纤维丛拓扑学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:Norman Steenrod

出品人:

页数:229

译者:

出版时间:2011-1

价格:35.00元

装帧:

isbn号码:9787510029561

丛书系列:Princeton Landmarks in Mathematics

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《黎曼几何中的曲率与测度》 内容简介 本书深入探讨了微分几何的核心领域——黎曼几何，聚焦于其两大基石：曲率理论与测度构造。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为高等数学、理论物理以及相关工程领域的研究者与高级学生提供一部全面而深入的参考著作。 第一部分：黎曼流形的构造与基础度量 本书首先从光滑流形的一般理论出发，回顾必要的拓扑学和微分拓扑学基础，为引入黎曼度量奠定基础。我们详细阐述了黎曼度量张量的定义、其在坐标系下的表示，以及如何利用度量确定流形上的内积空间结构。 1.1 流形与张量分析回顾： 重点回顾张量场的概念、协变导数（Levi-Civita联络）的唯一性存在性证明，以及黎曼几何中至关重要的指标记法和上指标、下指标的升降操作。 1.2 测地线方程与距离函数： 详细推导了测地线方程的变分原理，并讨论了测地线完备性（Geodesic Completeness）的条件。在此基础上，构建了黎曼流形上的距离函数（测地线距离），分析了指数映射（Exponential Map）的性质，包括其定义域和局部性质。 1.3 局部等距性与分类： 引入了等距（Isometry）的概念及其生成无穷小自同构的李代数结构。着重分析了具有高度对称性的空间，例如欧几里得空间、球面空间（Sphere）和双曲空间（Hyperbolic Space），作为局部等距性的典范例子。 第二部分：曲率的精细结构 曲率是衡量黎曼流形偏离平坦性的核心工具。本部分将曲率理论分解为几个层次，从最初的截面曲率到更精细的张量结构。 2.1 黎曼曲率张量： 深入探讨黎曼曲率张量 $R(X, Y)Z$ 的定义及其代数性质（如第一和第二对合性）。我们详细展示了如何利用黎曼曲率张量计算截面曲率（Sectional Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。 2.2 丰富化曲率：里奇和斯卡拉曲率： 详细定义和分析了里奇曲率张量（Ricci Tensor）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature）。着重讨论了里奇曲率与流形体积增长率的内在联系，并给出了著名的威灵顿定理（Willmore’s Theorem）在曲面上的初步应用。 2.3 维数无关的曲率概念： 讨论了在低维流形中曲率的特殊表现。例如，在二维黎曼曲面上，曲率完全由高斯曲率决定，并详细讨论了高斯绝妙定理（Gauss’ Theorema Egregium）的深刻几何意义。 2.4 霍奇理论与外微分代数： 为了更深入地理解曲率与拓扑的联系，本部分引入了微分形式和外微分代数。详细阐述了德拉姆上同调（de Rham Cohomology）的基本构造，并讨论了黎曼度量如何诱导出霍奇结构。 第三部分：曲率与几何测度的关系 本部分是全书的重点，旨在连接纯粹的微分几何结构与概率论和测度论中的概念，特别是如何使用曲率来量化空间结构对测度的影响。 3.1 测地流与辛几何基础： 引入相空间（Phase Space）的概念，即切丛 $TM$ 上的标准辛结构。讨论了测地流（Geodesic Flow）在辛流形上的动力学性质，以及曲率如何影响测地线的混沌行为。 3.2 空间上的概率测度： 探讨了在黎曼流形上定义自然概率测度的需求。介绍了基于体积形式（Volume Form）的勒贝格测度（Lebesgue Measure）的推广，以及如何通过指数映射和局部坐标来分析该测度的局部行为。 3.3 随机游走与拉普拉斯-贝尔特拉米算子： 详细分析了黎曼流形上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子（Laplace-Beltrami Operator）的定义及其谱性质。将该算子视为流形上热核（Heat Kernel）演化的生成元，并讨论了该算子的特征值与流形的几何量（如斯卡拉曲率和体积）之间的关系，特别是谱几何的初步概念。 3.4 测地线的统计特性： 利用曲率信息，分析了在曲面上随机发射的测地线束的发散率。引入了雅可比场（Jacobi Fields）的概念，并用其来量化曲率对相邻测地线之间分离速度的影响，这直接关联到混沌动力学中的李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponent）。 第四部分：曲率的积分公式与拓扑联系 本部分专注于将局部曲率信息通过积分转化为流形的全局拓扑不变量。 4.1 高斯-邦内特定理（Gauss-Bonnet Theorem）： 详尽地证明和解释了二维流形上的高斯-邦内特定理，明确展示了截面曲率的积分如何决定了流形的欧拉示性数（Euler Characteristic）。 4.2 韦尔-博奈公式（Weil-Bonnatt Formula）及其推广： 讨论了更高维度上的曲率积分公式，例如吉尔曼-辛格指标定理（Hirzebruch-Singer Index Theorem）和阿蒂亚-辛格指标定理（Atiyah-Singer Index Theorem）的黎曼几何背景。重点在于理解汤姆-韦伊公式（Thom-Weil Formula）如何将特定曲率形式的积分与上同调类关联起来。 4.3 极值曲率与最优度量： 讨论了变分问题在黎曼几何中的应用，例如寻找具有最小或最大特定曲率泛函（如规范场论中流行的爱因斯坦-希尔伯特作用量）的度量。这部分内容为理解爱因斯坦度量（Einstein Metric）提供了坚实的数学基础。 总结 本书旨在提供一个严谨的、从基础度量到高级曲率理论，再到曲率与测度之间深层联系的完整图景。它要求读者具备坚实的微积分和线性代数基础，并通过大量详细的推导和几何解释，确保读者能够掌握黎曼几何这一美妙而强大的数学工具。

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如果说数学书有什么“节奏感”可言，那么这本书的章节组织就堪称一部精妙的交响乐。它的结构并非简单的线性累加，而是呈现出一种螺旋上升的态势。开篇奠定的基础稳固而扎实，随后通过几个关键的转折点，将读者导向更广阔的领域。我特别留意到它对不同理论体系之间联系的阐述，作者像一位技艺高超的桥梁工程师，巧妙地连接了看似孤立的数学分支。读到中段时，你会发现之前看似散落的知识点，突然之间以一种意想不到的方式汇聚起来，形成一个宏大的、自洽的整体框架。这种结构的精妙，使得学习不再是知识点的孤立记忆，而是一种对整体逻辑图景的构建。每一次章节结束，都像是为读者提供了一个短暂的休憩平台，让你得以整理思绪，准备迎接更高一层的挑战。这种精心编排的层次感，是真正体现出作者深厚学术功力和教学智慧的地方。

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这本书的叙述风格如同走进一个精心规划的迷宫，引导者你逐步深入那些看似错综复杂的逻辑结构之中。作者的笔触极其细腻，对于每一个新概念的引入，都像是铺设了一条坚实的、带有清晰路标的路径。他极少使用生硬的定义堆砌，而是通过一系列精心构建的例子和类比，将抽象的数学直观化。我发现自己能够在阅读过程中时不时地停下来，回味那些精妙的过渡段落。特别是当涉及到高阶的构造时，作者似乎有一种洞察力，能够预判读者在何处会产生困惑，并在那个临界点提供恰到好处的几何直觉支持。这种“先予后取”的教学策略，极大地降低了学习曲线的陡峭程度。尽管主题本身是极具挑战性的，但阅读过程却充满了发现的喜悦，很少有那种因为信息过载而产生的挫败感。这种流畅的、富有同理心的表达方式，使得原本高冷的理论变得触手可及，可以说是对传统教科书的巨大革新。

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这本书在处理那些需要大量计算和证明的部分时，展现了一种近乎艺术性的简洁与优雅。它不像某些参考资料那样，为了展示完备性而将每一步的代数展开得冗长乏味。相反，作者似乎深谙“大道至简”的哲理，他总是能找到最核心、最具有洞察力的路径来完成论证。那些复杂的证明步骤被提炼得干练有力，每一个符号的出现都仿佛是深思熟虑的结果，而非随意的堆砌。对于初学者而言，这可能需要多次回读才能完全领会其精妙之处，但这恰恰是值得反复琢磨的“金句”所在。它迫使读者停下来，不仅仅是接受结论，更要去探究结论背后的数学美感和逻辑必然性。这种对简洁性的追求，让这本书不仅仅是一本工具书，更像是一本哲学思辨录，引导我们思考数学表达的终极形态。

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这本书的装帧设计简直是一场视觉盛宴，从封面那深邃的靛蓝色到内页的哑光质感纸张，都透露着一种经典而严谨的气息。我拿到手时，首先被它厚实的重量所吸引，这通常预示着内容的丰富和深度。内页的排版极为考究，字体选择典雅而不失现代感，行距和页边距的留白处理得恰到好处，即便是面对那些复杂的数学公式和图示，阅读体验依然保持着高度的舒适性。它不像某些学术著作那样板着面孔，反而有种邀请人深入探索的温度。我尤其欣赏它在概念引入时所用的插图，那些抽象的几何结构被描绘得既精确又富有艺术感，仿佛是微缩宇宙的艺术品。这本书的装帧无疑提升了阅读的仪式感，让人在翻阅时能感受到对知识的尊重。整体而言，这本书的物理形态本身就是一种对深奥学问的致敬，拿在手中，就仿佛握住了一块沉甸甸的知识基石，让人对手头的学习任务充满了期待与敬畏。这种对细节的执着，在如今这个快速消费的时代显得尤为珍贵。

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从工具性和参考价值的角度来看，这本书的索引和附录部分做得非常出色，体现了对读者实际使用需求的深刻理解。在书的末尾，那些详尽的术语表和符号对照清单，为我提供了极大的便利，使得查阅和回顾变得高效快捷。更值得称赞的是，它对参考文献的引用和梳理，清晰地勾勒出了该领域的发展脉络和关键历史节点，为进一步的深入研究指明了方向。那些附带的拓展阅读建议，既有经典的奠基之作，也有最新的研究前沿，显示出作者对整个学科生态的全面把握。这本书显然是为那些不仅仅满足于“学会”概念，更渴望“掌握”并能“超越”当前知识边界的读者准备的。它不仅仅是一次性的学习材料，更是一份可以长期陪伴、反复参阅的案头必备典籍，其参考价值经得起时间的考验。

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除了38，39，41 第三部分，系数群和阻碍的引入是为了截面的延拓

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是积空间的一般化，局部平凡化；连续函数的图像推广就是丛的截面。最简单的问题是截面的存在性转化为微分几何语言就是构造指定代数性质的张量场。什么丛等价于积空间？存在足够多的截面。示性类的解释从障碍类到分类空间的同调类的转换；第一障碍类是丛的零截面，第二障碍类是上同调类。积丛X*Y截面就是X---Y的映射的图。纤维的同态群称为丛的群。丛分类归结为坐标变换分类 后者仅仅和底空间，拓扑群有关 与纤维无关 。万有覆盖等价于主丛（基本群分类）。李群的闭子群和商群都是李群证明的关键在于局部截面（微分形式）构造。主丛（纤维等价于群）是积丛等价于有截面（场或者形式）。李群上升为主丛，有简化性意义和统一性的语言；纤维丛中群的加入的定义是为了消除等价类和坐标函数。同伦群没有剪切性质。坐标变换看做拓扑群

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读了前半部分，书是好书，就是年头有点老了，很多符号和处理方法都比较傻傻的，感觉得到在理论发展的初期大家是多么的谨小慎微。会用到的都看到了，就这样吧。

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除了38，39，41 第三部分，系数群和阻碍的引入是为了截面的延拓

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部分自守表示的语言是用fibre bundle来写的，例如holomorphic discrete series对应着所谓的holomorphic bundle，需要了解一些定义。翻看了大概半小时，很好的一本书，可惜没有机会全读下来。