Berkeley Problems in Mathematics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:De Souza, Paulo Ney/ Silva, Jorge-Nuno

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2011-1

价格:$ 56.44

装帧:

isbn号码:9780387745213

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 问题集
• 伯克利
• 挑战
• 竞赛
• 数学分析
• 代数
• 几何
• 数论
• 高等数学

好的，这是一本名为《数学物理中的随机过程与应用》的图书简介，内容详尽，旨在为读者提供一个深入且实用的学习体验。 --- 图书名称：《数学物理中的随机过程与应用》 图书简介 本书旨在为数学、物理、工程学及相关领域的学生、研究人员和专业人士提供一个全面而深入的随机过程理论基础及其在现代数学物理中的前沿应用。我们构建了一个严谨而直观的框架，系统地阐述了从经典概率论到复杂随机系统的演变历程，并重点探讨了随机微分方程（SDEs）、随机场以及与量子场论、统计物理学紧密相关的随机方法。 第一部分：概率论与随机过程的基石 本书的开篇部分（第一至第三章）专注于奠定坚实的概率论基础，为后续的随机过程分析做好准备。 第一章：测度论与概率空间重述 我们从测度论的视角重新审视概率论，这是理解现代随机过程的理论核心。本章详细阐述了$sigma$-代数、可测函数、勒贝格积分的构造及其性质。重点讨论了随机变量的测度表示、条件期望的严格定义（基于 Radon-Nikodym 定理），以及鞅论在条件期望下的自然嵌入。此处强调了概率测度作为 $sigma$-有限测度在 $(X, mathcal{A})$ 上的特殊性，以及测度收敛性的各种类型（依分布收敛、依概率收敛、依测度收敛）。 第二章：随机过程的基本概念与分类 本章引入随机过程（随机变量的集合族）的概念，区分了时间参数集（离散与连续）和状态空间（离散与连续）。深入探讨了各种重要的过程类别：马尔可夫链（Markov Chains）的构造、Chapman-Kolmogorov 方程，以及状态空间的分类（常返性、瞬时性）。此外，还详细分析了平稳过程（Stationary Processes）的定义、遍历定理（Ergodic Theorems）的应用及其在时间序列分析中的初步作用。 第三章：连续时间过程：布朗运动与 Lévy 过程 布朗运动（Brownian Motion，或维纳过程）作为最基础的连续时间随机过程，占据了核心地位。本章详细构建了布朗运动的数学模型，证明了其连续路径、独立增量和正态增量的性质。随后，我们将概念推广至更一般的 Lévy 过程，讨论了其分解定理（复合泊松过程的引入），以及与金融数学和扩散现象的联系。对布朗运动路径的二次变差（Quadratic Variation）的计算是本章的重点，为随机微积分做好了铺垫。 第二部分：随机微积分与随机微分方程 这是本书技术性最强的部分，专注于随机分析的核心工具——随机微积分。 第四章：Itô 微积分基础 本章是全书的转折点，引入了随机积分的概念。我们从形式上的伊藤积分（Itô Integral）的构造出发，严格定义了 Ito 积分的适用函数空间，并证明了其基本性质，如鞅性。核心内容是 Itô 公式（Itô’s Formula）的详细推导与应用，它取代了经典微积分中的链式法则，是求解 SDEs 的根本工具。我们对比了 Stratonovich 积分与 Itô 积分之间的转换关系。 第五章：随机微分方程（SDEs）的解法与性质 本章系统研究 SDEs 的存在性、唯一性与稳定性。首先讨论了解的迭代逼近法（如 Picard 迭代）。接着，我们关注 线性 SDEs 的显式解法，特别是常系数线性 SDEs 在常数系数和时变系数下的解的结构。对于非线性 SDEs，侧重于 Euler-Maruyama 离散化方法的收敛性分析，这是数值模拟随机系统的基础。此外，还探讨了 SDE 路径的遍历性质和渐进行为。 第六章：随机场与偏微分方程的随机化 本章将随机过程的视角引入到偏微分方程（PDEs）的领域。我们探讨了随机力驱动下的扩散方程，即随机热方程和随机泊松方程。重点介绍了随机场（Random Fields）的概念，尤其是高斯随机场（Gaussian Random Fields）在线性问题的中的应用。随机场在空间相关性建模中的作用，以及它们如何与经典势论（Potential Theory）相关联，进行了深入的讨论。 第三部分：高级应用与现代课题 最后一部分将理论工具应用于更复杂的物理和数学场景。 第七章：马尔可夫过程与随机动力系统 本章重新审视马尔可夫过程，将其置于连续时间随机动力系统的框架下。重点讨论了 Fokker-Planck 方程（Fokker-Planck Equation, FPE），它是描述扩散过程概率密度函数演化的确定性方程，与 SDE 的随机轨迹分析形成了重要的对偶关系。我们展示了如何利用 FPE 分析系统的定态分布和能垒穿越问题。 第八章：统计物理与随机涨落 本章将随机过程理论与统计力学紧密结合。探讨了玻尔兹曼方程的随机解释，以及在蒙特卡洛方法（Monte Carlo Methods）中如何利用随机行走来模拟平衡态分布（如 Metropolis-Hastings 算法）。重点分析了 Ising 模型中的随机动力学（如 Glauber 动力学）以及临界现象附近的随机涨落。 第九章：随机场论与量子场论的交叉 本章面向高等研究，介绍了随机方法在量子物理中的前沿应用。讨论了 高斯随机场在量子场论中的“积分量化”（Path Integral Quantization）的背景，以及如何利用 Wick 转轴将实时间 SDE 的理论框架与欧几里得量子场论联系起来。对随机过程在拓扑绝缘体和无序系统中的作用进行了简要概述。 总结与展望 全书结构从基础概率论稳步推进到随机分析，最终深入到应用领域。书中包含大量的例题、习题和深入讨论，旨在训练读者的理论构建能力和实际问题求解能力。特别强调了数学严谨性和物理直觉之间的平衡，确保读者不仅能“使用”这些工具，还能“理解”其背后的数学原理。本书适合作为高年级本科生或研究生课程的教材，也是相关领域研究人员的有力参考手册。 --- (总字数约为 1550 字)

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