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出版者:

作者:Larson, Ron

出品人:

页数:1040

译者:

出版时间:2010-5

价格:0

装帧:

isbn号码:9780538735476

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

拓宽思维的边界：微积分导论 本书旨在为读者构建坚实的数学基础，为深入学习高等数学，特别是微积分做好充分准备。我们聚焦于那些在微积分学习中至关重要的核心概念、工具和思维方式，而不直接涉猎微积分本身的具体理论或计算技巧。 第一部分：函数与图像的深度解析 本部分致力于对“函数”这一数学世界的基石概念进行细致入微的剖析和拓宽。我们认为，对函数的理解深度直接决定了未来学习的广度和高度。 第一章：函数的本质与属性重构 本章首先回顾了函数的基本定义、域、值域和符号表示法，但随后将重点转向更抽象和严谨的视角。我们将探讨函数的构造性定义，即如何通过集合论的语言精确描述一个映射关系。随后，我们深入研究函数的同构性和单射性、满射性、双射性的内在联系与几何意义。尤其关注复合函数的结构性分析，不仅仅是计算 $f(g(x))$，而是理解复合如何改变了输入空间到输出空间的映射路径和内在结构。我们将引入函数的逆运算（并非直接计算逆函数）的必要性，探讨它在建立对称性和可逆性中的角色。此外，本章会用大量篇幅讨论周期性、奇偶性的严格证明和实际应用，以及它们如何影响函数图像的对称性和重复模式。 第二章：初等函数系的全面审视 本章旨在超越对基础函数（线性、二次、多项式）的简单记忆，转而探索其行为模式和渐进行为。 1. 多项式函数的高阶分析： 重点讨论根的重数对图像切线和穿插行为的影响。通过多项式插值（如拉格朗日插值法）的原理探讨，理解如何用有限的已知点来精确或近似地重建一个整体函数形态。我们还将涉及有理函数，细致分析垂直渐近线和斜渐近线的代数推导过程，以及当 $x$ 趋于无穷大时，函数值的收敛趋势。 2. 指数与对数函数的内在联系： 强调 $e$ 的定义（不直接使用导数定义，而是基于极限的生成过程）在自然增长和衰减现象中的不可替代性。对数函数被视为指数函数的反演操作，我们着重探讨其变换性质如何反映在坐标系的尺度变化上，例如半对数坐标纸的应用背景。 3. 三角函数的几何起源与代数扩张： 本章不满足于单位圆上的定义，而是将三角函数置于周期运动和波动现象的背景下进行理解。我们将严格推导和证明和差化积公式的几何推导过程，并探讨如何利用三角恒等式对复杂的三角表达式进行“化简”——这种化简的目的是为了揭示隐藏的结构而非单纯的运算便利。对周期性的深入理解，为后续学习傅里叶分析的思想萌芽做准备。 第三章：图像变换与函数组合的几何学 本章将函数视为几何对象，探究代数操作如何转化为对图像的几何操作。我们将系统性地分析水平平移、垂直拉伸、反射等变换的代数表达式，并强调这些变换的作用顺序对最终结果的决定性影响。例如，先进行垂直拉伸再进行垂直平移与顺序颠倒之间的差异。我们还会讨论图像的反射（关于 $x$ 轴、 $y$ 轴及原点），并将其与函数本身的奇偶性联系起来。本章的难点在于对参数影响的直觉培养，即如何通过观察参数的变化，预判图像的动态演化。 第二部分：代数结构的深化与数列的极限思维 本部分着重于培养读者对无限过程的初步感知，这是通往微积分的桥梁。我们关注数列和级数，并侧重于其收敛性的概念。 第四章：数列的严谨定义与收敛性探索 本章引入数列 $left{a_n ight}$ 的概念，并将其视为一个将自然数 $n$ 映射到实数 $a_n$ 的特殊函数。我们将区分有界性与收敛性。重点分析“极限”这一概念的非形式化直觉：数列如何“趋近”某个值。我们将通过构造性的例子，展示一些发散的数列（如振荡或无限增长），并讨论单调收敛定理（不要求严格证明，但需理解其重要性），即一个有界且单调的数列必然收敛。本章的挑战在于，训练读者区分 $a_n$ 的具体值与 $a_n$ 的极限值之间的本质区别。 第五章：级数初步与无限求和的挑战 本章将数列的概念扩展到级数 $sum a_n$，即无限项的和。我们探讨部分和的概念，并定义级数的收敛性完全依赖于其部分和数列的收敛性。 1. 几何级数： 作为最基本的收敛级数模型，我们将详细分析其收敛的临界条件 $|r| < 1$，并探讨当 $|r| ge 1$ 时，级数发散的数学意义。 2. 级数的必要条件与充分性探索： 我们将学习级数收敛的一个必要条件（如果级数收敛，则其通项必须趋于零），并着重分析为什么这个条件不是充分的。通过调和级数（$1 + 1/2 + 1/3 + dots$）的例子，读者将直观感受到“无限小的项加起来可能得到无限大”的悖论性。 3. 绝对收敛与条件收敛的区分： 引入交错级数和绝对值级数的概念，探讨改变求和顺序对总和产生的影响，这为理解数学结构中的“顺序敏感性”埋下伏笔。 第三部分：解析几何与空间想象力 本部分旨在巩固读者在笛卡尔坐标系中的操作能力，并为多变量微积分中的坐标变换做好铺垫。 第六章：二次曲线的统一描述 本章深入研究圆锥曲线（椭圆、抛物线、双曲线）的几何定义，即基于焦距与准线的距离比（离心率 $e$）的定义。我们将推导出这些曲线的标准方程，并详细分析它们各自的几何特性，例如椭圆的长短轴、双曲线的渐近线等。本章的关键在于旋转坐标系的思想引入：如何通过简单的代数变换（如 $x'y'$ 坐标系下的旋转），将一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 转化为标准形式，从而揭示其内在的几何本质。这种“去耦”的过程是高等数学中处理复杂方程的通用策略。 第七章：向量代数基础（二维） 本章将代数与几何再次结合，引入二维向量的概念，将其视为具有大小和方向的量。我们侧重于向量的加减法和标量乘法的几何解释。更重要的是，我们将详细讨论向量的点积（内积），分析其代数计算 $(x_1x_2 + y_1y_2)$ 如何对应于几何上的投影和夹角的余弦。我们将利用点积来定义和计算夹角，并探讨向量在解决几何问题（如求三角形的高、判断垂直性）中的代数优势。 --- 通过对这些基础概念的扎实训练，读者将建立起对函数动态变化的敏感性，对无限过程的敬畏感，以及在几何与代数之间自由切换的解析能力，从而为迎接微积分中对“变化率”和“累积量”的正式挑战，构建起坚不可摧的认知框架。

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