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出版者:Springer

作者:Bucker, M.; Bcker, H. Martin; Corliss, George

出品人:

页数:386

译者:

出版时间:2006-01-23

价格:USD 129.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783540284031

丛书系列:

图书标签:

• Computation
• 自动微分
• 机器学习
• 深度学习
• 数值计算
• 优化算法
• 科学计算
• Python
• 数学
• 梯度
• 反向传播

现代数值计算与优化方法：从理论基础到前沿应用 本书聚焦于当代科学与工程领域中不可或缺的数值计算和优化技术，深入探讨了从经典算法到尖端机器学习模型求解所需的核心数学原理、高效实现策略以及实际应用案例。它旨在为数学、计算机科学、物理学、工程学以及金融定量分析等领域的学生、研究人员和专业工程师提供一套全面而深入的指导。 第一部分：数值分析的基石 本书的开篇部分奠定了进行精确数值计算的理论基础，强调了误差分析在保证计算可靠性中的核心地位。 第一章：浮点运算与误差理论 详细阐述了计算机如何表示实数，即IEEE 754标准下的浮点数系统。内容涵盖了舍入误差、截断误差以及它们在复杂迭代过程中的累积效应。重点分析了病态问题（Ill-conditioned problems）的识别与处理，通过具体的数值例子展示了如何通过选择恰当的算法和数据结构来最小化误差传播。 第二章：线性系统的求解 线性代数是现代科学计算的骨架。本章系统地介绍了求解大规模线性方程组 $Ax=b$ 的各种方法。 直接法： 深入剖析了高斯消元法、LU分解、Cholesky分解（针对对称正定系统）的稳定性和计算复杂度。 迭代法： 详细讲解了雅可比（Jacobi）、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）以及更高效的Krylov子空间方法，如共轭梯度法（CG）和广义最小残量法（GMRES），并探讨了预处理技术（Preconditioning）如何显著加速收敛速度。 第三章：特征值问题的数值方法 特征值和特征向量在结构分析、量子力学和数据降维中扮演关键角色。本章涵盖了计算特征值的标准方法： 幂迭代法与反幂迭代法： 用于寻找最大或最小特征值。 QR算法： 作为计算所有特征值的核心方法，详细解释了QR分解的迭代过程及其收敛性保证。 雅可比平面旋转法： 针对小规模稠密矩阵的精确求解。 第二部分：连续函数的逼近与优化 本部分将视角转向处理连续函数，包括插值、数值积分和非线性优化问题。 第四章：插值与函数逼近 为了在有限的数据点上重构或近似复杂函数，插值技术至关重要。 多项式插值： 探讨了拉格朗日插值、牛顿差分公式，并深入分析了龙格现象（Runge's phenomenon）及其对高次插值稳定性的挑战。 分段插值： 详细介绍了样条插值（Spline Interpolation），特别是三次样条（Cubic Splines）在保证局部平滑性方面的优势。 最佳逼近： 引入了最小二乘拟合（Least Squares Fitting）的概念，用于处理过约束或欠约束系统中的数据拟合问题。 第五章：数值积分 本章关注于如何精确估计定积分 $int_a^b f(x) dx$。 牛顿-科茨公式： 覆盖了梯形法则、辛普森法则及其复合形式。 高斯求积法： 解释了如何在特定节点上达到极高的精度，以及如何通过选择适当的高斯点（如勒让德节点）来优化积分效果。 高维积分： 简要介绍了蒙特卡洛方法（Monte Carlo Integration）在处理高维或积分区域复杂的积分问题中的应用。 第六章：非线性方程求解 求解 $f(x)=0$ 是许多工程问题（如平衡态计算）的核心。 单变量方程： 详述了牛顿法（Newton's Method）的迭代原理、二次收敛性，以及如何通过割线法（Secant Method）或Broyden法（针对多元）来避免导数的计算。 多变量非线性系统： 重点介绍了多维牛顿法及其在局部收敛时的应用，并讨论了Levenberg-Marquardt算法，该算法巧妙地结合了梯度下降的鲁棒性和牛顿法的快速收敛性。 第三部分：大规模优化理论与算法 优化是工程设计和决策制定的核心驱动力。本部分专注于无约束和约束优化问题。 第七章：无约束优化方法 本章系统地讲解了寻找目标函数 $f(mathbf{x})$ 最小值的迭代策略。 一维搜索方法： 介绍了进退法（Bracketing）和黄金分割法（Golden Section Search）等确保局部搜索效率的方法。 梯度信息的使用： 深入分析了最速下降法（Steepest Descent），并着重介绍了拟牛顿法（Quasi-Newton Methods），尤其是BFGS算法，它通过近似Hessian矩阵的逆来提高效率，同时避免了精确计算Hessian的昂贵代价。 信任域方法（Trust-Region Methods）： 解释了如何通过定义一个局部信任区域来提高优化过程的可靠性和全局收敛性。 第八章：约束优化与KKT条件 当变量受到限制时，优化问题变得更具挑战性。 拉格朗日乘子法： 详细推导了处理等式约束问题的拉格朗日函数。 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件： 作为不等式约束优化的必要最优性条件，KKT条件被详尽阐述，包括互补松弛性、原/对偶可行性等。 序列二次规划（SQP）： 介绍了一种强大的方法，通过在每一步迭代中求解一个二次规划子问题来逼近非线性约束问题的解。 第九章：内点法与可行域追踪 内点法（Interior-Point Methods, IPMs）是求解大规模凸优化和线性规划问题的现代主流方法。 障碍函数： 解释了如何利用障碍函数将等式约束和不等式约束问题转化为一系列更容易求解的无约束问题。 Primal-Dual IPMs： 深入探讨了利用KKT条件和牛顿迭代法沿着中心路径（Central Path）收敛的算法框架，展示了其在线性规划和二次规划中的高效应用。 第四部分：离散系统与偏微分方程的数值解法 本部分将焦点转向处理随时间或空间变化的连续物理系统，即偏微分方程（PDEs）。 第十章：常微分方程（ODEs）的数值积分 处理动力学系统和初值问题。 单步法： 重点介绍Runge-Kutta（RK）方法族，包括经典的四阶RK4以及高精度ERK方法。 多步法： 探讨了Adams-Bashforth和Adams-Moulton公式，并分析了它们在全局误差控制方面的特点。 稳定性分析： 深入讨论了BDF（Backward Differentiation Formulas）等刚性方程（Stiff Equations）求解方法的必要性，以及A-稳定性概念。 第十一章：偏微分方程的有限差分法（FDM） FDM是将PDE离散化为代数方程组的基础方法。 基本概念： 导数的有限差分近似（前向、后向、中心差分）及其截断误差分析。 抛物型方程（如热传导）： 详细分析了显式（Forward Euler）和隐式（Backward Euler）方案，并对比了它们在稳定性和计算成本上的权衡。 椭圆型方程（如泊松方程）： 讨论了使用松弛方法（如Jacobi, SOR）来求解离散化后的线性系统。 第十二章：有限元方法（FEM）导论 FEM是处理复杂几何结构和边界条件的强大工具。 变分原理与弱形式： 从物理原理出发，推导出PDE的弱形式（Variational Formulation）。 形函数与离散化： 讲解如何选择基函数（Shape Functions）来构建近似解，并构建全局刚度矩阵。 装配与求解： 描述了如何高效地在全局系统中装配局部单元贡献，并求解最终的稀疏线性系统。 本书的结构设计旨在实现理论的严谨性与工程实践的紧密结合。每一章都辅以大量的算例和伪代码，帮助读者将抽象的数学概念转化为可执行的计算程序。通过对这些核心数值方法的深入理解和掌握，读者将能够高效、准确地解决从物理模拟到数据驱动模型的各类复杂量化问题。

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阅读这本书的过程，仿佛是一次思维的拓展训练。它不仅仅是知识的灌输，更是一种解决问题的思维方式的培养。作者通过一系列精心设计的例子，展示了如何利用自动微分来解决那些传统方法难以应对的挑战。我曾经在某个项目中，因为需要计算高维函数的梯度而陷入困境，而这本书为我提供了突破性的思路。书中对于计算图的构建、前向模式和反向模式的讲解，让我能够清晰地理解数据流和梯度流的计算过程。更重要的是，它让我意识到，自动微分不仅仅是一种计算技术，更是一种强大的建模和优化工具。

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这本书的出版，无疑为自动微分领域的研究和应用注入了一股新的活力。它不仅适合那些初次接触自动微分的研究者和工程师，也对已经有一定基础的从业者具有极高的参考价值。我特别赞赏书中对不同自动微分库的介绍和比较，这为我选择和使用这些工具提供了宝贵的指导。书中对于一些前沿课题的探讨，例如在分布式计算环境下的自动微分，更是让我对未来的发展充满了期待。它不仅仅是一本教材，更是一扇通往更广阔计算世界的窗户。

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初次翻阅这本书，我便被其开阔的视野和精炼的语言所吸引。它不是一本枯燥的技术手册，而更像是一场思想的盛宴。作者以一种极具启发性的方式，将自动微分这一看似高深的技术，与我们日常生活中遇到的各种计算问题巧妙地联系起来。它帮助我理解了，为什么在如此多的领域，从物理仿真到金融建模，再到人工智能，自动微分都扮演着如此核心的角色。书中对于不同自动微分策略的比较和分析，让我对它们的优劣有了更深刻的认识，并且能够根据具体问题选择最合适的工具。我尤其欣赏书中对于算法复杂度和效率的讨论，这对于在实际工程中应用自动微分至关重要。

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对于任何对现代计算科学感兴趣的人来说，这本书都绝对是必读之选。它以一种引人入胜的方式，揭示了自动微分这一强大的工具。我喜欢书中对于不同算法的分析，包括它们的效率、内存占用以及在不同硬件平台上的表现。这让我能够更加全面地理解自动微分的优势和局限性。更重要的是，本书让我意识到了自动微分在推动科学研究和技术创新中的重要作用。它不仅仅是用于深度学习，更是在物理学、工程学、经济学等众多领域发挥着关键作用。

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这本书的价值，在于它能够帮助读者建立起一种“计算思维”。它不仅仅是学习一种技术，更是在培养一种解决问题的能力。自动微分的核心在于将复杂的计算过程分解成一系列可微的原子操作，然后通过链式法则高效地计算出整体的梯度。书中对于这种分解和组合过程的讲解，让我受益匪浅。我尤其欣赏书中对计算图的灵活运用，这使得我们可以清晰地表示复杂的计算流程，并从中提取有用的信息。这本书让我看到了，如何将数学理论转化为实际可用的计算工具，从而解决现实世界中的挑战。

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这本书就像一位经验丰富的向导，带领我深入自动微分的腹地。它不仅讲解了“是什么”，更深入地剖析了“为什么”和“怎么做”。我曾经在尝试理解某些深度学习框架的梯度计算机制时感到困惑，而这本书则为我一一解开了疑惑。书中对于前向模式和反向模式的详细对比，以及它们在不同场景下的适用性分析，让我对如何高效地计算梯度有了更清晰的认识。此外，书中对计算图的抽象和操作的描述，也帮助我理解了自动微分在不同编程语言和框架中的实现原理。

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坦白说，我一直觉得自动微分是一个相当抽象的概念，直到我读了这本书。作者以一种非常直观且系统的方式，将这个概念呈现在我面前。从最基本的链式法则，到复杂的张量运算，书中都进行了详尽的阐释。我喜欢书中对于每一种算法的讲解都配有清晰的伪代码和详细的解释，这使得我能够轻松地理解其内在逻辑。而且，本书并没有局限于理论层面，它还深入探讨了自动微分在实际工程中的应用，包括如何处理大规模数据、如何进行模型并行和数据并行等问题，这对于我这样的从业者来说，非常有借鉴意义。

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一本厚重却引人入胜的著作，它如同一个深邃的宇宙，里面蕴藏着揭示现代科学计算奥秘的钥匙。在信息爆炸的时代，我们常常被海量的数据和复杂的模型所淹没，但这本书却以一种前所未有的清晰度和深度，引领我们穿越迷雾。它不仅仅是一本关于自动微分的书，更是一次对计算范式的一次深刻反思和革新。我一直对机器学习和深度学习的底层原理充满好奇，而自动微分正是构建这些强大工具的基石。本书在讲解自动微分的核心概念时，没有流于表面的公式堆砌，而是深入浅出地阐述了其数学原理、算法实现以及在不同领域的应用。从理论的严谨性，到算法的精妙设计，再到实际问题的解决能力，作者都展现了扎实的功底和卓越的洞察力。

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这本书给我带来的最大收获，是它让我对“计算”这一概念有了全新的理解。在阅读之前，我更多地将计算视为对既有公式的数值求解，而这本书则让我认识到，计算本身可以被设计、被优化，甚至可以被“学习”。自动微分的出现，极大地简化了复杂函数的梯度计算，从而为许多原本难以实现的优化问题打开了大门。书中对于如何构建计算图、如何进行链式法则的展开，以及如何高效地执行梯度计算的讲解，都给我留下了深刻的印象。它让我看到了计算的潜力，以及如何通过更智能的计算方式来解决更复杂的问题。

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这本书的出版，无疑是自动微分领域的一项重要贡献。它以一种清晰、系统且深入的方式，阐述了自动微分的核心概念、算法和应用。我特别喜欢书中对于实际案例的分析，这让我能够更好地理解自动微分如何在真实世界的问题中得到应用。例如，书中对于物理模拟中梯度计算的讲解，让我看到了自动微分在加速科学发现方面的潜力。它不仅仅是一本技术书籍，更是一本能够启发读者思考和创新的著作。它让我看到了计算的未来，以及自动微分在塑造这个未来中的关键作用。

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