代数拓扑基础讲义 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:陈吉象

出品人:

页数:316

译者:

出版时间:1987

价格:2.10

装帧:

isbn号码:9781016130448

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 代数拓扑5
• 覆盖同伦性质
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代数拓扑基础讲义 本书是一本面向初学者和进阶者的代数拓扑教材，旨在系统地介绍代数拓扑的核心概念、基本工具和重要理论。全书内容涵盖了代数拓扑学的广阔图景，从最基本的同伦理论出发，逐步深入到更复杂的同调论和微分拓扑等领域。 第一部分：同伦理论的基础 本部分将引导读者进入代数拓扑的初步探索。我们将从 空间 的概念入手，区分拓扑空间与我们熟悉的欧几里得空间，并介绍一些基本的拓扑性质，如连通性、紧致性等。 连续映射与同胚： 理解在拓扑空间中“形状”不变性的核心概念，即同胚。我们将通过大量例子展示不同空间之间的同胚关系，以及如何证明两个空间不同胚。 路径与同伦： 引入路径的概念，它是连接空间中两点的“连续曲线”。在此基础上，我们定义了路径同伦，即两条路径可以通过连续形变相互转化。这将为我们后续研究空间的“孔洞”和“连通性”打下基础。 基本群： 这是代数拓扑中最基本也最重要的代数不变量之一。我们将详细介绍基本群的构造，即固定一点，考虑所有以该点为起点和终点的闭合路径的同伦类组成的群。我们将讨论基本群的计算方法，特别是对于一些简单空间的计算，如圆周、$n$维球面等。 覆盖空间： 覆盖空间是理解基本群的重要工具。我们将介绍覆盖空间的定义，以及它与基本群之间的深刻联系（称为 Lifting Property）。通过覆盖空间，我们可以更有效地计算基本群，并理解它在分类某些空间时的作用。 第二部分：同调论的基石 在掌握了同伦理论之后，我们将转向代数拓扑的另一大支柱——同调论。同调论提供了更为强大的代数不变量来区分拓扑空间，并且在很多数学领域有着广泛的应用。 链复形与同调群： 我们将从代数结构——链复形——开始。一个链复形是由一系列阿贝尔群（或模）和它们之间的链映射组成的，这些链映射满足复合为零的条件。同调群就是基于链复形定义的，它衡量了链复形中“链”的“边界”和“洞”的程度。 单纯复形与胞腔复形： 为了计算同调群，我们需要将拓扑空间“离散化”。单纯复形和胞腔复形是两种重要的离散化方法。我们将详细介绍它们的定义、构造以及如何从拓扑空间得到这些复形。 奇异同调： 这是最普遍的同调理论。我们将定义奇异链复形，并在此基础上构造奇异同调群。奇异同调群是拓扑不变量，即同胚的空间拥有相同的奇异同调群。 同伦等价与同调群： 证明同伦等价的空间拥有相同的同调群，这是同调论作为拓扑不变量的核心性质。 胞腔同调： 介绍胞腔同调，它是在胞腔复形上定义的同调理论，通常比奇异同调更容易计算。我们将讨论胞腔同调与奇异同调之间的同构关系。 公理化同调论： 介绍Eilenberg-Steenrod公理，这些公理刻画了同调论的基本性质，是理解各种同调理论统一性的关键。 第三部分：深入与拓展 在掌握了基本同调理论之后，本部分将介绍一些更高级的概念和应用。 纤维丛与陈类： 引入纤维丛的概念，这是许多几何和拓扑研究中的重要结构。我们将介绍一些重要的陈类，它们是纤维丛的不变量，在微分几何和代数几何中有重要应用。 示差同调： 介绍示差同调，它在光滑流形的研究中尤为重要，是de Rham定理的核心。我们将展示示差同调与奇异同调之间的联系。 毛巾引理与 Mayer-Vietoris 序列： 介绍一些计算同调群的强大工具，如Mayer-Vietoris序列，它提供了一种递归计算同调群的方法。 泛系（Universal Coefficient Theorem）与 Künneth 公式： 介绍这两个重要的定理，它们分别建立了同调群与其他代数结构（如同伦群）之间的关系，以及对积空间同调群的计算。 微分拓扑简介： 简要介绍微分拓扑的一些基本概念，如光滑流形、向量丛、微分形式等，并展示代数拓扑工具在微分拓扑中的应用。 本书的特点： 循序渐进： 内容从易到难，层层递进，适合不同基础的读者。 理论与计算并重： 既阐述了代数拓扑的核心理论，也提供了计算同调群和基本群的具体方法和实例。 丰富的例题： 大量精选的例题帮助读者理解抽象概念，并掌握计算技巧。 概念清晰： 力求对每个概念进行清晰的定义和直观的解释，减少读者的理解难度。 数学严谨： 在保证可读性的同时，保持数学上的严谨性。 本书适用于高等院校数学专业本科生、研究生，以及对代数拓扑学感兴趣的科研人员。通过学习本书，读者将能够深入理解代数拓扑学的基本思想和方法，为进一步学习更高级的拓扑学和相关领域打下坚实的基础。

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我发现这本书的一个显著特点是它对“例子”和“反例”的运用达到了炉火纯青的地步。在讲解那些高度抽象的结构时，作者总能恰到好处地抛出一个精心构造的例子，让抽象的概念瞬间变得具体可感。比如，在讨论不同拓扑空间之间的同伦等价性时，书中所给的几个经典案例，不仅清晰地展示了理论如何运作，更重要的是，它们帮助我预判了在实际操作中可能会遇到的陷阱和误区。这些例子并非随意的点缀，而是构建理解大厦不可或缺的砖石。更值得称赞的是，它对于“反例”的探讨也十分深入，明确指出了哪些看似合理的直觉在代数拓扑的严谨世界中是站不住脚的。这种亦正亦邪的讲解方式，极大地提高了读者的批判性思维能力，让我学会了在看似平凡的结构中，去寻找潜在的矛盾点。

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这本书的论述风格，透露出一种深厚的历史沉淀感，但又紧密贴合现代数学的发展前沿。它在介绍像庞加莱对偶性这样的经典理论时，并没有简单地重复已有的表述，而是尝试用一种更具洞察力的方式去解读其几何直觉的根源。我注意到作者在讲解过程中，经常会穿插一些历史背景或者不同学派之间的观点交锋，这极大地丰富了内容的层次感，让人明白这些概念是如何在历史长河中被锤炼和完善的。这种“知其然，更要知其所以然”的教学态度，对于建立起扎实的理论框架至关重要。它不像某些速成读物那样急于求成，而是注重打地基，确保读者对每一个环节的理解都是坚如磐石的。读完某个章节后，我常常会有一种豁然开朗的感觉，仿佛自己不仅仅是学会了一个工具，更是理解了一种看待问题的全新视角，这才是真正有价值的学术收获。

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这本书的后记部分，虽然篇幅不长，却是我个人认为最具启发性的部分之一。它没有简单地对全书内容进行总结，而是像一位引路人那样，为读者指明了未来可以探索的方向。作者以一种非常开放的姿态，探讨了代数拓扑在现代物理学、乃至计算科学中的潜在应用和未解决的难题。这种超越课本本身的视野拓展，对于那些渴望将所学知识应用于前沿研究的学生来说，是至关重要的激励。它让我意识到，我刚刚掌握的这套工具箱，远非终点，而只是进入更广阔数学世界的入场券。读完后，我立刻产生了查阅后续参考文献和进阶读物的冲动，这本书成功地在我心中播下了一颗持续探索的种子，完成了从“学会知识”到“渴望探索”的转化。

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这本书的封面设计，嗯，首先映入眼帘的是那种沉稳的深蓝色调，配上简洁的白色字体，透露出一种学术的严谨感，让人一眼就能感受到它不是那种轻松的读物，而是要深入钻研的类型。我翻开目录，看到里面对基本概念的铺陈，比如流形、同调、上同调这些核心内容的介绍，感觉作者在力求用最直观的方式搭建起读者的认知框架。它不是那种上来就堆砌繁复公式的教科书，而是更像一位经验丰富的导师，带着你一步步走过那些弯弯绕绕的抽象概念。特别是对一些关键定理的阐述，引人入胜，仿佛在讲述一个精妙的数学故事，让人忍不住想立刻拿起笔，跟着推导一遍，去感受那个逻辑链条是如何一步步构建起来的。这种娓娓道来的叙事风格，对于初学者来说，无疑是一剂强心针，它消解了初次接触代数拓扑时那种高不可攀的恐惧感，让人觉得，原来这些深奥的理论也是可以被清晰理解和掌握的。整体阅读体验非常流畅，阅读过程中几乎没有被晦涩的表达卡住的时刻，这在专业的数学著作中是相当难得的。

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这本书的排版布局，我得说，简直是数学教材中的一股清流。不同于那些动辄把公式挤在一块，让人眼花缭乱的版本，这里的每一行文字、每一个数学符号，都像是经过了精心布局的艺术品。比如，当它引入一个复杂的映射或者一个重要的定义时，总会用稍微多一点的留白来突出重点，使得关键信息能够瞬间抓住读者的注意力。我特别喜欢它在证明过程中对辅助信息的处理方式——它不会把所有的中间步骤都塞进主体段落里，而是巧妙地使用脚注或者小节进行补充说明，这样既保证了主线逻辑的清晰连贯，又为那些想深究细节的读者提供了足够的深度挖掘空间。这种设计哲学，无疑是站在读者的角度精心考量的结果。它让我感觉自己不是在啃一块难嚼的硬骨头，而是在跟随一位耐心且细致的向导，在知识的迷宫中高效且舒适地前行。这种对阅读体验的尊重，是衡量一本优秀学术书籍的重要标准之一，而这本书在这方面做得尤为出色。

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还不错的教材，比尤承业那本对初学者更加友好，讲的比较清楚。

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