Numerical Methods for the Solution of Ill-Posed Problems (Mathematics and Its Applications) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:A.N. Tikhonov

出品人:

页数:262

译者:

出版时间:1995-06-30

价格:USD 129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780792335832

丛书系列:

图书标签:

Numerical Methods
Ill-Posed Problems
Regularization
Inverse Problems
Functional Analysis
Approximation Theory
Mathematics
Applied Mathematics
Scientific Computing
Numerical Analysis

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具体描述

Many problems in science, technology and engineering are posed in the form of operator equations of the first kind, with the operator and RHS approximately known. But such problems often turn out to be ill-posed, having no solution, or a non-unique solution, and/or an unstable solution. Non-existence and non-uniqueness can usually be overcome by settling for 'generalised' solutions, leading to the need to develop regularising algorithms. The theory of ill-posed problems has advanced greatly since A. N. Tikhonov laid its foundations, the Russian original of this book (1990) rapidly becoming a classical monograph on the topic. The present edition has been completely updated to consider linear ill-posed problems with or without a priori constraints (non-negativity, monotonicity, convexity, etc.). Besides the theoretical material, the book also contains a FORTRAN program library. Audience: Postgraduate students of physics, mathematics, chemistry, economics, engineering. Engineers and scientists interested in data processing and the theory of ill-posed problems.

《数值分析导论：线性代数与优化基础》内容简介本书旨在为高等院校理工科专业学生和相关领域研究人员提供一套全面而深入的数值分析基础知识体系，重点聚焦于线性代数在数值计算中的核心地位以及优化理论在解决实际问题中的应用。全书结构严谨，内容详实，既注重理论的严密性，又紧密结合实际工程应用中的挑战，力求在传统数值方法教学的基础上，融入现代计算思维和前沿进展。本书共分为六大部分，涵盖了数值分析学的核心内容。第一部分：数值计算基础与误差分析本部分作为全书的基石，首先对数值分析的学科范畴、在科学计算中的重要性进行了概述。随后，深入探讨了浮点数表示、机器精度以及各种误差来源（如截断误差和舍入误差）的量化分析方法。我们详细阐述了局部误差和全局误差的传播规律，并介绍了稳定性和病态性（Conditioning）的概念，强调了在设计数值算法时必须充分考虑计算的可靠性。本部分特别引入了区间算术（Interval Arithmetic）的概念，为后续处理不确定性问题奠定了数学工具。第二部分：线性方程组的数值解法线性方程组是科学计算中最常见也最核心的问题之一。本部分系统地介绍了求解大型稀疏和稠密线性系统的各种方法。首先，对直接法进行了详尽的讨论，包括高斯消元法、LU分解、Cholesky分解以及带状矩阵的特殊求解技术。我们不仅分析了这些方法的计算复杂度和稳定性，还探讨了如何通过分块策略优化内存访问。其次，重点阐述了迭代法，这是求解大规模问题的关键。详细介绍了雅可比法（Jacobi）、高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel）以及前松弛法（SOR）的收敛性分析，并引入了现代预处理技术（Preconditioning）。在此基础上，对Krylov子空间方法进行了深入的剖析，包括共轭梯度法（CG）、广义最小残量法（GMRES）和双共轭梯度法（BiCGSTAB）的推导、算法实现细节以及在电磁场和结构力学等领域的应用案例。第三部分：特征值问题的数值解法本部分专注于求解矩阵的特征值和特征向量。我们从矩阵的相似变换理论出发，详细介绍了幂法（Power Iteration）及其变体，用于寻找最大或最小特征值。随后，转向更稳定和通用的方法，如QR算法的原理、迭代过程及其与Householder变换和Givens旋转的结合应用。对于对称矩阵，则重点介绍了Lanczos算法的效率和优势。本部分还讨论了如何计算选定的特征值对，以及在实际应用中（如模态分析）如何处理特征值聚类的问题。第四部分：非线性方程与系统本部分探讨了求解单变量非线性方程 $f(x)=0$ 和多变量非线性方程组 $mathbf{F}(mathbf{x})=mathbf{0}$ 的数值技术。对于单变量方程，牛顿法及其欠牛顿变体（如割线法、拟牛顿法）的局部收敛性和超线性收敛性被详细推导。对于多变量系统，我们详细分析了多维牛顿法的计算步骤、线搜索（Line Search）技术以及信赖域方法（Trust-Region Methods），强调了步长选择和可行域控制在保证全局收敛中的关键作用。本部分还简要介绍了迭代法在求解稀疏非线性系统中的策略。第五部分：函数逼近与插值本部分涵盖了如何用简单函数来近似复杂函数。内容包括多项式插值（拉格朗日插值、牛顿插值），重点分析了Runge现象及其在等距节点上的局限性。为克服此问题，我们系统地介绍了分段插值技术，特别是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation）的构造和边界条件的设定。此外，还引入了最小二乘法在数据拟合中的应用，区分了插值与逼近的本质区别。第六部分：数值优化基础数值优化是解决约束和无约束最小化问题的核心。本部分首先阐述了无约束优化问题中梯度和Hessian矩阵的计算方法。对于无约束优化，我们详细讲解了最速下降法、牛顿法及其在大型问题中的可行性。重点介绍了拟牛顿法（BFGS, DFP）的构建思路和有限差分近似技术。随后，内容转向约束优化。我们详细介绍了拉格朗日乘子法，并深入探讨了KKT（Karush-Kuhn-Tucker）最优性条件。对于等式约束问题，介绍了解空间法和乘子法；对于不等式约束问题，我们引入了可行方向法和序列二次规划（SQP）的框架，展示了如何将约束优化问题转化为一系列易于求解的子问题。适用对象本书适合作为高等院校数学、力学、物理学、信息科学、计算机科学、电子工程和土木工程等专业本科生高年级或研究生的教材或参考书。通过本书的学习，读者将能够掌握现代数值计算的核心理论和算法，并具备独立分析和解决实际工程中遇到的数值问题的能力。本书的编写风格旨在鼓励读者深入理解算法背后的数学原理，而不仅仅停留在公式的套用。