Noncommutative Algebra (Graduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Benson Farb

出品人:

页数:258

译者:

出版时间:1993-08-20

价格:USD 79.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387940571

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

数学
Noncommutative Algebra
Graduate Texts in Mathematics
Algebra
Mathematics
Abstract Algebra
Ring Theory
Category Theory
Representation Theory
Graduate Level
Textbook

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具体描述

This book is an introduction to the theory of noncommutative algebra. The core of the book is suitable for a one-semester course for graduate students. The approach, which is more homological than ring-theoretic, clarifies the subject and its relation to other important areas of mathematics, including K-theory, homological algebra, and representation theory. The main part of the book begins with a brief review of background material; the first chapter covers the basics of semisimple modules and rings, including the Wedderburn structure theorem; chapter two discusses the Jacobson radical, giving several different views; chapter three develops the theory of central simple algebras, including proofs of the Skolem-Noether and Double Centralizer theorems, with two famous theorems of Wedderburn and Frobenius given as applications; and chapter four is an introduction to the Brauer group and its relation to cohomology. The remaining chapters introduce several special topics: the notion of primitive ring is developed along lines parallel to that of simple rings; the representation theory of finite groups is combined with the Wedderburn Structure Theorem to prove Burnside's Theorem; the global dimension of a ring is studied using Kaplansky's elementary point of view; and the Brauer group of a commutative ring is introduced. Problems throughout the book provide concrete examples, applications and amplifications of the text; a set of supplementary problems explores further topics and can serve as starting points for student projects.

《非交换代数导论：从基础到前沿》书籍简介本书旨在为高等代数、抽象代数或相关领域的研究生和高年级本科生提供一个全面而深入的非交换代数导论。非交换代数作为现代数学，尤其是在表示论、环论、K理论、拓扑学和数学物理等领域的核心工具，其重要性不言而喻。本书的叙述风格力求严谨而清晰，注重概念的内在联系和结构，旨在培养读者扎实的理论基础和解决复杂问题的能力。全书分为四个主要部分，循序渐进地构建起非交换代数的知识体系。第一部分：环与模的基础结构（Foundations of Rings and Modules）本部分首先回顾了交换代数中至关重要的基础概念，然后迅速过渡到非交换环境下的核心结构。第1章：环论基础的扩展我们从广义环（Rings）的定义出发，详细讨论了零因子、素环（Prime Rings）与半素环（Semiprime Rings）的概念。与交换环不同，在非交换环中，左理想与右理想的区分至关重要。本章深入探讨了理想的积、和的性质，并引入了同构定理（Isomorphism Theorems）在非交换设置下的精细表述。特别关注了主理想环（PIDs）和唯一因子分解整环（UFDs）在非交换情境下的推广，例如在某些非交换体（Division Algebras）上的情形。第2章：模论：非交换世界的视角模（Modules）被视为非交换代数研究的自然语言。我们细致分析了左模与右模的区别，以及它们之间的关系。关键概念如子模、商模、模的同态与同构被系统阐述。本章的核心内容包括对自由模（Free Modules）、射影模（Projective Modules）和内射模（Injective Modules）的深入考察。我们引入了同调代数的初步概念，特别是关于分解（Decomposition）——例如直和分解（Direct Sum Decomposition）——在非交换模结构中的重要性，这为后续的表示论打下基础。第3章：特殊类别的环本部分聚焦于具有特定结构性质的环。我们详细分析了Artin 环和Noether 环的性质。对于Noether 环，我们讨论了Hilbert 纲要的推广，以及提升（Lifting）的概念。随后，本章引入了半简单环（Semisimple Rings）——这是非交换代数中最易处理、结构也最明确的一类环。Wedderburn-Artin 定理被作为核心成果给予详尽的证明和应用，揭示了半简单环的结构与其矩阵环之间的深刻联系。 --- 第二部分：表示论的初步构建（Introduction to Representation Theory）表示论是将抽象的代数结构（如群、代数）具体化为线性代数对象（向量空间上的线性变换）的桥梁。第4章：群代数的表示从最基本的群代数 $K[G]$（其中 $G$ 是有限群，$K$ 是一个域）出发，本章系统地介绍了表示的定义、同构、可约性与不可约性。我们运用第一部分建立的模论工具，探讨了群代数的左模结构，并引入了Schur 引理。Schur 引理在不同特征域下的讨论及其对不可约表示的分类至关重要。第5章：表示的结构与维度本章深入到表示的构造性方面。我们探讨了诱导表示（Induced Representations）和限制表示（Restricted Representations）的概念，以及它们之间的关系（如Frobenius 互易性）。对于有限群，我们利用特征标理论（Character Theory）的强大工具，阐述了特征标的性质、正交性关系，并展示了如何利用特征标来判断群的结构和表示的可约性。 --- 第三部分：非交换环论的核心：结构与分解（Core Noncommutative Ring Theory）本部分是本书的理论核心，聚焦于更一般的非交换环的结构理论。第6章：半素环与结构分解在 Wedderburn-Artin 定理的基础上，本章将视野扩展到更广阔的半素环。我们引入了中心和扩张代数的概念。讨论了如何利用局部化技术来研究环的结构，特别是与局部环（Local Rings）相关的理论。本章的重点在于对半简单环的结构进行更精细的剖析，为处理更复杂的代数结构做准备。第7章：非交换域与扩张本章专门讨论了非交换域（Noncommutative Division Algebras）。我们考察了中心域（Center Field）的概念，并深入研究了Skolem-Noether 定理，该定理阐明了在特定条件下，一个代数到另一个代数的同构是由其中心域上的自同构所诱导的。此外，本章还涵盖了有限维代数的理论，包括其根空间和幂零因子的结构。第8章：非交换K理论的门径为了理解非交换环的“维度”和“拓扑”性质，我们引入了代数K理论的基础。我们定义了K0群，它本质上是环上有限生成射影模的群，并将著名的Whitehead 推广概念（针对一般环）引入。这是连接环论与拓扑学的重要桥梁，尽管本书不会深入拓扑学的应用，但会确保读者理解这些代数构造的意义。 --- 第四部分：特定代数结构与现代主题（Specific Algebras and Modern Topics）本书的最后部分将理论应用于几个重要的非交换代数实例，并展望了研究前沿。第9章：关联代数与张量代数我们探讨了张量代数（Tensor Algebras）、对称代数（Symmetric Algebras）和外代数（Exterior Algebras），它们是构造更复杂代数结构的基本工具。重点讨论了关联代数（Associative Algebras）的性质，以及如何通过这些构造来定义李代数和霍普夫代数的背景结构。第10章：C-代数与算子代数简介虽然严格意义上属于泛函分析的范畴，但C-代数（作为完备的、具有特定代数结构的代数）是非交换几何和量子力学的基石。本章作为前沿的引介，介绍了它们的定义、Gelfand 变换的初步概念（虽然主要针对交换情形），以及经典 K-理论与非交换几何之间的联系，特别是Trace 映射在对偶空间中的作用。本书将简洁地介绍这些概念，为读者进一步探索量子群和非交换拓扑打下必要的基础概念。 --- 总结与特色本书的特色在于其结构组织，它从最基础的模论出发，逐步引入半简单结构，再过渡到表示论的实际应用，最终导向更抽象的K理论和特定代数结构。大量的例题和习题被精心设计，旨在巩固读者的计算能力和理论理解。本书假定读者已具备扎实的抽象代数（群论、环论）背景，但对非交换代数的核心概念，本书提供了详尽且自洽的论证，确保读者能够无缝衔接到研究生水平的研究工作中。本书的最终目标是让读者不仅能理解非交换代数的核心定理，更能洞察其在数学其他分支中的广泛应用潜力。