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出版者:

作者:Waner, Stefan

出品人:

页数:752

译者:

出版时间:2010-1

价格:0

装帧:

isbn号码:9781439049921

丛书系列:

图书标签:

• Calculus
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《应用数学基础：线性代数与概率论》 作者： 杜兰德·麦克唐纳德 出版社： 普林斯顿大学出版社 出版年份： 2023年 页数： 850页 --- 内容概要： 《应用数学基础：线性代数与概率论》是一本为工程、计算机科学、经济学以及自然科学领域的高年级本科生和研究生精心设计的教材。本书旨在构建一个坚实的数学框架，使读者能够熟练运用现代科学和技术领域中最为核心的两种工具：线性代数和概率论。本书的独特之处在于其对理论严谨性与实际应用之间平衡的极致追求，避免了纯理论书籍的晦涩难懂，也超越了一般应用导向书籍的肤浅叙述。 全书共分为两个主要部分，共计二十章，辅以大量的案例研究和动手练习。 --- 第一部分：现代线性代数（第1章至第10章） 本部分深度剖析了线性代数的概念、结构和强大的计算能力，重点关注其在数据分析、优化和系统建模中的应用。 第1章：向量空间的回顾与深化 本章从集合论的角度重新审视向量空间的定义，并引入更抽象的概念，如内积空间、范数和拓扑结构的基础。重点讨论了无限维空间（如函数空间）的概念，为后续的傅里叶分析和偏微分方程的求解打下基础。特别关注了希尔伯特空间的完备性及其在信号处理中的重要性。 第2章：线性变换与矩阵表示 超越标准的矩阵乘法定义，本章深入探讨了线性变换的几何意义——旋转、投影、拉伸和剪切。引入了双对偶空间的概念，并讨论了不同基下的矩阵表示如何相互联系（相似变换）。 第3章：行列式与体积 本章对行列式的定义进行了更具几何意义的阐述，将其视为线性变换对体积或面积的缩放因子。推导了雅可比行列式在多变量微积分中的作用，并详细介绍了行列式在计算组合优化问题中的应用。 第4章：特征值问题与动力学 这是应用数学的核心章节之一。详细讲解了特征值、特征向量的计算方法，包括QR算法的收敛性分析。重点分析了常微分方程组的解的稳定性，特别是对于非线性系统的线性化处理。 第5章：谱定理与对称矩阵 谱定理被视为线性代数中最美丽的成果之一。本章详细阐述了对称矩阵的对角化，并引入了二次型和正定矩阵的概念。在几何上，这与椭圆和双曲面的主轴方向确定紧密相关。 第6章：奇异值分解（SVD）的威力 SVD被提升到与特征值分解同等重要的地位。本章详细推导了SVD的构造，并探讨了其在矩阵秩的确定、伪逆（Moore-Penrose Inverse）的计算以及低秩近似（如主成分分析PCA的数学基础）中的关键作用。 第7章：矩阵范数与计算稳定性 本章关注数值分析的视角。讨论了各种矩阵范数（Frobenius, $L_1, L_infty, 2$-范数）的性质，并分析了条件数对线性方程组求解稳定性的影响。引入了矩阵扰动理论的基础知识。 第8章：线性最小二乘问题 本章专门处理超定系统，推导出最小二乘解的几何解释（投影原理）。详细比较了正规方程法、QR分解法和SVD法在求解大型稀疏系统中的优劣。 第9章：张量代数基础 为更深入的物理学和数据科学应用做准备，本章介绍了张量的定义、索引约定（爱因斯坦求和约定），以及协变和逆变张量的概念。这为理解广义相对论和高维数据结构提供了必要的代数工具。 第10章：迭代法与大型稀疏系统 对于无法完全对角化的巨大矩阵，迭代法至关重要。本章涵盖了雅可比法、高斯-赛德尔法，并重点介绍了更现代的Krylov子空间方法，如共轭梯度法（CG）和GMRES算法的收敛性分析。 --- 第二部分：概率论与随机过程（第11章至第20章） 本部分旨在系统地介绍随机现象的数学描述方法，从概率的公理化定义到随机过程的建模，强调其在不确定性量化中的核心地位。 第11章：概率论的公理基础与集合论 从 $sigma$-代数和测度的严格定义出发，建立了概率论的测度论基础。详细分析了条件概率的测度论解释（Radon-Nikodym导数）。 第12章：随机变量与分布函数 区分了离散、连续和混合随机变量。深入探讨了矩（期望、方差）的存在性，并详细介绍了矩母函数和特征函数作为分布识别工具的强大功能。 第13章：多维随机变量与联合分布 本章专注于随机向量的分析，重点讨论了联合概率密度函数的性质，特别是边缘分布和条件分布的计算。引入了多元正态分布的协方差矩阵结构及其在协方差分析中的应用。 第14章：极限定理与大数定律 这是概率论的理论支柱。详细证明了切比雪夫不等式、中心极限定理（CLT）的Lindeberg-Feller形式，以及强大数定律（SLLN）。这些定理为统计推断的有效性提供了数学保证。 第15章：随机过程导论：马尔可夫链 引入随机过程的概念，侧重于离散时间马尔可夫链（DTMC）。详细分析了转移概率矩阵、不可约性、正常返性和遍历定理，并讨论了平稳分布的计算与应用（如MCMC方法的基础）。 第16章：连续时间随机过程：泊松过程 详细分析了泊松过程的性质、间隔时间的指数分布。将其推广到复合泊松过程，并探讨了其在金融建模（事件到达）中的初步应用。 第17章：布朗运动与随机微积分 对连续时间随机过程的经典模型——维纳过程（标准布朗运动）进行严格定义。引入伊藤积分的概念，作为对黎曼积分在随机环境下的推广。 第18章：随机微分方程（SDEs） 本章将随机分析应用于微分方程。详细推导了伊藤引理，这是随机微积分的核心工具。然后，使用SDEs来建模金融资产价格（如几何布朗运动）和物理系统中的随机扰动。 第19章：统计推断的数学框架 本章连接概率论与统计学。讨论了充分统计量、完备性，并推导了费希尔信息矩阵。引入了最大似然估计（MLE）的渐近性质证明（一致性、渐近正态性）。 第20章：贝叶斯方法与应用 从后验分布的角度重新审视统计推断。详细讲解了共轭先验的选择，以及贝叶斯推断在模型选择和不确定性量化中的实践。 --- 教学特色： 本书的编写严格遵循“概念先行，应用驱动”的原则。每个理论章节都穿插了三个关键要素： 1. 几何/物理直觉构建： 强调数学对象背后的可视化意义。 2. 算法实现探讨： 讨论如何在实际计算中有效执行这些数学操作。 3. 案例分析（Case Studies）： 涵盖了数据压缩（SVD）、图像处理（傅里叶变换的基础）、排队论（泊松过程）、风险建模（极限定理）和机器学习中的优化问题（最小二乘）。 本书不仅是知识的传授者，更是培养读者严谨思维和问题解决能力的训练场。它假定读者已经具备微积分和初步的离散数学知识，但所需的所有线性代数和概率论的先决条件知识点均被充分覆盖和深化。

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