Elements of Modern Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Gilbert, Linda

出品人:

页数:456

译者:

出版时间:2008-11

价格:0

装帧:

isbn号码:9780495561385

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• 数学
• 代数
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现代代数要素：深入探索结构与逻辑的基石 本书名称：《现代代数要素》（Elements of Modern Algebra） 引言： 在数学的宏伟殿堂中，代数无疑是最为核心和基础的支柱之一。它不仅仅是关于解方程的技巧，更是对结构、关系和抽象逻辑的深刻洞察。本书《现代代数要素》旨在为读者提供一个坚实、严谨且富有启发性的框架，用以理解和掌握现代代数的核心概念、基本结构及其在数学其他领域中的应用。我们致力于构建一座清晰的桥梁，连接初等代数的具体运算与高等抽象理论的深邃世界。 第一部分：群论的基石——对称性与抽象结构 现代代数的核心是从具体的运算和对象中提炼出普适的结构。群论正是这一抽象化的典范。 第一章：基础概念与代数结构 本章将首先回顾集合论的基础知识，这是构建所有代数结构的前提。随后，我们将引入“代数系统”的概念，并聚焦于“运算”的定义，特别是二元运算的封闭性、结合律和单位元、逆元的存在性。 第二章：群的定义与基本性质 群（Group）的严格定义将是本章的重点。我们将深入探讨四个核心公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）的内在含义。通过大量的实例分析，我们将从熟悉的对象中提炼出群的结构：从整数的加法群 $mathbb{Z}$，到非零有理数在乘法下的群 $mathbb{Q}^$，再到几何中的旋转群 $C_n$。本章还将建立群论中的基本引理，例如单位元和逆元的唯一性，以及左消去律和右消去律的证明。 第三章：子群与陪集 子群（Subgroup）是群内部结构的关键组成部分。我们将学习如何检验一个子集是否构成原群的子群，并介绍中心（Center）和换位子（Commutator）子群等重要概念。 陪集（Coset）的概念引入是通往商群的关键步骤。我们将详细剖析左陪集与右陪集的构造，证明它们构成原群的一个划分，并详细讨论拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）——这是一个关于有限群阶与子群阶之间关系的普适性定理。通过拉格朗日定理，我们将推导出子群的指数、群的元素的阶以及其可能的值的限制。 第四章：正规子群与商群 正规子群（Normal Subgroup）是使“除法”操作得以进行的桥梁。我们将严格定义正规性条件，即 $gH = Hg$ 对于所有 $g in G$，并证明在阿贝尔群中，所有子群都是正规的，同时提供非阿贝尔群中非正规子群的反例。 基于正规子群，我们构造商群（Quotient Group）或因子群。本章将详细解释商群的元素（即陪集）如何继承群的乘法运算，并证明其运算的良定义性。商群是理解如何通过“压缩”结构来获取更简单、更基本结构的重要工具。 第五章：群同态与同构 从一个群到另一个群的映射——同态（Homomorphism），是研究群之间关系的语言。我们将定义同态和同构（Isomorphism），并证明同构是等价关系的性质。核（Kernel）和像（Image）是同态理论的核心，它们与正规子群和商群之间存在着深刻的联系。 本章的重中之重是第一同构定理（The First Isomorphism Theorem），它精确地描述了 $G/ker(phi) cong ext{Im}(phi)$ 这一深刻的代数等价关系，这是结构分解的基石。此外，还将介绍其他同构定理（第二、第三同构定理），为后续的结构分类打下基础。 第六章：群的应用与特殊结构 本章将拓宽群论的应用范围。我们将深入研究有限阿贝尔群的结构定理，探讨循环群、二面体群 $D_n$（处理几何对称性）和四元数群 $Q_8$（处理非交换性）的内部构造。对于无限群，我们将介绍自由群（Free Group）的初步概念，作为构造性群论的开端。 第二部分：环论——运算的拓展与数系的基础 在群论中我们关注一个运算，而环论则引入了第二个运算，旨在更紧密地模拟我们熟悉的数系结构。 第七章：环的定义与基本性质 本章将定义环（Ring）——一个具有满足分配律的加法交换群和满足结合律的乘法运算的代数结构。我们将区分交换环与非交换环、单位环与非单位环。大量的例子将贯穿本章，包括整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $R[x]$ 以及矩阵环 $M_n(R)$。 第八章：子环与理想 子环（Subring）的概念类似于子群。更重要的是，我们将引入理想（Ideal）的概念，它对应于群论中的正规子群，是环中“除法”操作的关键。我们将区分左理想、右理想和双边理想。 第九章：商环与环同态 如同商群，我们可以基于理想构造商环（Quotient Ring）。环同态的定义自然延伸自群同态，其核（Kernel）必然是一个双边理想。第一同构定理在环论中得到了完美的重述，强调了理想在分解环结构中的核心作用。 第十章：整环、域与零因子 本章致力于分类具有特定乘法性质的环。零因子（Zero Divisor）的概念将我们引向整环（Integral Domain）——一个没有非零零因子的交换单位环。在此基础上，我们将定义域（Field），即所有非零元素在乘法下都有逆元的交换环。域是算术发生的地方，因此本章将详述域的性质，并证明有限整环必为域。 第十一章：主理想域与欧几里得整环 为了深入理解数论中的基本概念，我们将研究满足特定条件的整环。欧几里得整环（Euclidean Domain）是最强的形式，它允许我们执行欧几里得算法（如最大公约数的计算）。我们将证明所有欧几里得整环都是主理想域（Principal Ideal Domain, PID），即每个理想都可以由单个元素生成。 第十二章：多项式环 多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是一个域）是代数中研究最深、应用最广的结构之一。本章将证明，如果 $F$ 是一个域，那么 $F[x]$ 也是一个欧几里得整环。我们将利用除法算法来研究多项式的因子分解、最大公约式，并最终证明任何非零的非零多项式在一个代数闭域上都可以完全分解。 第三部分：域论——扩展与构造 域论研究如何从一个基础域出发，构造出更广阔的域，这在求解方程和构造几何结构中至关重要。 第十三章：域的扩张 域扩张（Field Extension）定义了从一个域 $F$ 扩大到另一个包含 $F$ 的域 $E$ 的过程。我们将使用向量空间的概念来衡量扩张的“大小”，即使用扩张次数 $[E:F]$。 第十四章：代数元与超越元 元素在扩张域中是否满足某个多项式是域论中的核心问题。我们区分代数元（Algebraic Element）和超越元（Transcendental Element）。对于代数元，我们引入最小多项式（Minimal Polynomial）的概念，并证明其唯一性和不可约性。 第十五章：有限域 有限域（Finite Field），或称伽罗瓦域，是结构最为精巧的代数对象之一。本章将证明，对于任意素数 $p$ 和正整数 $n$，都存在一个唯一的、阶为 $p^n$ 的有限域 $ ext{GF}(p^n)$。我们将探讨这些域的乘法群的循环性，这在编码理论和密码学中具有直接的应用。 结论与展望： 《现代代数要素》通过严谨的定义和清晰的逻辑，带领读者穿越了群、环和域这三大核心结构。我们不仅展示了这些理论的内在一致性，更揭示了它们如何作为解决数学难题的强大工具。掌握这些要素，不仅意味着掌握了抽象的数学语言，更意味着获得了理解对称性、数系内在联系以及代数方程解的根本规律的能力。本书为有志于进一步探索伽罗瓦理论、代数几何或拓扑学等领域的读者奠定了不可或缺的理论基础。

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