Advanced Topics In Scattering And Biomedical Engineering pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Charalambopoulos, A. (EDT)/ Fotiadis, D. I. (EDT)/ Polyzos, D. (EDT)

出品人:

页数:389

译者:

出版时间:

价格:164

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isbn号码:9789812814845

丛书系列:

图书标签:

• 散射理论
• 生物医学工程
• 光学
• 电磁学
• 生物光子学
• 医学影像
• 组织光学
• 蒙特卡洛方法
• 偏振
• 生物组织相互作用

结构与拓扑学：现代物理与数学的交汇点 本书深入探索了在当代科学研究中至关重要的两个核心领域：抽象代数结构与拓扑空间理论。 我们聚焦于它们的内在联系、彼此间的转化机制，以及如何运用这些工具来解决从粒子物理到复杂系统建模中的核心难题。本书旨在为具备坚实微积分和线性代数基础的读者提供一个深入的视角，去理解这些看似抽象的概念如何构成了现代科学的理论基石。 第一部分：群论与对称性 本部分从基础的群论概念开始，系统地构建了对代数结构更深刻的理解。我们不仅仅停留在定义和基本性质上，而是将重点放在了群在物理和几何中的具体应用。 第一章：基础代数结构的回顾与扩展 本章重新审视了群、环和域的定义，引入了同态、同构、商群（或称因子群）的概念。特别强调了正规子群在构建新的、更简单的群结构中的核心作用，这为后续的表示论奠定了基础。我们详细探讨了西洛定理（Sylow Theorems），并展示了如何利用这些定理来确定有限群的内部结构，例如，在晶体对称性分析中识别晶体群的类型。 第二章：群表示论：从抽象到具体 我们将讨论群表示论，这是连接抽象群结构与可观测物理量的关键桥梁。重点分析了酉表示的性质，以及特征标理论（Character Theory）在简化计算和分类表示方面的强大威力。通过详细的案例分析，读者将理解 Schur 引理如何被用来证明表示的不可约性，以及如何利用特征标正交性关系来分解复杂的表示。这部分内容对于量子力学中的角动量理论和光谱分析至关重要。 第三部分：拓扑学基础：空间的形变不变性 拓扑学部分将空间的概念从度量（距离）的束缚中解放出来，关注的是空间在连续变形下保持不变的性质。 第三章：拓扑空间的构建与连续性 本章定义了拓扑空间，并详细阐述了开集、闭集、邻域基的概念。我们将深入探讨紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）这两个核心拓扑性质，并证明 Heine-Borel 定理在欧几里得空间中的推广形式。连通性的讨论将自然延伸到路径连通性，为理解空间中“可以到达”的概念打下基础。 第四章：连续映射与同胚 本章聚焦于连接不同拓扑空间的工具——连续映射。我们定义了同胚（Homeomorphism），作为拓扑学中“形状相同”的严格数学定义。大量的例子，包括对流形（如球面、圆环面）的分析，将帮助读者掌握如何通过拓扑不变量（如孔洞的数量）来区分在几何上看似相似的空间。 第四章：同调论的初探：量化孔洞 为了超越直观的分类，本章引入了代数拓扑学的最重要工具之一：同调论（Homology Theory）。我们首先用直观的方式解释了单纯形复形（Simplicial Complexes）的概念，然后定义了链群、边界算子，最终引出同调群 $H_n(X)$。这些群的秩（即贝蒂数 $b_n$）精确地量化了空间中 $n$ 维“孔洞”的数量。我们将详细计算二维空间（如圆环面和球面）的低阶同调群，展示了代数工具在精确描述空间拓扑结构方面的优势。 第三部分：结构的交汇：流形与几何结构 本部分将前两部分的成果结合起来，探讨在具有特定代数或几何结构的空间上如何进行分析和计算。 第五章：微分流形：光滑性的引入 我们将拓扑空间提升到微分流形（Differentiable Manifolds）的层次，即局部具有欧几里得空间的结构，并且允许进行微积分运算。本章详细介绍了坐标图集、过渡函数的概念，以及如何定义流形上的向量场和张量场。对切空间的构建是理解流形上微分计算的关键。 第六章：纤维丛与联络：内在几何 本章探讨了在流形上定义“方向”和“平行移动”的代数几何结构——纤维丛（Fiber Bundles）。我们详细分析了主丛和向量丛，并引入了联络（Connection）的概念，这允许我们在流形上进行“平行移动”，从而定义协变导数。这为黎曼几何和规范场论中对曲率和场强张量的描述提供了数学框架。 第七章：代数拓扑在微分方程中的应用 最后，本章展示了抽象结构如何解决具体的分析问题。我们使用庞加莱引理的拓扑视角来理解保守向量场和精确微分形式之间的关系。通过研究流形上的拓扑性质（例如，流形上的向量场的零点数量），我们将布劳威尔不动点定理等拓扑结果应用于证明特定微分方程的解的存在性或唯一性。 总结 本书不是对现有物理模型或工程计算方法的简单罗列，而是提供了一套深层的、跨学科的理论工具集。它建立在抽象代数对对称性的严格捕捉，以及代数拓扑对空间形态的精确刻画之上，为读者在处理高维、非线性、具有内在对称性的复杂系统时，提供了强大的理论武器。本书的结构安排确保了读者从基础概念逐步深入到前沿研究中所需的数学成熟度。

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