Unitary Symmetry And Combinatorics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:James D. Louck

出品人:

页数:644

译者:

出版时间:2008-9

价格:$ 212.00

装帧:

isbn号码:9789812814722

丛书系列:

图书标签:

• 物理學
• Math
• Unitary Symmetry
• Combinatorics
• Mathematics
• Algebra
• Representation Theory
• Group Theory
• Mathematical Physics
• Symmetry
• Combinatorial Mathematics
• Abstract Algebra

现代代数几何中的拓扑结构与图论应用 本书导言：探索数学前沿的交叉领域 本书旨在为读者提供一个深入、详尽的探讨现代代数几何与拓扑结构之间复杂联系的导览，同时侧重于这些理论在离散数学分支——特别是图论——中的实际应用和深远影响。我们避免采用传统教材的线性叙述方式，而是采取一种以问题驱动、概念交织的结构，旨在激发读者对数学结构本质的思考，并展示不同数学领域之间如何相互启发、共同构建起更宏大的知识体系。 第一部分：拓扑空间的分类与不变量 本部分首先回顾拓扑学的基础概念，但重点聚焦于那些对代数结构至关重要的特性，如连通性、紧致性以及可微性（在光滑流形的前提下）。我们深入探讨同伦群（Homotopy Groups）和同调群（Homology Groups）的构造，并详细分析它们作为拓扑不变量的强大能力。 1.1 基础拓扑与基本群的局限性 我们将从最基础的度量空间出发，逐步过渡到更抽象的拓扑空间。重点讨论如何利用Poincaré空间（如球面、环面）来理解拓扑形变的“刚性”。在此基础上，我们批判性地审视基本群（Fundamental Group）在处理高维空间中的局限性，并引入更精细的工具——纤维丛理论的前身，为理解更高阶的同伦群做铺垫。我们详述Hurewicz定理，探讨将代数（群论）结构映射到拓扑空间的有效性。 1.2 同调论：从链复形到贝蒂数 同调论是理解空间“洞”的代数语言。本章将详尽解析链复形（Chain Complexes）、边界算子（Boundary Operators）以及奇异同调（Singular Homology）的严格构造。我们重点关注环（Cycles）与边界（Boundaries）之间的关系，并推导出贝蒂数（Betti Numbers）的计算方法。特别地，我们会对Mayer-Vietoris序列进行深入分析，展示如何通过分解复杂空间来计算其拓扑不变量，并用此工具解决关于球面连通性的经典问题。 1.3 流形与微分拓扑的交汇点 当拓扑空间被赋予局部坐标系和光滑结构时，它便成为了微分流形。我们探讨切空间（Tangent Spaces）、向量场，并引入De Rham上同调。De Rham上同调将微分形式的代数结构（如外微分）与拓扑结构（通过De Rham定理与奇异上同调的同构）紧密联系起来。这一连接是后续深入研究特征类（Characteristic Classes）的基石。 第二部分：代数几何中的几何化思维 代数几何关注由多项式方程定义的集合（代数集）。本部分将展示如何利用拓扑工具来分析这些代数对象的几何属性，特别是关于其奇点和全局结构的理解。 2.1 射影空间与代数簇的结构 我们首先引入射影空间（Projective Space）$mathbb{P}^n$，将其视为理解代数簇（Algebraic Varieties）的自然背景。重点讨论簇的连通性、维数概念，以及如何利用 Zariski 拓扑来定义这些空间。我们详细分析曲线和曲面的例子，如光滑椭圆曲线，并展示其拓扑结构如何被其代数方程完全决定（例如，对椭圆曲线而言，其拓扑结构总是一个环面）。 2.2 希尔伯特多项式与局部分析 对于代数簇，局部性质与全局性质往往存在深刻的关联。本章聚焦于希尔伯特函数和希尔伯特多项式，它们提供了关于代数集在射影空间中嵌入方式的数值信息。我们将展示如何利用这些代数工具来确定簇的奇点类型，并将其与拓扑上的局部可缩性联系起来。 2.3 拓扑形变与代数等价性 代数几何中的“形变理论”（Deformation Theory）是核心概念之一。我们讨论如何通过参数空间来研究代数簇的微小形变，并将这些形变与拓扑空间的可微形变进行对比。重点分析当两个代数簇在拓扑上是同胚，但在代数上是“不同”时（如复代数簇的Moduli空间问题），拓扑不变量提供的洞察力如何不足以区分它们，从而引出更高级的代数不变量（如Sheaf论）。 第三部分：图论的拓扑嵌入与代数表示 本部分将主题转向离散数学，探索图论如何作为拓扑研究的离散模型，以及其代数表示如何帮助我们解决嵌入问题。 3.1 图的拓扑嵌入与亏格（Genus） 任何有限图都可以被嵌入到不同的拓扑空间中。本书将重点讨论图嵌入到平面（亏格为零的球面）和更高亏格曲面上的条件。我们将详述库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）的拓扑意义，即通过排除特定子图来确定平面性。随后，我们将深入研究图嵌入到具有非零亏格的曲面上的代数不变量——组合亏格（Combinatorial Genus），并展示它与图的环结构（如圈基）的密切关系。 3.2 图的代数不变量：邻接矩阵与谱图论 图的代数表示主要通过其邻接矩阵和关联矩阵实现。本章侧重于谱图论（Spectral Graph Theory）。我们分析邻接矩阵的特征值分布与图的结构特性（如连通性、二分性）之间的关系。特别是，特征值的重数与图的对称性（自同构群）之间的联系，提供了一种不同于纯拓扑分析的视角。我们将探讨拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的零特征值个数与图连通分量的数量之间的对应关系。 3.3 组合拓扑中的链复形与图的同调 将拓扑工具应用于图论的最终飞跃是使用组合拓扑（Combinatorial Topology）。我们构造图的单纯形复形（Simplicial Complex），其中顶点、边和三角形分别对应于0-单纯形、1-单纯形和2-单纯形（如果存在团）。然后，我们应用前述的链复形和边界算子来计算图的组合同调群。我们将展示，对于一个连通图，其第一个组合同调群（$mathrm{H}_1$）的维度，即图的环秩（Cycle Rank），与图的边数、顶点数和连通分量数之间存在精确的关系，这直接对应于拓扑学中对“洞”的代数计数。 结语：结构统一性的展望 本书的最终目标是揭示，无论是在连续的微分流形上，还是在离散的图结构中，数学家们都在不遗余力地寻找和利用那些能够在不同数学尺度上保持不变的内在结构。从同调群的计算到图的环基分析，核心思想在于如何用代数的精确性来量化和区分几何对象。本书的讨论为进一步探索更高级的代数几何主题，如代数环面、拓扑量子场论的基础模型，奠定了坚实的跨学科基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆