Complex Semisimple Lie Algebras pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Jean-Pierre Serre

出品人:

页数:92

译者:Glen Jones

出版时间:2000-12-12

价格:GBP 44.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540678274

丛书系列:

图书标签:

• 复半单李代数
• 数学
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《复半单李代数：结构、表示与应用》 本书深入探讨了复半单李代数这一代数结构的核心概念、精妙理论及其在数学和物理学多个分支中的广泛应用。从其基础的定义和分类，到复杂的表示理论和相关的几何结构，本书力求为读者构建一个全面而深刻的理解。 第一部分：复半单李代数的基石 本部分将带领读者从零开始，逐步构建对复半单李代数的基本认知。 李代数的引入与基本概念： 我们将首先介绍李代数作为一种具有特定运算（李括号）的向量空间。详细阐述李括号的性质，如双线性性、反对称性以及雅可比恒等式，这些性质是理解李代数本质的关键。随后，引入子代数、理想、商代数以及同态等基本概念，为后续深入探讨打下基础。 半单性：定义与重要性： 本部分的核心将是“半单性”这一概念的引入。我们将精确定义一个李代数为何称为半单，重点在于其可解理想的唯一性——即半单李代数只有平凡的可解理想。深入探讨半单性的代数意义，解释它如何简化李代数的结构，使其能够被分解成更基本的“单”李代数的直和。 根系：半单李代数的语言： 根系是理解复半单李代数结构的关键工具。本部分将详细介绍根系的定义，包括其满足的对称性、正交性以及正根和负根的概念。我们将展示如何通过根系来刻画一个半单李代数，以及根系本身的对称性如何反映李代数的内部对称性。 Cartan子代数与根空间分解： Cartan子代数是一个李代数中的阿贝尔子代数，它在研究李代数的结构中起着至关重要的作用。我们将展示如何利用Cartan子代数将李代数分解为根空间，即李代数的元素可以通过它们作用于Cartan子代数元素时产生的特征值（根）来区分。这一分解揭示了李代数内部的精细结构。 复半单李代数的分类： 基于根系和Cartan子代数的理论，本部分将呈现对所有复半单李代数的分类。我们将介绍著名的A, B, C, D四类经典李代数，并说明所有不可约的复半单李代数都同构于这四类中的某一个，或是更小的“例外”李代数。我们将通过它们的根图来直观地展示这些分类。 第二部分：表示理论的深度探索 李代数的表示理论是理解其“作用方式”的关键，它将抽象的代数结构映射到线性变换上，从而使其行为更加具体可查。 表示的基本概念： 本部分将从定义一个李代数的表示开始，即一个线性映射，它保留李括号的运算结构。引入迹、伴随表示等基本例子。 有限维不可约表示： 对于半单李代数，其有限维表示的行为尤为规律。我们将集中研究有限维不可约表示，即不能被分解为更小表示直和的表示。 最高权理论： 最高权理论是分类和构造有限维不可约表示的核心。我们将精确定义权、最高权向量以及最高权本身。证明任何有限维不可约表示都由其最高权唯一决定，并将最高权与根系中的某些元素联系起来。 Weyl群与表示的对称性： Weyl群是与根系相关的有限群，它在表示理论中扮演着重要的角色。我们将介绍Weyl群的定义，以及它如何作用于权和表示。Weyl群的对称性反映了李代数表示的对称性。 Whittaker表示与Verma模块： 除了有限维表示，我们还将探讨一些重要的无限维表示，如Whittaker表示和Verma模块。这些表示在理论研究和某些应用中具有特殊的重要性。 第三部分：高级主题与几何联系 本部分将进一步深化对复半单李代数的理解，并将其与几何结构联系起来。 李群与李代数的关系： 我们将探讨李群（一类具有光滑流形结构的群）与其李代数之间的深刻联系。解释如何从李代数构造出与之关联的李群，以及李群的性质如何反映其李代数的结构。 Cartan矩阵与Dynkin图： 引入Cartan矩阵作为描述根系之间关系的代数工具，并展示Dynkin图如何以图形化的方式直观地表示Cartan矩阵，进而简洁地刻画半单李代数的结构。 Kac-Moody代数简介（可选）： 对于希望进一步拓展视野的读者，本部分将简要介绍Kac-Moody代数，它们是有限维半单李代数的推广，具有无限维但仍具良好结构的特点。 几何应用： 本部分将简要概述复半单李代数及其表示在几何学中的应用，例如在对称空间、旗流形以及Grassmannian流形的研究中。 物理学应用： 探讨李代数及其表示在现代物理学中的应用，包括粒子物理学（如SU(2)和SU(3)的对称性）、量子场论、规范理论以及统计力学等领域。 本书的特点： 循序渐进： 从基础概念出发，逐步深入，确保读者能够扎实掌握核心理论。 理论严谨： 采用数学上严谨的语言和证明，同时注重直观的解释和例子。 实例丰富： 穿插大量的计算例子和具体的李代数实例，帮助读者理解抽象概念。 应用导向： 强调理论在数学和物理学中的应用，激发读者的学习兴趣。 本书适合于对抽象代数、表示理论有一定基础的本科高年级学生、研究生以及对李代数理论感兴趣的数学家和物理学家。通过对本书的学习，读者将能够深刻理解复半单李代数的精妙结构，掌握其表示理论的核心工具，并初步领略其在科学前沿的广泛应用。

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这本书的魅力在于其对“结构”的执着挖掘。它不满足于停留在表面现象的描述，而是试图揭示隐藏在所有复杂李代数背后的统一的、优雅的骨架。作者在处理半单李代数的结构定理时，展现了一种近乎哲学的洞察力。他不仅展示了如何分解一个复杂的代数系统，更重要的是解释了为什么这种分解是唯一的，以及这种唯一性如何与特定的根系统相关联。书中对根系理论的阐述是极其详尽和深入的，每一个细节都被细致地剖析，确保了读者能够完全领会 Weyl 群在代数分类中的核心作用。我个人认为，与其他同类书籍相比，这本书在连接“代数”与“几何”方面做得最为出色，它让抽象的向量空间和对称群操作具备了清晰的几何图像，极大地丰富了读者的直觉。这种层层递进、由表及里的叙事方式，是其成功的关键所在。

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阅读此书的过程，如同攀登一座知识的高峰，沿途的风景壮丽，但每一步都需要付出艰辛的努力。作者的写作风格倾向于高度凝练和极简主义，这在某些章节导致了概念的快速跳跃，留给读者的“填空”任务相对较多。我注意到，为了保持文本的简洁，一些重要的引理或定理的证明常常被省略或高度压缩，这要求读者必须是一个积极的、主动的学习者，能够自行补全中间的逻辑跳跃。这种处理方式，虽然使得全书篇幅得到了有效控制，避免了不必要的冗余，但也使得本书的“可亲近性”降低。它更像是同行之间心照不宣的交流记录，而不是面向大众的普及读物。不过，对于那些已经准备好迎接挑战，渴望真正掌握该领域核心机密的读者而言，这种挑战性恰恰是其魅力所在——它奖励那些愿意投入时间与精力进行深度钻研的人。

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这本被誉为该领域里程碑式的著作，其深度与广度令人叹服。初翻其目录，便能感受到作者对该主题的精湛掌握，从最基础的概念铺陈，到抽象结构的最前沿探索，逻辑链条清晰得如同精密的数学证明。它不仅仅是一本教科书，更像是一份详尽的导览图，指引着读者穿越复杂的代数迷宫。书中对 Cartan 子代数和根空间的构建描述得尤为精妙，作者没有满足于仅仅罗列定义，而是深入挖掘了这些结构背后的几何直观，使得那些原本晦涩难懂的定理在读者的脑海中“活”了起来。我特别欣赏其中对 Dynkin 图解的系统性介绍，它将抽象的李代数分类问题转化为易于视觉化的组合问题，这种跨越不同数学分支的整合能力，展现了作者深厚的学术功底和高超的教学艺术。对于任何想要深入理解对称性本质的数学家或理论物理学家而言，这本书无疑是必不可少的案头工具，它提供的视角是如此独特而深刻，让人在合上书本后仍久久回味。

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对于希望将理论应用于物理模型的研究者来说，这本书提供了极其丰富的工具箱。虽然其本质是纯数学的，但作者在讨论完理论框架后，常常会不着痕迹地引申到其在对称性理论中的应用背景，尽管没有直接给出完整的物理例子，但这种暗示性极强的铺垫，足以激发读者进行下一步的探索。特别是对某些特定类型的李代数（例如那些与规范场论和弦理论密切相关的代数）的详细考察，使得这本书的实用价值大大提升。它教会我们如何“阅读”一个代数结构，以识别其中可能蕴含的物理对称性。从这个角度看，这本书的价值超出了纯数学范畴，它是一种高级的“翻译”工具，将复杂的数学语言转化为可以被物理学家理解和利用的结构语言。它的深度使得它不易过时，那些关于基础结构的深刻见解，无论物理学如何发展，都将保持其绝对的正确性和重要性。

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我抱着极大的期待开始阅读这本关于高等代数结构的专著，然而，坦白地说，它的阅读体验更像是一场智力上的马拉松，而非轻松的散步。作者的严谨性无可挑剔，每一个定义、每一步推导都经过了最严格的打磨，这对于追求精确性的专业人士来说是优点，但对于初学者或希望快速把握整体框架的人来说，可能会感到有些吃力。书中的某些章节，特别是关于表示论的深入探讨部分，其密度之高，要求读者必须具备扎实的线性代数基础以及对抽象代数有先前的接触。我发现自己不得不频繁地停下来，查阅额外的参考资料来巩固某些中间步骤的理解。它更像是一本为博士生和研究人员量身定做的参考手册，旨在成为知识的最终裁决者，而非入门的引路人。尽管如此，一旦攻克了某个难点，那种豁然开朗的成就感，是其他入门书籍难以比拟的。

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