Analytic Solutions Of Functional Equations pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:

作者:Cheng, Sui Sun/ Li, Wenrong

出品人:

页数:296

译者:

出版时间:2008-3

价格:$ 113.00

装帧:

isbn号码:9789812793348

丛书系列:

图书标签:

Functional Equations
Analytic Methods
Mathematical Analysis
Differential Equations
Integral Equations
Fixed Point Theorems
Iteration Techniques
Numerical Analysis
Operator Theory
Real Analysis

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具体描述

This book presents a self-contained and unified introduction to the properties of analytic functions. Based on recent research results, it provides many examples of functional equations to show how analytic solutions can be found.

Unlike in other books, analytic functions are treated here as those generated by sequences with positive radii of convergence. By developing operational means for handling sequences, functional equations can then be transformed into recurrence relations or difference equations in a straightforward manner. Their solutions can also be found either by qualitative means or by computation. The subsequent formal power series function can then be asserted as a true solution once convergence is established by various convergence tests and majorization techniques. Functional equations in this book may also be functional differential equations or iterative equations, which are different from the differential equations studied in standard textbooks since composition of known or unknown functions are involved.

Contents: Prologue; Sequences; Power Series Functions; Functional Equations without Differentiation; Functional Equations with Differentiation; Functional Equations with Iteration.

现代拓扑学基础：黎曼流形与微分几何的深度探索作者： [此处留空，或使用一个与您原书风格相符的作者名] 出版社： [此处留空，或使用一个专业的学术出版社名称] ISBN： [此处留空] --- 内容概述：《现代拓扑学基础：黎曼流形与微分几何的深度探索》是一部旨在为数学研究人员、高年级本科生及研究生提供一个全面、严谨且深入理解微分几何核心概念的权威专著。本书聚焦于黎曼几何的理论基石，系统地构建了从光滑流形概念到复杂黎曼曲率张量分析的完整框架，旨在培养读者运用现代几何工具解决物理学和数学中前沿问题的能力。本书的结构设计严谨，逻辑推导清晰，力求在保证数学严谨性的同时，提供足够的直观理解和应用实例。我们摒弃了仅仅罗列定理和证明的传统方式，而是强调概念之间的内在联系和几何直觉的培养。第一部分：光滑流形的代数与拓扑基础第一部分是全书的基石，它为后续的微分几何研究奠定了必要的拓扑和代数语言。第一章：拓扑空间与连续性回顾本章首先对必要的拓扑学概念进行快速而精确的复习，包括开集、闭集、紧致性、连通性以及分离公理。重点在于建立读者对抽象拓扑空间的直观理解，为定义流形上的结构做准备。第二章：从欧几里得空间到微分流形本章是本书的核心起点。我们详细介绍了 $mathbb{R}^n$ 上的分析工具，随后引入了微分同胚和局部坐标系的概念，正式定义了光滑（或称微分）流形。重点讨论了切空间的概念，将其视为流形上每一点的局部线性近似，并引入了向量场和张量场的定义。我们深入探讨了可定向性、可计数性等拓扑性质在流形上的体现。第三章：张量代数与微分形式为了处理流形上更高阶的几何结构，本章系统地介绍了张量代数。我们详尽阐述了协变张量、反变张量以及混合张量之间的关系，并定义了张量积和收缩运算。紧接着，我们引入了微分 $k$ 形式，着重于其在流形上的外积（wedge product）运算，并奠定了德拉姆上同调理论的语言基础。第二章与第三章的深度结合点在于对外微分算子的构建。我们展示了如何利用局部坐标下的导数构造出在坐标变换下保持不变的外微分 $d$，并验证其满足 $d^2=0$ 的关键性质。第二部分：黎曼度量与联络第二部分将几何的“度量”概念引入光滑流形，将拓扑空间提升为具有长度、角度和曲率的黎曼流形。第四章：黎曼度量与正定性本章引入了黎曼度量 $g$——一个光滑的、对称的、正定的二阶协变张量场。我们分析了度量在局部坐标下的分量形式，并精确定义了流形上向量和一形式的“升降标”操作。本章的难点在于理解度量如何赋予流形上的切空间一个内积结构，从而定义角度和长度。我们还讨论了等距的概念，并给出了最简单的例子：欧几里得空间和球面。第五章：联络、平行移动与测地线引入黎曼度量后，我们需要定义一种“微分”的方式，即平行移动，它允许我们在流形的不同点间比较向量。本章详尽介绍了仿射联络的性质，重点关注黎曼几何中的列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），该联络由度量唯一确定，且满足无挠率和度量兼容性。在此基础上，我们正式定义了测地线——“测地线方程”是黎曼几何中最核心的动力学方程。第六章：协变导数与黎曼曲率张量本章是黎曼几何计算的核心。我们利用列维-奇维塔联络定义了协变导数 $ abla$，并展示了它如何推广了欧几里得空间中的偏导数。关键在于利用协变导数定义了黎曼曲率张量 $R$。我们细致地分析了曲率张量的四个指标的性质（如反对称性、第一比安基恒等式），并将其几何意义（如无穷小平行四边形的闭合程度）进行了深入阐释。本章还引入了截面曲率、里奇曲率和斯卡拉曲率等衍生概念。第三部分：几何分析与应用第三部分将前两部分建立的结构与微分方程和拓扑学相结合，展示黎曼几何在现代数学中的强大威力。第七章：黎曼测度和拉普拉斯-德拉姆算子本章探讨了在黎曼流形上建立积分理论的必要性。我们利用黎曼度量导出了体积元（或称黎曼测度 $ ext{vol}_g$），并定义了黎曼流形上的积分。随后，我们构建了拉普拉斯-德拉姆算子 $Delta_g$，它是广义的拉普拉斯算子，在几何分析中具有核心地位。我们探讨了其基本性质，特别是它与外微分和霍奇理论的联系。第八章：霍奇理论与德拉姆上同调本章是几何与拓扑的交汇点。我们回顾了德拉姆上同调群 $H^k(M)$ 的定义，并利用 $Delta_g$ 证明了著名的德拉姆定理：在紧致流形上，德拉姆上同调群同构于奇异上同调群。本章详细解释了霍奇分解，即任意微分形式可以唯一分解为一个调和形式、一个由 $Delta$ 算子生成的精确部分和一个由 $Delta$ 算子生成的余精确部分。第九章：测地线的变分原理与不动点定理本章将几何问题转化为变分问题。我们定义了连接流形上两点的曲线的能量泛函（或称长度泛函），并利用变分原理证明了测地线方程是该泛函的欧拉-拉格朗日方程。在此基础上，我们引入了辛格-朗德勒（Synge-Lander）定理和霍普夫-林德霍夫（Hopf-Lindehof）定理等，探讨了曲率性质如何影响流形的拓扑结构（例如，负曲率流形上的唯一性）。第十章：黎曼几何的进阶话题简述本章作为总结和展望，简要介绍了该领域更深层次的研究方向，包括：卡拉比-丘流形、卡拉比猜想的解决、爱因斯坦度量的性质、广义相对论中的曲率效应，以及黎曼几何在热核展开和谱几何中的应用。本书特色： 1. 严格的代数与几何交织：每一概念的引入都伴随着其内在的代数结构描述，确保读者不仅知道“是什么”，更能理解“为什么”。 2. 强调计算技巧：包含大量计算示例，特别是关于曲率张量和里奇曲率在常见流形上的具体计算过程。 3. 清晰的图形化辅助（理论描述）：尽管是纯数学书籍，但我们努力通过对局部坐标系和张量收缩过程的详细描述，辅助读者建立三维或四维流形的直观图像。 4. 面向研究的深度：深入探讨了黎曼度量的存在性、唯一性（如相对论中的爱因斯坦方程）以及几何结构对全局拓扑的约束，为读者进入前沿研究领域做好充分准备。本书是学习经典微分几何后，进入更高级拓扑场论、规范场理论或广义相对论研究的理想桥梁。