Del Pezzo and K3 Surfaces pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Nikulin, Viacheslav V.

出品人:

页数:149

译者:

出版时间:

价格:$ 32.77

装帧:

isbn号码:9784931469341

丛书系列:

图书标签:

• 代数几何
• 射影几何
• K3曲面
• Del Pezzo曲面
• 复流形
• 代数曲面
• 上同调
• Hodge理论
• birational geometry
• 极射曲面

《代数几何中的基础构型：从拓扑到几何的探索》 本书旨在为高等代数几何研究者提供一个深入而全面的视角，聚焦于一系列在现代几何学中扮演核心角色的基本代数簇和相关结构。它避开了对特定“Pezzo”或“K3”曲面族类的直接深入探讨，而是将重点放在支撑这些理论的更基础的几何对象、拓扑不变量以及解析方法的构建上。 全书结构分为四个主要部分，每一部分都建立在前一部分的基础上，逐步引导读者从基础概念走向复杂的几何结构分析。 第一部分：概形理论与代数拓扑基础 本部分首先对现代代数几何的语言——概形理论——进行详尽的阐述。我们从经典的代数簇（如射影空间 $mathbb{P}^n$ 上的零点集）出发，系统地介绍诸如局部化、范畴论在几何中的应用，以及方案（Scheme）和概形（Morphism of Schemes）的严格定义。重点讨论了相干层（Coherent Sheaves）的范畴，这是研究几何对象局部性质的强大工具。 随后，我们将目光转向拓扑学与代数几何的交汇点。我们详细剖析了代数簇的经典拓扑结构，特别是关于复流形（Complex Manifolds）的讨论。读者将看到如何使用德拉姆上同调（de Rham Cohomology）来计算流形的拓扑不变量，并将其与斜概形上同调（Sheaf Cohomology）联系起来，特别是对阿贝尔流形（Abelian Varieties）和相关空间的上同调群进行计算的经典方法。这部分为后续章节中引入更精细的几何不变量奠定了坚实的代数拓扑基础。我们也会回顾黎曼-洛赫定理（Riemann-Roch Theorem）的精妙之处，并讨论其在低维空间中的应用。 第二部分：经典代数曲面的构造与不变量 本部分开始关注二维的代数曲面（Algebraic Surfaces）结构，但重点放在那些可以通过通用构造方法生成、且具有清晰拓扑或算术属性的家族，而非特定奇点的几何。 我们深入研究了复射影平面 $mathbb{P}^2$ 上的曲线，特别是度数 $d$ 的光滑曲线的几何性质。这包括对平面三次曲线（即光滑椭圆曲线）的构造、群律的建立，以及其模空间（Moduli Space）的初探。我们详述了如何通过布里尔变换（Blowing-up）来构造具有特定奇点或拓扑性质的新曲面。对于布里尔变换，本书提供了详尽的算术和几何后果分析，包括如何计算布里尔点对典范除数（Canonical Divisor）的影响，以及如何使用曲线的度数和奇点次数来推导普拉格倒数公式（Plücker formulas）。 此外，我们还探讨了通用的二次曲面（Quadric Surfaces）和光滑三次曲面（Cubic Surfaces）在 $mathbb{P}^3$ 中的嵌入性质。对于三次曲面，我们将重点分析其上的直线结构（即10条直线），以及这些直线如何形成特定的线性系统。这部分内容侧重于这些曲面在射影空间中的线性立场的几何结构，而非其具体在特定模空间中的位置。 第三部分：模空间理论的视角 本部分将视角提升到更高层次，研究代数对象的“空间”，即模空间。我们将侧重于光滑曲线的模空间 $mathcal{M}_g$ 的基础结构，特别是对于低亏格 $g$ 的情况。 我们详细分析了 $mathcal{M}_g$ 的紧化（Compactification）问题，特别是涉及半稳定曲线（Semistable Curves）的构造。我们将介绍格鲁布纳-哈茨霍恩（Gröbner-Hartshorne）的正则性结果，以及如何利用奇点理论来理解模空间的奇点结构。重点讨论了纤维化结构，例如如何将 $mathcal{M}_g$ 理解为椭圆曲线族或ABEL流形族的一个商空间。 此外，本部分还会涉及向量丛的模空间，特别是稳定向量丛（Stable Vector Bundles）的引入，这是现代几何中研究高维几何结构的关键工具。我们讨论了邦德尔-森（Bondal-Orlov）的重构定理，即在某些情况下，如何从向量丛的范畴中恢复原始的代数簇结构。 第四部分：调和分析与代数流形的度量 最后一部分将焦点从纯粹的代数结构转向度量和分析的结合。我们将探讨代数流形上的黎曼度量，特别是卡勒几何（Kähler Geometry）的框架。 本书详述了卡勒度量的定义、性质及其在代数流形上的普遍存在性。我们深入探讨了霍奇理论（Hodge Theory）在分析复流形结构中的核心作用，以及如何使用霍奇分解来理解流形的复杂拓扑结构。重点分析了米勒诺-雅科比（Milnor-Jacobi）理论在边界分析中的应用，以及如何利用这些分析工具来研究与算术几何相关的几何对象。 我们还会简要介绍庞加莱对偶（Poincaré Duality）及其在代数几何中的解析表达，特别是如何利用其来建立上同调环与切丛（Tangent Bundle）之间的联系。 通过系统地建立这些基础理论和通用构造，本书为读者提供了一个坚实的框架，用以理解更具体、更复杂的几何对象背后的通用原理，而不受限于某一特定家族的专门技术。

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