Elements of the Theory of Representations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:A.A.Kirillov

出品人:

页数:315

译者:

出版时间:1976-12

价格:0

装帧:平装

isbn号码:9780387074764

丛书系列:Grundlehren der mathematischen Wissenschaften

图书标签:

• 数学
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《群的表示论导引》 引言 群的表示论是数学中一个深刻且充满活力的分支，它为理解抽象群的结构提供了强大的工具。通过将抽象群的元素映射到向量空间的线性变换，表示论将群的代数性质转化为几何和分析问题，从而揭示了群的内在规律。本书旨在为读者提供一个清晰、循序渐进的《群的表示论导引》，从基础概念出发，逐步深入到表示论的核心理论及其在不同数学领域的应用。本书的编写风格注重理论的严谨性与直观性的结合，力求使初学者能够理解并掌握表示论的基本思想和方法，同时也为有一定基础的读者提供进一步研究的阶梯。 第一章：初步概念与基本工具 本章我们将为后续内容的学习奠定坚实的基础。首先，我们将回顾群论中的基本概念，包括群的定义、子群、正规子群、商群、同态与同构等，确保读者对群的结构有清晰的认识。接着，我们将引入向量空间和线性代数的基本概念，例如向量空间的维数、线性变换、矩阵表示、特征值与特征向量等，这些是理解表示论的关键工具。 随后，我们将正式定义群的表示。我们将介绍线性表示的概念，即群同态到某个向量空间上的可逆线性变换群。我们会详细讨论表示的定义域（通常是复数域 $mathbb{C}$）和表示空间（一个向量空间）的重要性。本章的一个重要目标是理解不可约表示的概念，并说明它是表示论研究的核心对象。我们还将介绍等价表示的概念，并解释为什么我们通常关心的是表示的等价类，而不是具体的表示。 第二章：群表示的基本性质 在建立起表示的基本定义后，本章将深入探讨群表示的一些基本性质。我们将引入表示的构成，例如直和表示，并研究其性质。一个重要的概念是酉表示，我们将证明所有有限群的复表示都等价于酉表示，这极大地简化了理论的研究。 本章的另一个核心内容是表示的特征标。我们将定义表示的特征标，并证明它是区分不可约表示的关键不变量。我们将介绍特征标的线性无关性，这是表示论中一个极其重要的定理，它表明不同不可约表示的特征标是线性无关的，从而为利用特征标来计数和分类不可约表示提供了依据。我们还将探讨单位根在特征标理论中的作用，以及它们与群的结构之间的联系。 第三章：有限群的表示理论 本章将聚焦于有限群的表示理论，这是表示论中发展最成熟且应用最广泛的领域之一。我们将详细阐述Maschke定理，该定理表明有限群在复数域上的任何表示都可以分解为不可约表示的直和。这一结果是有限群表示理论的基石。 我们还将详细介绍不可约表示的个数，并给出其计算公式，通常与群的共轭类个数相等。本章将重点讨论Burnside引理在表示论中的应用，它提供了一种计算群表示特征标的方法。我们将介绍群的中心及其表示理论中的作用，以及换位子子群与不可约表示之间的关系。 此外，我们将研究循环群的表示，这是最简单的非平凡群，其表示具有清晰的结构，为理解更复杂的群的表示提供了直观的范例。我们还将触及对称群的表示，尽管其结构更为复杂，但其表示理论在组合学和物理学中有重要的应用。 第四章：表示的张量积与诱导表示 本章将引入表示论中更为强大的构造性工具：张量积和诱导表示。我们将定义两个表示的张量积，并研究其如何分解为不可约表示的直和。张量积表示为构造新的表示提供了有效途径。 随后，我们将深入介绍诱导表示。我们将定义子群的表示如何“诱导”到整个群的表示。我们将详细阐述Mackey定理，该定理描述了诱导表示分解的结构，是理解子群与原群之间表示关系的关键。诱导表示在研究群的结构和分类中起着至关重要的作用，尤其是在处理非阿贝尔群时。 第五章：非阿贝尔群的表示理论进阶 本章将探讨更复杂的非阿贝尔群的表示理论。我们将介绍群的中心化子和正规化子在表示论中的作用。我们将详细讨论共轭类的表示性质，并说明共轭类在计算特征标中的重要性。 我们还将触及群的表示与群的同调代数之间的联系。虽然这一领域可能涉及更高级的概念，但本章会为读者提供一个初步的了解，展示表示论与其他数学分支的深刻联系。我们将讨论矩阵群的表示，以及它们在代数群和李群理论中的应用。 第六章：表示论的应用 表示论的应用范围极其广泛，本章将重点介绍几个具有代表性的应用领域。 组合学： 介绍表示论在计数问题中的应用，例如计算对称函数的系数，以及在图论中分析图的性质。 化学与物理学： 详细说明表示论在量子力学中的应用，特别是分子对称性的分析，如何确定分子的能级和光谱性质。同时，也会提及表示论在粒子物理学中对基本粒子的分类和性质的描述。 密码学： 简要介绍表示论在现代密码学中的潜在应用，例如在格密码学等领域，利用群的表示来设计更安全的加密算法。 其他数学分支： 简述表示论与数论（如类域论）和微分几何（如李群的表示）之间的联系。 结论 本书从最基本的概念出发，逐步引导读者进入群的表示论的奇妙世界。我们强调了表示论作为连接抽象代数与几何分析的桥梁作用，以及其在现代科学研究中的不可或缺性。通过对表示理论的深入理解，读者将能够更有效地分析和解决各种数学和科学问题。本书的编写目标是激发读者对表示论的兴趣，并为他们提供一个坚实的基础，以便在未来能够独立探索更高级的主题和更广泛的应用。 符号索引与术语表 为了方便读者查阅，本书最后将附带详细的符号索引和常用术语表，涵盖所有在书中出现的数学符号和核心概念，并提供简洁的定义和出处。

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这本书最让我印象深刻的特点，在于其对理论之间“涌现性”的强调。作者似乎在刻意引导读者去观察，当我们将原本在不同数学分支中研究的概念（比如数论中的特征、几何学中的对称群、线性代数中的向量空间）强行放在同一个表示论的框架下时，会产生多么深刻的洞察力。这种跨领域的融合，是这本书的精髓所在。例如，当他开始讨论特征标理论时，其论证的流畅性让人惊叹，仿佛这些概念从一开始就注定要以这种方式结合。它提供了一种看待数学问题的全新透镜，让你意识到，许多看似不相关的数学现象，底层可能共享着相同的对称结构。这本书并不适合那些寻求快速答案或应用导向学习的读者，它要求的是一种沉浸式的、近乎冥想式的学习过程。它贩卖的不是技巧，而是对数学内在和谐性的深刻体验。读完后，你可能会对未来遇到的任何新的代数结构，都习惯性地去寻找其“表示”的可能性，这是一种思维方式的根本转变。

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这本书的语言风格，坦白说，极具挑战性，它仿佛是从上个世纪中叶的某个德语数学讲堂直接翻译过来的，充满了严谨到近乎冷酷的精确性。它拒绝任何形式的“讨好”读者，没有冗余的铺垫，没有为初学者准备的“友好的”比喻。每一个符号、每一个定义都带着不容置疑的权威性，仿佛作者深知这些概念的内在秩序，并以最经济的方式将其呈现。这使得初次接触表示论的读者可能会感到措手不及，需要频繁地查阅前几章的定义来跟上思路。但是，一旦你适应了这种高强度的信息密度，你会发现其带来的回报是巨大的。作者对范畴论思想的早期渗透，使得读者在处理复杂的酉群或有限群表示时，能自然而然地建立起更高维度的视角。我个人认为，这本书的真正价值在于它对“同态”和“同构”的理解上所下的苦功，它让你不再将表示仅仅视为矩阵的排列，而是视为结构在不同载体间的完美映射。这本书的阅读体验，更像是在攀登一座技术难度极高的冰川，每一步都需要精确的冰镐定位，但顶峰的风光绝对值得这一切的艰辛。

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我必须承认，我对这本书的物理实体印象深刻。装帧的厚度和纸张的质感，都透露出一种经久不衰的决心，它不是那种读完一次就可以束之高阁的流行读物。内页的排版设计非常紧凑，几乎没有留白，这既是优点也是缺点：优点是所有相关内容都被紧密地组织在一起，便于交叉引用；缺点则是，当你试图在某个复杂的推导过程中停下来思考时，你很难找到一个视觉上的“喘息点”。作者的论证过程常常是层层递进的，一个引理的证明可能需要你回顾十页前设定的条件，这种对读者记忆力和耐心的考验是持续性的。这本书的优秀之处在于它对代数结构中“对称性”这一核心思想的贯彻。作者似乎在试图用数学语言描绘宇宙中最根本的秩序感，从简单的置换群到更深层的结构，他总是在探究事物如何通过变换来定义自身。读完前几章后，我对“不变性”这个概念有了全新的理解，它不再是一个模糊的哲学概念，而是一个可以通过严格数学工具量化和操纵的实体。

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这本书的封面设计乍一看平平无奇，那种老派的学术书籍的风格，厚重的装帧似乎预示着一场艰涩的智力攀登。然而，一旦翻开第一页，你会被作者那近乎偏执的逻辑清晰度所吸引。他不是在简单地罗列定理和证明，而是在构建一个宏大的思想迷宫，每一步都经过精心计算，引导你深入到抽象代数的精髓之中。我特别欣赏作者在处理那些初看起来相互独立的概念时所展现出的那种优雅的连接能力。例如，他对群论基础的梳理，并非仅仅是教科书式的复述，而是巧妙地植入了后续章节中关于李群和表示论的隐性需求。阅读过程中，你会感觉自己像一个刚学徒的工匠，从最基础的木料开始，被引导着去理解最终结构的美学和力学原理。对于那些渴望真正“理解”而非仅仅“掌握”表示论的读者来说，这种深层次的教学法无疑是宝贵的财富。尽管篇幅颇丰，阅读起来需要极大的专注力，但每当攻克一个复杂的证明，那种豁然开朗的喜悦感，是其他许多泛泛之作无法比拟的。这本书更像是一部需要反复研读的经典乐谱，每次回归都能发现新的和弦与变奏。

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这本书在处理某些特定领域，特别是无限维表示的初步讨论时，展现出一种近乎古典的、扎实的数学风格。它没有过多地依赖现代拓扑结构或泛函分析的复杂工具，而是尽可能地从纯代数和群论的视角出发，构建起最初的框架。这种做法的优势在于，它能让读者在构建现代分析工具之前，先对“空间”和“算子”的关系有一个坚实的代数直觉。我尤其欣赏作者对 Schur 引理及其推广的处理，他花了大量的篇幅，通过不同层面的群结构（例如，普通子群、正规子群）来剖析其应用场景，这对于理解为何某些群的不可约表示具有独特的“完备性”至关重要。然而，对于习惯了现代高效教材的读者来说，这种“事必躬亲”的讲解方式可能会显得有些拖沓。但从另一个角度看，正是这种细致入微的打磨，使得这本书成为了一个极佳的自学参考书，尽管过程缓慢，但每一步都走得踏实无比。它更像是一部详尽的工艺手册，而不是一本概要性的导论。

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