Variational Calculus With Elementary Convexity (Undergraduate Texts in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:John Troutman

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1983-09

价格:USD 47.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387907710

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Calculus of Variations
• Convexity
• Mathematical Analysis
• Optimization
• Undergraduate Mathematics
• Applied Mathematics
• Functional Analysis
• Real Analysis
• Mathematics
• Geometry

好的，以下是一部不同于《Variational Calculus With Elementary Convexity (Undergraduate Texts in Mathematics)》的图书简介。这部新书将专注于一个与变分微积分和初等凸性截然不同的数学领域。 --- 书名：拓扑动力学中的非线性演化：从流形到随机系统 简介 《拓扑动力学中的非线性演化：从流形到随机系统》 旨在为高等数学和理论物理专业的学生及研究人员提供一个全面且深入的现代动力系统理论框架。本书区别于传统的、侧重于经典变分原理和凸分析的方法，而是将焦点置于拓扑结构如何影响非线性演化过程的长期行为，特别是当系统包含不可预测的随机扰动时。 本书的结构分为四个主要部分，循序渐进地构建起一个理解复杂动态系统的理论基石。 第一部分：光滑流形上的确定性动力系统基础 (Foundations of Deterministic Dynamical Systems on Smooth Manifolds) 本部分首先回顾了微分几何中必要的背景知识，包括光滑流形、切空间、向量场和流的构造。然而，与侧重于泛函极值和正则性理论的变分方法不同，我们的目标是理解这些光滑结构如何决定解的几何行为。 我们深入探讨了李导数（Lie derivatives）在描述矢量场演化下的不变性方面的作用，并详细分析了李括号（Lie brackets）在决定流的交换性以及全局积分问题上的关键性。随后，本书将注意力转向了非线性系统的定性分析： 1. 不动点与周期解的稳定性分析： 运用庞加莱映射和李雅普诺夫中心定理，我们分析了在紧凑流形上解的局部行为。重点将放在如何利用拓扑不变量（如指数分离）来区分渐近稳定与不稳定流。 2. 混沌的早期概念： 引入了拓扑熵和敏感依赖性，为后续引入更严格的拓扑动力学概念做铺垫。我们侧重于研究李雅普诺夫指数在非线性动力学中的几何意义，而非欧几里得空间中梯度的行为。 第二部分：拓扑动力学的核心概念与结构 (Core Concepts and Structure of Topological Dynamics) 本部分是全书的理论核心，旨在介绍研究动力系统长期行为的拓扑工具。这与变分微积分中最小化能量泛函的目标形成了鲜明对比；在这里，我们关注的是系统在时间上“能去哪里”以及“稳定地停留在哪里”。 1. 不变集与极限集理论： 详细阐述了庞加莱-贝迪科夫理论。我们区分了 $omega$-极限集、 $alpha$-极限集以及链正常集（chain recurrent sets）。特别地，本书引入了极小集（Minimal Sets）的概念，研究在这些集合上流的拓扑性质，例如最小集是否一定是紧的，以及在黎曼流形上它们如何与测度保持流相关联。 2. 同调与覆盖空间： 利用同调群和基本群来区分拓扑上不可区分的动力系统。我们将证明在某些条件下，同调信息可以揭示周期轨道的存在性或其复次数。对于非紧流形，覆盖空间的引入是理解整体拓扑结构至关重要的，我们将探讨提升的流（lifted flows）及其与基础空间上流的对应关系。 3. 游荡集与游荡（Recurrence）： 深入探讨了游荡理论，特别是庞加莱的返回定理的现代推广。我们关注几乎周期性（Almost Periodicity）的定义及其在非线性演化中的重要性，这与寻找变分问题的全局最小值有着本质的区别。 第三部分：连接几何与拓扑：度量与测度 (Bridging Geometry and Topology: Metrics and Measures) 在建立纯拓扑框架后，本部分将流形上的结构与概率论和测度理论相结合，研究“典型”的动态行为。这部分关注的是在拓扑动力学框架下如何定义和分析自然测度。 1. 度量与不变测度： 讨论了在流形上构造满足特定拓扑性质的黎曼度量的重要性。接着，我们将重点介绍自然物理测度（Physical Invariant Measure）的概念，特别是对于遍历系统。这涉及到引入庞加莱截面的概念，用以简化高维系统的分析。 2. 遍历理论基础： 介绍了庞加莱遍历定理和比尔霍夫（Birkhoff）的平均遍历定理。我们严格区分了遍历系统与单纯的稳定系统，强调遍历性意味着系统在时间平均意义上访问其相空间的所有部分，而非仅仅收敛于一个点或一个环面。 3. 空间熵与信息： 引入了度量熵（Metric Entropy）的概念，并探讨了林登施特劳斯-萨滕斯定理（Lindenstrauss-Sarnak Theorem）的直观意义，即系统的拓扑复杂性与其拥有的不变测度的信息量之间的关系。 第四部分：随机扰动下的非线性演化 (Nonlinear Evolution under Stochastic Perturbations) 这是本书最具现代性的部分，它将随机过程理论引入动力系统，以模拟现实世界中不可避免的噪声和不确定性。 1. 随机微分方程（SDEs）与随机流： 介绍了随机微分方程的构造及其在光滑流形上的解——随机流。重点关注伊藤积分在流形上的推广，并讨论了随机李亚普诺夫指数的定义及其稳定性判据。 2. 随机系统中的不变集： 拓扑动力学方法如何适应随机性？我们研究了随机系统的不变流形（Invariant Manifolds）的随机泛化，即随机吸引子（Random Attractors）的存在性与唯一性。这需要新的工具，例如利用Khasminskii理论来分析系统的渐近行为。 3. 平稳分布与长期行为： 在随机动力学中，研究重点从寻找不变集转移到寻找平稳分布（Stationary Distributions）。我们将探讨如何利用福克-普朗克方程（Fokker-Planck Equation）来计算这种分布的密度函数，并分析随机扰动如何改变确定性系统的拓扑特征（例如，噪声如何使一个原本不稳定的不动点变得稳定）。 目标读者： 理论物理、应用数学、几何分析以及复杂系统研究的研究生和高级本科生。本书假设读者具备扎实的实分析、微分几何基础以及线性代数知识。全书旨在构建一个严谨的理论框架，使读者能够分析并理解复杂非线性系统在几何约束和随机因素下的长期演化规律。本书的叙述风格注重理论的严谨性、几何直觉的培养以及现代研究工具的应用。

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