Algebraic Geometry 2 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:American Mathematical Society

作者:Kenji Ueno

出品人:

页数:184

译者:

出版时间:2001-8-28

价格:USD 39.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821813577

丛书系列:Translations of Mathematical Monographs

图书标签:

• 代数几何
• 代数几何
• 代数簇
• 射影空间
• 层论
• 同调代数
• 概形
• 代数变换
• 奇点理论
• 代数数论
• 交换代数

代数几何II：更深邃的视界 《代数几何II》是您通往代数几何宏伟殿堂的又一次进阶探索。在前作《代数几何I》奠定的坚实基础上，本书将带领您深入研习那些更为精妙、更为强大的理论工具与概念。在这里，我们不再满足于对基本射影空间的几何性质的初步了解，而是要着眼于更一般、更抽象的代数簇，并运用层论、概形等现代代数几何的核心语言，揭示它们内在的深刻结构与丰富的几何信息。 本书的叙述风格延续了《代数几何I》的严谨与清晰，力求在保持数学准确性的同时，使读者能够循序渐进地掌握复杂理论。我们避免了空泛的宏大叙事，而是专注于具体数学对象的构建与性质分析，通过大量精心设计的例题与习题，帮助读者将理论知识内化为解决问题的能力。 核心章节概览 第一部分：向量丛与切空间 在《代数几何I》中，我们已初步接触了多项式方程组定义的几何对象——代数簇。在这一部分，我们将引入“向量丛”这一核心概念，它赋予了代数簇以丰富的“切向”信息。对于一个光滑代数簇，其“切向量丛”的局部自由层结构，精确地描述了簇在每一点的线性逼近，即“切空间”。我们不仅会学习向量丛的定义、构造以及与主丛的关系，更会深入探讨相干层的概念，并理解切向量丛作为一种特殊的相干层所扮演的关键角色。 相干层的引入： 了解何为相干层，它们是如何泛化局部有限生成模的概念，以及它们在代数簇上的重要性。我们将证明，对于光滑簇，其切向量丛本身就是一个重要的相干层。 切向量丛的性质： 深入研究切向量丛的各项性质，包括其秩（即簇的维度）、局部自由性等。我们将探讨，如果一个代数簇的切向量丛是全局自由的，那么这个簇有哪些特殊的几何结构（例如，它是否是仿射空间）。 法向量丛与正则方程： 引入法向量丛的概念，它与切向量丛一起，构成了描述代数簇与其嵌入空间之间关系的强大工具。我们将学习如何利用法向量丛来研究代数簇的奇异性，并理解局部正则方程的意义。 第二部分：概形理论的基石 现代代数几何的真正威力体现在概形理论之中。在这一部分，我们将告别仅仅关注“点”的集合，转而拥抱“环”与“空间”的统一视角。概形理论将代数簇的概念进行了极大的推广，使得我们可以讨论“非交换代数”与“局部环”所对应的几何对象，从而将代数几何的研究范围扩展至一个更加广阔的领域。 环论的基础回顾与提升： 我们将首先复习并深入理解局部环、主理想整环（PID）、唯一因子分解整环（UFD）等概念，并强调它们在构建概形时的关键作用。 谱（Spec）的构造： 学习如何将一个交换环 $R$ 映射到一个拓扑空间 $mathrm{Spec}(R)$，其中点对应于 $R$ 的素理想。我们将详细分析 $mathrm{Spec}(R)$ 的拓扑性质，包括闭集、开集、连通性等，并理解这些性质如何反映了环的代数结构。 层（Sheaf）的概念： 引入层（Sheaf）这一核心工具，它允许我们在拓扑空间的每个开集上定义一个代数对象（例如，一个环），并保证这些对象之间存在相容性。我们将重点关注“环层”（Ringed Space）的概念，即一个拓扑空间加上一个在其开集上定义的环层。 概形（Scheme）的定义： 将以上概念融会贯通，我们正式定义概形。一个概形可以看作是一个环层 $(X, mathcal{O}_X)$，使得对于 $X$ 的任意一点 $x$，其局部化 $mathcal{O}_{X,x}$ 是一个局部环，并且诱导的映射 $mathrm{Spec}(mathcal{O}_{X,x}) o X$ 是一个同胚。我们将学习仿射概形 $mathrm{Spec}(R)$ 的性质，并理解它们如何成为一般概形的基础。 第三部分：代数簇的丰富性与分类 有了概形理论的强大工具，我们可以重新审视并深入理解代数簇的丰富几何性质，并开始探索对代数簇进行分类的初步途径。 代数簇作为概形的特殊情况： 理解经典代数簇（例如，在 $k$ 上由多项式方程组定义的簇）如何嵌入到概形理论的框架之中。我们将看到，这些经典簇对应于定义在 $k$ 上的“ $k$-概形”。 曲线与曲面的分类： 探讨对代数曲线和代数曲面进行分类的基本思想。我们将介绍一些重要的不变量，例如亏格（genus）的概念，以及它如何帮助我们区分不同类型的代数曲线。我们将涉及一些关于有理数域上代数簇的经典结果，例如代数曲线的模空间。 奇异性理论的初步： 尽管本书的重点在于光滑簇，但我们将对代数簇的奇异性进行初步的探讨。我们将利用层论的工具，例如相干层的柯西-黎曼方程（在复流形的情形下），来理解奇异点的局部结构，并介绍一些消解奇异性的基本思想。 第四部分：上同调的黎明 作为代数几何中的另一个核心工具，上同调理论为我们提供了一种量化代数簇“缺失”的几何信息的方式。在这一部分，我们将初步接触到 sheaf cohomology 的概念，并理解它在研究代数簇的全局性质时所扮演的关键角色。 上同调群的定义： 学习如何定义相干层的上同调群 $H^i(X, mathcal{F})$。我们将理解 $H^0$ 对应于全局定义的截面，而高阶上同调群则揭示了“全局上不存在，但局部上能找到”的几何信息。 Serre定理的铺垫： 介绍 Serre 定理这一代数几何中的基石性定理，它将相干层的上同调群与射影空间上的多项式性质联系起来。我们将通过具体例子，感受上同调群在描述代数簇的几何性质方面所展现出的强大威力。 应用示例： 展示上同调理论在解决一些具体代数几何问题中的应用，例如判断一个代数簇上是否存在某个特定类型的向量丛，或者研究代数簇的可积性等。 学习本书的收获 通过系统学习《代数几何II》，您将： 掌握现代代数几何的语言： 熟练运用概形、层等现代数学工具，能够理解并进行更深入的代数几何研究。 深化对代数簇的认识： 从更抽象、更本质的层面理解代数簇的结构，揭示其丰富的几何内涵。 构建解决复杂问题的能力： 培养运用强大的理论工具解决代数几何中具有挑战性问题的能力，为进一步的研究打下坚实基础。 为进阶学习铺平道路： 为学习模空间理论、算术代数几何、代数微分几何等更高级的代数几何分支做好充分准备。 《代数几何II》不仅是一本教材，更是一扇通往代数几何更深邃世界的窗户。我们诚挚地邀请您一同踏上这段充满智慧与发现的旅程。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常独特，它似乎介于一篇严谨的、已经被同行评审的论文与一本充满激情、试图启发读者的教科书之间找到了微妙的平衡。作者在定义新概念时，倾向于提供一个简短的历史背景或一个直观的动机，这对于消化那些纯粹形式化的定义非常有帮助。例如，在讲解“平坦性”（Flatness）时，作者没有直接跳到张量积上的完全序列，而是先用一个关于代数扩张的简单例子，展示了局部自由模如何在变形过程中保持其维度信息的完整性。这种“先感受，后形式化”的教学节奏，极大地缓解了读者面对高维抽象代数时的焦虑感。不过，也正因为这种风格，某些段落的密度非常大，可能需要反复阅读。我注意到，作者在处理某些重要的例子，如对椭圆曲线的模空间 $mathcal{M}_{g,1}$ 的构造时，选择了偏向于算术几何的视角，这在一些纯粹代数几何的教材中是相对少见的。这表明本书的视野是相当开阔的，它不仅仅关注于复解析结构，更暗示了未来可能涉及的$p$-进几何或算术方面的关联。这种跨领域的暗示，使得这本书的价值远远超出了其书名所限定的范围。

评分☆☆☆☆☆

对于致力于研究代数堆（Algebraic Stacks）的同仁而言，这本书的后半部分无疑是价值连城的。作者对“群概形”（Group Schemes）的引入，精准地抓住了将群论结构内嵌到概形框架中的核心困难，即如何处理非对易性（Non-commutativity）在模空间上的体现。书中对“模空间”（Moduli Spaces）的构建，尤其是对那些“退化”情况的处理，展现了作者极高的洞察力。我们都知道，模空间的良态性往往依赖于稳定性条件（如吉尔丁稳定性），而本书并没有回避那些不稳定的情形。相反，它详尽地探讨了如何使用堆（Stacks）的概念来“修复”这些奇异点，将原本缺乏良好性质的空间提升为一个具有足够对称性的对象。这部分内容阅读起来如同在迷宫中穿行，但作者总能在关键转折点提供一个清晰的几何类比或一个强有力的代数限制条件，确保读者不会迷失方向。特别是对“局部完备性定理”（Local Completeness Theorems）的阐述，它不仅仅是引述了结论，而是深入挖掘了其证明背后的完备化过程，这对理解高维空间的局部结构至关重要。我发现，即便是在与一些更前沿的文献对照阅读时，本书对核心困难点的梳理依然清晰有力。

评分☆☆☆☆☆

我不得不提一下本书在习题设计上的精妙之处。很多进阶教材的习题要么是简单的重复应用定义，要么是直接要求证明一个非常深奥的定理，让人无从下手。而《代数几何2》的习题则更像是对章节内容的深度探索和有效延伸。它们巧妙地避开了书中已完成的证明，而是引导读者去思考那些“如果...会怎样？”的问题。例如，有一个关于柯恩-马考夫（Cohen-Macaulay）环的习题，它要求读者证明在特定条件下，某个概形的推论具有某些同调消逝性，这实际上是要求读者将本章学到的局部性质推广到全局的层同调框架下。另一个习题则要求读者利用本书建立的范畴化工具，重新审视一个经典代数拓扑中的不变量，这种逆向工程式的练习，极大地巩固了对核心概念的掌握。通过完成这些习题，我感觉自己不仅仅是在学习知识，而是在参与构建这个理论框架的过程。总而言之，对于有志于将代数几何作为主要研究工具的数学家而言，这本书不仅是一本参考书，更像是一个不可或缺的思维训练伙伴，其深度、广度和教学法的匠心独运，都值得我们给予最高的评价。

评分☆☆☆☆☆

这本《代数几何2》的出版，对于我们这些长期沉浸在经典代数几何概念中，渴望探索更深层次、更抽象结构的学者来说，无疑是一次及时的甘露。它并没有满足于对黎曼曲面或经典线性系统的温和回顾，而是直接将读者推向了现代代数几何的核心——概形论的复杂而迷人的世界。我尤其欣赏作者在处理概形范畴的构造时所展现出的那种几乎是建筑师般的严谨与清晰。他们没有回避那些初看令人望而生畏的“局部环化”过程，而是通过一系列精心设计的例子，如阿芬空间（Affine Schemes）如何自然地从环的概念中浮现出来，逐步构建起对整体空间概念的理解。书中对“谱”（Spec R）的讨论，不再仅仅是一个符号操作，而是被赋予了深刻的拓扑和代数意义。读完关于概形基础的部分，我感觉自己对“点”的理解发生了根本性的转变——点不再是简单的集合元素，而是一种局部性质的编码。这种从几何直觉向范畴论抽象过渡的平滑度，是许多同类教材难以企及的。此外，作者在引入层论（Sheaf Theory）时，也显得极为审慎，他们意识到层是连接局部信息与全局结构的关键桥梁，因此花费了大量的篇幅来阐述预层、层、以及层上同调（Sheaf Cohomology）的基本概念，为后续更高级的主题奠定了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我通常认为，一本好的进阶教材，其价值不在于它涵盖了多少知识点，而在于它如何引导读者面对真正的“硬骨头”——那些需要长时间思考才能消化的困难概念。本书在处理相交理论（Intersection Theory）的现代转化时，就体现了这种深思熟虑。与依赖于拓扑度数或割线代数的传统方法不同，这里的论述是建立在代数循环和高阶同调群之上的，这种切换视角的要求极高。书中对陈类（Chern Classes）及其在代数簇上的定义，没有采用截然的拓扑路径，而是巧妙地结合了小林–奥申（Kobayashi-Oshkahr）的结果，展示了如何利用外代数和德拉姆上同调的代数对偶来重构几何直觉。对于那些习惯于使用复分析工具的读者来说，这种纯代数框架下的论证无疑是一次智力上的洗礼。我尤其喜欢其中一章对“陈示性类”（Characteristic Classes）的讨论，作者并没有将它们视为黑箱工具，而是追溯了它们在拉回（Pullback）操作下的自然行为，这深刻揭示了它们作为函子（Functor）的本质。这种对结构本身保持敬畏、不急于应用的教学态度，使得这本书更像是一部研究指南而非简单的参考手册，它迫使你慢下来，真正去理解为什么这些工具是必需的，而不是仅仅知道如何使用它们。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆