Difference Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Levin, Alexander

出品人:

页数:532

译者:

出版时间:2008-4

价格:$ 145.77

装帧:

isbn号码:9781402069468

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 差分代数
• 数学
• 抽象代数
• 算法
• 形式验证
• 计算机代数
• 符号计算
• 自动定理证明
• 逻辑

探秘无限：超越《Difference Algebra》的数学新视界 图书名称： 《无限的边界：拓扑几何与范畴论的交织探索》 图书简介 本书旨在为读者构建一个宏大而精密的数学知识体系，它立足于现代数学的两个重要支柱——拓扑几何与范畴论——并深入挖掘两者之间深层次的、常常被忽视的结构性联系。我们并非探讨离散结构的代数差异，而是将焦点投向连续性、形变、以及抽象范畴的内在逻辑。 第一部分：拓扑空间的基础与深化 (Foundations and Deepening of Topological Spaces) 本部分首先回顾拓扑学的基本概念，但绝不满足于点集拓扑的常规叙述。我们迅速过渡到代数拓扑的先声，为后续引入范畴论的概念做好铺垫。 1. 重新审视拓扑结构： 我们将拓扑定义为一种特殊的“邻域系统”，强调其内部的一致性与完备性。详细探讨了紧致性、连通性以及分离公理（$T_1, T_2, T_3, T_4$）在理解空间形变能力上的物理意义。重点分析了度量空间到一般拓扑空间的映射，以及嵌入与商空间的构建。 2. 同伦与同调的语言： 拓扑几何的核心在于描述“可形变性”。本书对基本群 $pi_1(X)$ 的计算进行了详尽的阐述，特别是如何利用覆叠空间理论（Covering Space Theory）来简化复杂空间的计算。随后，我们深入讲解了奇异同调理论（Singular Homology Theory），包括链复形、边界算子、欧拉示性数（Euler Characteristic）的计算与拓扑不变量的意义。读者将学习到关于辛尼普同调（Čech Cohomology）和德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的介绍，理解它们在微分几何与代数几何中的桥梁作用。 3. 纤维丛与流形理论的引入： 拓扑学的高级应用体现在对流形的研究上。我们详细介绍了纤维丛（Fiber Bundles）的概念，包括向量丛和主丛，以及如何使用陈类（Chern Classes）和示性类来区分不同类型的丛结构。随后，对光滑流形（Smooth Manifolds）的局部坐标系、切空间、向量场和张量场进行了细致的构建，为理解微分拓扑打下坚实基础。 第二部分：范畴论的抽象视角 (The Abstract Perspective of Category Theory) 在掌握了拓扑空间的几何直觉后，我们转向范畴论，研究数学结构之间最普遍的关系——态射（Morphisms）。范畴论提供了一种“去中心化”的视角，允许我们将不同的数学分支置于一个统一的框架下进行比较。 1. 范畴、函子与自然变换： 本部分从最基础的定义出发，精确界定范畴 $mathcal{C}$ 的对象与态射。我们详细区分了具体范畴与抽象范畴，并重点研究了预加法范畴、阿贝尔范畴等在代数拓扑中至关重要的特定结构。函子（Functors）被视为在不同数学世界（范畴）之间的“翻译器”，我们区分了协变函子与反变函子。自然变换（Natural Transformations）则被定义为保持这种翻译一致性的“结构保持映射”。 2. 极限、余极限与伴随函子： 极限（Limits）和余极限（Colimits）是范畴论中的“构造工具箱”，它们概括了笛卡尔积、拉回、直和、推拉等一系列常见的数学构造。我们深入分析了极限和余极限的存在性条件，特别是它们在特定范畴（如拓扑空间范畴或群范畴）中的具体表现形式。随后，本书的重头戏——伴随函子（Adjoint Functors）的理论展开。我们将伴随关系视为一种深层次的对偶性或“最佳拟合”，并通过同构 $ ext{Hom}(F(A), B) cong ext{Hom}(A, G(B))$ 来阐明其普遍意义。我们将展示伴随关系在环论、代数几何和拓扑学中无处不在的体现。 3. 阿贝尔范畴与同调代数的基础： 为了将范畴论的工具应用于代数拓扑的同调理论，我们需要引入阿贝尔范畴。本书详细讨论了内射对象（Injective Objects）与投射对象（Projective Objects）的概念，以及分解理论（如分解为内射/投射对象的直和）。我们将张量积和 $ ext{Ext}$ 函子置于同调代数的框架下进行考察，为读者理解谱序列（Spectral Sequences）打下必要的代数基础。 第三部分：拓扑几何与范畴论的交汇点 (The Confluence of Topology and Category Theory) 本部分是全书的核心，致力于展示两种看似分属不同领域的数学语言如何相互赋能，共同推动理论边界的发展。 1. 同伦范畴与模型的建立： 我们将拓扑空间的同伦等价关系提升到范畴论的高度，定义了同伦范畴 $ ext{Ho}(mathcal{T}op)$。随后，引入了模型范畴（Model Categories）的概念，特别是基于同伦理论的遍历（Cobordism Theory）和稳定的同伦理论。通过定义特定的态射（如纤维化、共纤维化、弱等价），我们得以在抽象的范畴框架内处理拓扑形变的复杂性。 2. 函子与拓扑不变量的生成： 我们展示了著名的代数拓扑函子（如上同调函子 $H^n$）如何通过范畴论的语言被形式化。特别是，如何利用函子的正合性（Exactness）来精确衡量拓扑结构丢失或扭曲的程度。我们将探讨上同调理论作为阿贝尔范畴上的一个广义上同调理论（Generalized Cohomology Theory）的构造过程，并证明其满足艾伦伯格-斯汀罗德公理（Eilenberg-Steenrod Axioms）。 3. 范畴论在几何学中的应用： 最后，我们探讨范畴论如何重塑几何学的某些领域。例如，我们将概括格罗滕迪克的方案（Scheme）理论，将其视为拓扑空间范畴中一个特殊的子范畴（概形范畴 $ ext{Sch}$），并通过其上的层（Sheaves）的概念，展示了如何使用范畴论工具来研究代数几何中的局部-整体原则。我们还将触及拓扑场的理论背景，其中，拓扑结构被编码在特定的张量范畴中，为量子场论的数学基础提供了一种纯粹的结构化描述。 本书的阅读者应具备扎实的微积分、线性代数和抽象代数基础。它面向高等数学专业的学生、研究人员以及渴望跨越学科壁垒、掌握现代数学统一语言的探索者。通过本书，读者将学会用范畴的“外部视角”去审视拓扑空间的“内部结构”，从而获得对数学本质的全新认识。

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