兩個核心領域——非綫性分析和拓撲學的交匯點。我們不再局限於歐幾裏得空間中對綫性的簡單延伸，而是深入到函數空間、度量空間以及更抽象的拓撲結構中，研究那些支配著物理世界、生命科學乃至經濟模型中復雜現象的非綫性規律。 全書結構經過精心設計，首先奠定堅實的分析基礎，隨後過渡到具有幾何直覺的拓撲概念，最終聚焦於如何利用這些工具解決實際的非綫性偏微分方程、變分問題和動力係統中的挑戰。本書的讀者群主要麵嚮高年級本科生、研究生以及需要將高級數學工具應用於研究的科研人員，特彆是那些對幾何分析、函數空間理論或微分拓撲學感興趣的學者。 --- 第一部分：泛函分析與拓撲基礎（分析的深化） 本部分是理解非綫性問題的分析框架的基石。我們不著眼於有限維嚮量空間的性質，而是著重於無窮維空間的特性，這些空間是處理微分方程和積分方程的自然場所。 第1章 拓撲嚮量空間與基本概念 本章將介紹更具一般性的空間結構。從基本的度量空間和Hausdorff空間齣發，我們迅速過渡到更具挑戰性的拓撲嚮量空間。重點討論巴拿赫空間（Banach Spaces）和希爾伯特空間（Hilbert Spaces）的結構。我們將深入探討緊性（Compactness）在無窮維空間中的脆弱性（例如，與有限維空間中Heine-Borel定理的差異），並引入弱收斂和強收斂的概念，這是變分法和半群理論的關鍵。 第2章 測度、積分與Lp空間 傳統積分理論被推廣到更一般的測度空間上。重點討論Lebesgue積分的完備性，以及由此定義的函數空間$L^p(Omega)$的結構。我們將詳述Riesz-Fischer定理，證明這些空間是完備的，並初步探討Sobolev嵌入定理的基礎思想——這是處理具有廣義導數的偏微分方程的先決條件。 第3章 綫性算子與不動點理論的鋪墊 在分析的語境下，本章考察綫性映射在無窮維空間中的行為。我們研究有界綫性算子的譜理論（主要關注緊算子的譜），並將其作為引子引入不動點理論。我們將詳細介紹Banach不動點定理（Contraction Mapping Theorem），並為後續的非綫性問題引入更強大的工具——Schauder不動點定理和Brouwer不動點定理的討論（盡管後者更多是拓撲性質的體現）。 --- 第二部分：微分幾何與流形上的分析（幾何的視角） 本部分將分析的工具置於幾何背景下，研究光滑流形上的微分運算。 第4章 流形基礎與切叢結構 本書的核心幾何部分始於對微分流形的嚴格定義，包括光滑結構、圖冊和轉移映射。我們著重於局部概念，如切空間（Tangent Space）和嚮量場。我們將構建切叢，並解釋嚮量場作為流形上微分方程的“生成元”的角色。 第5章 張量、微分形式與外微分 為描述流形上的“非綫性”對象，如麯率和流，我們需要張量和微分形式。本章詳述微分形式（$k$-forms）的代數結構，並引入外微分（Exterior Differentiation）算子$d$。我們將詳細考察$ ext{d}^2=0$這一基本恒等式，並以此為基礎，揭示De Rham上同調的直觀幾何意義，盡管我們不會深入純粹的代數拓撲計算，但會強調其在保守場和鏇度分析中的應用。 第6章 變分法與能見度（Calculus of Variations） 本章將分析的焦點轉嚮泛函的極值問題，這通常是非綫性PDE的根源。我們從簡單的泛函開始，推導齣歐拉-拉格朗日方程。隨後，重點放在更具挑戰性的變分問題的正則性上，討論Sobolev空間上的泛函，並介紹極小麯麵理論（Minimal Surface Theory）中的基本非綫性橢圓方程（如Mean Curvature Equation）。 --- 第三部分：非綫性動力學與全局性質（拓撲的應用） 最後一部分，我們將拓撲學和分析相結閤，研究係統的長期行為和穩定性。 第7章 拓撲度與非綫性算子的索引 本章是連接分析與拓撲的核心。我們引入拓撲度（Topological Degree）的概念，詳細闡述其在二維平麵上對映射進行“纏繞”的衡量。我們將展示如何利用Brouwer度來證明某些非綫性方程（如帶有特定邊界條件的非綫性橢圓方程）的解的存在性，這超越瞭單純的壓縮映射原理所能及的範圍。 第8章 湧現現象：奇點與分岔 本章探討係統參數變化時，解的性質如何發生定性的、非綫性的轉變。我們關注常微分方程的奇點分析（如鞍點、結點和霍普夫分岔的局部分析），並介紹蘭黛（Lyapunov）穩定性理論，強調穩定性判斷如何依賴於局部流形的幾何結構而非全局綫性化。 第9章 黎曼流形上的熱流與幾何演化 本章應用前述工具研究幾何演化問題，例如黎曼流形上的熱方程的非綫性推廣，如Ricci流（Ricci Flow）。我們討論流的生成元——李導數（Lie Derivative）在麯率演化中的作用，並探討這些演化方程中齣現的奇異性（如奇點形成）如何與流形的內在拓撲結構産生深刻關聯。 --- 總結 《非綫性分析與拓撲學》構建瞭一個從局部分析到全局幾何的完整知識鏈條。本書的深度和廣度在於其對“非綫性”本質的揭示——這種非綫性並非綫性代數概念的簡單否定，而是源於無窮維空間中拓撲約束和內在幾何性質的復雜交互作用。讀者將獲得一套強大的數學工具箱，以應對現代物理學、工程學乃至數學純粹領域中那些本質上是高度非綫性的挑戰。本書的論述嚴謹，但注重幾何直覺的培養，力求使抽象的概念變得可觸摸、可理解。

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這本書的排版和印刷質量堪稱一流，紙張厚實，文字清晰，沒有任何印刷錯誤，這對於一本需要反復查閱和標記的參考書來說至關重要。然而，目錄結構的設計卻顯得有些跳躍和不連貫。有時候，一個看似基礎的概念會被突然放在章節的末尾進行闡述，而更復雜的推導反而被放在瞭前麵。這要求讀者必須對整體結構有一個宏觀的把握，否則很容易在細節中迷失方嚮，找不到邏輯主綫。

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從內容上看，這本書似乎對“應用”這一塊著墨不多，或者說，它所討論的應用領域非常前沿和理論化，並非我們日常接觸到的工程或統計學中的經典案例。它更像是深入到瞭數學的本質層麵，探討瞭綫性結構在更廣闊的數學宇宙中的可能性。比如，它對“模糊綫性空間”的討論，讓我對傳統綫性代數的嚴密性産生瞭新的認識。盡管如此，對於那些希望快速解決實際問題的讀者來說，這本書可能會顯得有些“不接地氣”。

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這本書的封麵設計非常吸引人，藍白相間的底色搭配著精緻的數學符號排版，散發齣一種嚴謹而又充滿活力的氣息。我帶著一種既期待又有些忐忑的心情翻開瞭第一章，內容上，它似乎在試圖構建一個全新的綫性代數框架，不同於傳統教材中那種側重於嚮量空間和矩陣運算的敘述方式。作者在開篇就引入瞭一些非常抽象的概念，似乎在探討“不確定性”在綫性代數中的錶達，這讓我對後麵章節充滿瞭好奇。

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總體而言，這是一部非常小眾且極具挑戰性的著作。它不適閤作為初學者的教材，更像是為那些已經在某一領域有所建樹，渴望在基礎理論上尋求突破的研究者準備的“思想燃料”。它迫使你跳齣固有的思維定勢，去重新審視那些被視為理所當然的數學公理。雖然閱讀過程充滿瞭挫敗感，但它成功地在我心中播下瞭一顆質疑和探索的種子，讓我對未來在相關領域的研究充滿瞭新的方嚮感和深刻的見解。

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這本書的語言風格相當晦澀，充滿瞭深奧的哲學思辨和高度濃縮的數學語言。閱讀起來需要極高的專注力，我常常需要停下來，反復琢磨一個句子或者一個符號的深層含義。它不像那些入門級的教材那樣循循善誘，而是更像是在進行一場智力上的攀登，每攻剋一個難點，都會帶來巨大的成就感。我特彆喜歡作者在腳注中穿插的一些關於數學史和邏輯哲學的思考，這些內容雖然與核心推導關係不大，卻極大地拓展瞭我的知識邊界。

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