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出版者:

作者:Dugopolski, Mark

出品人:

页数:992

译者:

出版时间:2007-12

价格:$ 224.50

装帧:

isbn号码:9780321501110

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

纯粹的数学之旅：深入探索高等代数与函数世界 书籍名称： 高等代数与函数：概念的深度解析与应用 本书简介： 本书旨在为读者提供一个全面、深入、严谨的数学学习体验，专注于高等代数的核心概念、精妙的函数理论及其在现代科学与工程中的广泛应用。我们摒弃对基础初等数学的重复叙述，直接切入那些构筑起微积分、线性代数乃至更高级数学分支的坚实基础。这不是一本仅仅罗列公式的参考手册，而是一次邀请读者进行深度思考、理解数学“为什么”的认知之旅。 第一部分：集合论与逻辑基础的重塑 在正式进入代数领域之前，本书首先对数学的基石——集合论和数理逻辑进行了强有力的重申与深化。我们不再满足于对集合的直观认识，而是深入探讨朴素集合论的限制与策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的公理体系。 集合的严格构造： 详细阐述了有序对、笛卡尔积的严格定义，以及集合之间的各种关系（子集、幂集、交集、并集、差集）在公理体系下的逻辑推导。 函数的内在本质： 从集合间的映射关系出发，严谨定义了单射、满射、双射（一一对应）。我们重点讨论了函数的扩张与限制，以及如何在不同集合上构造满足特定性质的函数。 逻辑推理与证明方法： 深入剖析了直接证明、反证法、数学归纳法（包括强归纳法和弱归纳法）的内在机制。特别引入了构造性证明的概念，展示了在数学建构中“存在”的含义。 第二部分：数系的拓展与代数结构的萌芽 本部分将带领读者跨越实数域，探索更广阔的数系，并初步接触代数结构。我们强调理解每一种新数系的引入都是为了解决原有数系中存在的具体问题。 复数的几何与代数统一： 复数 $z = a + bi$ 不仅是代数上的扩展，更是几何上的旋转和平移。我们深入分析了复数的极坐标表示、棣莫弗定理的严谨推导及其在周期性问题中的应用。更进一步，探讨了复数域上的多项式根的存在性，为后来的代数基本定理打下基础。 多项式环的深入剖析： 不仅仅是因式分解，我们将多项式视为一个环中的元素。重点讨论了多项式除法的唯一性，以及根与系数的关系（韦达定理的推广形式）。 数域的概念： 引入了有理数域 ($mathbb{Q}$)、实数域 ($mathbb{R}$) 的构造性定义，并简要介绍了代数数的概念，为理解数系边界提供了视角。 第三部分：函数的精细化分析——超越基础函数 本部分是本书的核心，它关注的是那些在微积分、数据分析和理论物理中扮演关键角色的复杂函数类型。我们聚焦于函数自身的性质、变换以及它们如何描述现实世界。 超越基本函数： 指数与对数函数的自然底数 $e$ 的精确定义： $e$ 的极限定义、级数定义及其相互等价性的严格证明。对数函数的换底公式的几何意义。 三角函数的周期性与复变性： 深入探讨三角函数的和差化积公式的几何推导，并引入反三角函数（如 $arcsin, arctan$）的定义域和值域限制下的单值性问题。 函数的变换与合成： 详细分析了通过平移、伸缩、反射等操作对函数图像的影响，特别是函数复合 $f(g(x))$ 的性质，如何利用复合函数构建复杂模型。 反函数与可逆性： 严格界定函数何时具有反函数，并探讨了如何通过限制定义域来保证可逆性。反函数的图像与原函数图像的对称性原理。 有理函数与渐近线： 深入分析有理函数（两个多项式的比值）的垂直、水平和斜渐近线的确定，这对于理解函数在无穷远处的行为至关重要。 第四部分：矩阵、行列式与线性系统的代数视角 本部分将代数的概念提升到多维空间，引入矩阵理论，这是理解线性变换和求解联立方程组的关键工具。 矩阵的基本代数运算： 矩阵的加法、标量乘法、矩阵乘法的定义及其非交换性（$AB eq BA$）。矩阵乘法的行视图和列视图解释。 线性方程组的矩阵表示： 将一组线性方程转化为 $AX=B$ 的形式，这是后续求解的基石。 行列式的定义与性质： 通过代数定义（如莱布尼茨公式或代数余子式展开）而非几何直观来定义行列式。深入探讨行列式的乘法性质、行变换对行列式的影响。 逆矩阵的求解： 使用伴随矩阵法和初等行变换（高斯消元法在矩阵形式下的应用）来求解逆矩阵，并讨论矩阵的秩与解的存在性之间的关系。 第五部分：序列、级数与收敛性的初步探索 认识到无限过程在数学中的重要性，本书对序列和级数进行了严谨的引入，为读者未来学习微积分中的泰勒级数奠定基础。 序列的极限： 严格定义序列收敛的 $epsilon-N$ 定义。讨论单调有界定理在证明序列收敛性中的强大作用。 级数的收敛性判别： 区分无穷项和与有限和。介绍比值检验、根值检验，以及积分检验法的适用条件和原理。 交错级数与绝对收敛： 引入莱布尼茨判别法，区分条件收敛与绝对收敛的概念及其重要性，理解排列顺序对级数和的影响。 本书的特色： 本书强调证明的完整性和概念的清晰度。每一个定理的陈述后，都有详尽的逻辑推导，帮助读者理解数学工具是如何构建起来的，而非仅仅停留在机械的计算层面。通过大量的“为什么不”的探讨，本书旨在培养读者对数学严谨性的内在需求和批判性思维。它为那些准备迈入微积分、线性代数、或任何需要坚实代数基础的学科的理工科学生，提供了一个坚不可摧的起点。

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