Elliptic Curves, Modular Forms, and Their L-functions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026
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具体描述
Many problems in number theory have simple statements, but their solutions require a deep understanding of algebra, algebraic geometry, complex analysis, group representations, or a combination of all four. The original simply stated problem can be obscured in the depth of the theory developed to understand it. This book is an introduction to some of these problems, and an overview of the theories used nowadays to attack them, presented so that the number theory is always at the forefront of the discussion.
Lozano-Robledo gives an introductory survey of elliptic curves, modular forms, and $L$-functions. His main goal is to provide the reader with the big picture of the surprising connections among these three families of mathematical objects and their meaning for number theory. As a case in point, Lozano-Robledo explains the modularity theorem and its famous consequence, Fermat's Last Theorem. He also discusses the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture and other modern conjectures. The book begins with some motivating problems and includes numerous concrete examples throughout the text, often involving actual numbers, such as 3, 4, 5, $frac{3344161}{747348}$, and $frac{2244035177043369699245575130906674863160948472041} {8912332268928859588025535178967163570016480830}$.
The theories of elliptic curves, modular forms, and $L$-functions are too vast to be covered in a single volume, and their proofs are outside the scope of the undergraduate curriculum. However, the primary objects of study, the statements of the main theorems, and their corollaries are within the grasp of advanced undergraduates. This book concentrates on motivating the definitions, explaining the statements of the theorems and conjectures, making connections, and providing lots of examples, rather than dwelling on the hard proofs. The book succeeds if, after reading the text, students feel compelled to study elliptic curves and modular forms in all their glory.
This book is published in cooperation with IAS/Park City Mathematics Institute.
作者简介
目录信息
Title page 4
Contents 8
Preface 12
Introduction 16
Elliptic curves 32
Modular curves 92
Modular forms 114
????-functions 138
PARI/GP and Sage 162
Complex analysis 174
Projective space 186
The ????-adic numbers 194
Parametrization of torsion structures 200
Bibliography 204
Index 208
Back Cover
· · · · · · (收起)
读后感
评分
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用户评价
这本书对于L函数的讨论，尤其是其解析性质的推导，极具启发性。作者在阐述L函数的解析延拓和函数方程时，充分利用了模形式的傅里叶展开以及Hecke算子的性质。书中详细地展示了如何通过一个模形式的L函数，可以自然地关联到一个椭圆曲线的L函数，并且这个关联是双向的。对于Hecke L函数，作者从其定义出发，展示了如何通过模形式的傅里叶系数来计算L函数的乘积展开，并进一步证明了其解析延拓和函数方程。这些推导过程非常详尽，需要读者具备扎实的分析学和一些初步的代数数论知识。然而，作者的讲解清晰明了，并且通过大量的注解和提示，帮助读者理解每一步的逻辑。特别是书中对于L函数在数论中的作用的阐述，例如其与黎曼猜想的类比，以及在研究丢番图方程中的应用，都让我对L函数的重要性有了更深刻的认识。对于那些希望深入理解L函数的分析性质以及它们在数论研究中扮演的关键角色的读者，这本书提供了一个极为详尽且易于理解的指南。
评分这本书最令我印象深刻的是其对“模”这一概念的深入挖掘。作者并没有将模形式仅仅视为一类特殊的函数，而是将其置于模群（modular group）和模空间（modular spaces）的框架下进行考察。从最基础的SL(2,Z)作用在复上半平面上，到更一般的Gamma群，书中细致地阐述了模群的结构及其对复上半平面的作用。接着，作者巧妙地引入了模空间的概念，将模群的轨道空间几何化，并讨论了这些空间的性质，例如它们是光滑曲线，以及在黎曼面上的紧化。这些几何概念对于理解模形式的周期性、自守性质以及它们与椭圆曲线的对应关系至关重要。书中对于模函数（modular functions）的介绍，以及它们如何作为模空间的函数，更是将几何与分析紧密地结合起来。阅读过程中，我能够清晰地感受到作者在引导读者理解“模”的本质：它不仅是一种函数属性，更是一种贯穿于几何、分析和代数之间的深刻数学结构。对于希望深入理解模形式的“模”的含义及其在数学中的普遍性的读者，这本书提供了极为宝贵的视角。
评分《椭圆曲线、模形式，及其L函数》的阅读体验，与其说是学习，不如说是对数学世界的一次深入探索。作者在讲解过程中，经常会穿插一些历史趣闻和数学家的思想片段，这使得原本可能枯燥的数学推导变得更加生动有趣。我特别喜欢书中对于“模”这一概念的演变过程的描述，从早期数的整除性，到后来在复分析和代数几何中的体现，这种跨越时代的思想演进，让我看到了数学的生命力。此外，书中在介绍一些关键定理时，也鼓励读者去思考证明的“背后的故事”，例如Shimura关于模空间的研究，是如何从对模函数的研究中自然产生的。这种引导性的讲解方式，不仅帮助我理解了数学知识本身，更培养了我对数学研究方法的认识。这本书也让我体会到，数学知识的积累并非一蹴而就，而是需要不断地积累、思考和反思。它鼓励读者不要害怕复杂的理论，而是要耐心去理解每一个细节，去感受数学家们构建这些理论时的智慧和创造力。
评分这本《椭圆曲线、模形式及其L函数》无疑是一部鸿篇巨制，其深度和广度足以让任何一位致力于数论或相关领域的学习者为之着迷。我最近有幸翻阅了其中一部分章节，即便只是冰山一角，也足以让我窥见其内容的宏伟。作者在梳理椭圆曲线与模形式之间错综复杂的关系时，展现出了惊人的驾驭力，将原本看似毫不相干的两个数学分支巧妙地联系起来。从最基础的椭圆曲线方程出发，逐步引导读者理解其几何性质，再到如何通过模形式的强大工具来分析这些曲线，这个过程的铺陈极其细致，丝毫没有跳跃感。特别是对于模形式的介绍，作者并没有止步于定义和基本性质，而是深入探讨了其傅里叶展开、模群的作用以及Hecke算子等核心概念，为后续构建L函数奠定了坚实的基础。读到作者如何利用模形式的结构来推导椭圆曲线的迹公式时，我仿佛看到了一幅精密的数学机械在眼前运转，每一个齿轮的咬合都恰到好处，将抽象的理论具象化。这本书的价值在于它不仅提供了结论，更重要的是展示了严谨的推导过程，让读者能够真正理解“为什么”是这样，而不是简单地记住“是什么”。对于那些希望深入理解这些概念背后逻辑的读者来说，这本书无疑是一座宝藏，虽然研读它需要付出大量的精力和时间，但所得的知识回报将是无比丰厚的。
评分在阅读《椭圆曲线、模形式，及其L函数》的过程中，我最深刻的感受之一便是其对数学工具的精妙运用。作者在构建L函数理论时，充分展现了分析学、代数几何以及表示论等多个数学分支的交叉融合。特别是关于L函数的定义，从最开始的Dirichlet级数形式，到如何通过Gamma函数进行延拓，再到其函数方程的性质，每一步都充满了深刻的数学洞察力。作者对于这些分析性质的推导，如解析延拓和函数方程，并没有直接给出结果，而是详细地展现了通过模形式的傅里叶系数和Hecke算子与L函数的乘积展开之间的深刻联系。这种细致的讲解，让我能够理解L函数为何拥有这些美妙的性质，以及这些性质对于理解数论问题的关键作用。书中对于L函数在数论中的应用，例如与素数的分布、代数簇的算术性质的联系，也给予了充分的讨论。尽管一些部分涉及的表示论理论对我来说还需要进一步学习，但作者通过引入一些关键的概念和例子，使得整体的脉络是清晰可辨的。这本书不仅仅是关于椭圆曲线和模形式，它更是展示了如何利用一套强大的数学工具去探索数论深层结构的典范。
评分这本书在连接抽象的数学概念与具体的数论问题方面做得尤为出色。作者在介绍椭圆曲线和模形式时，并没有停留在理论层面，而是将其与一些经典的数论问题，如费马大定理，以及一些更现代的问题，如岛田-井元猜想（Iwasawa-Zariski conjecture）的某些变种，进行了联系。特别是书中对于费马大定理的证明如何依赖于Taniyama-Shimura猜想的讨论，是这本书的一大亮点。作者详细阐述了如何将一个特定的椭圆曲线（由费马方程定义）与一个模形式联系起来，如果这个联系不成立，那么费马方程就没有非平凡解。这个例子生动地展示了抽象的数论理论如何能够解决看似难以逾越的难题。此外，书中还探讨了L函数在研究高维代数簇的算术性质中的应用，例如算术数论中的一些重要猜想，虽然这些内容可能更具挑战性，但作者通过提供一些关键的引理和思路，让读者能够窥见其全貌。对于那些希望看到抽象数学理论如何应用于解决实际数论问题的读者，这本书无疑提供了丰富的例证。
评分这本书在概念的引入上非常扎实，为读者构建了一个坚实的理论基础。作者并没有急于展示高级理论，而是从最基本的概念出发，循序渐进地引导读者进入复杂的数学世界。例如，在介绍椭圆曲线时，书中首先详细阐述了其仿射和射影几何定义，以及群律的构造。然后，对模形式的介绍也从其在复上半平面的定义、模群的作用以及各种模空间的概念入手。这种细致的铺陈，对于初学者来说至关重要，它确保了读者能够真正理解后续章节中出现的更抽象的概念。在连接椭圆曲线和模形式时，作者巧妙地利用了模函数（modular functions）作为桥梁，详细阐释了它们如何将椭圆曲线的几何结构与模形式的分析性质联系起来。书中对于这些基本概念的讲解，充分考虑了数学的严谨性，同时也注重了概念的直观性，力求让读者在理解数学本质的同时，也能感受到其内在的美感。对于那些希望从头开始系统学习椭圆曲线和模形式理论的读者，这本书无疑提供了一个极为优越的学习路径。
评分这本书的深度和广度让我印象深刻，特别是它对L函数理论的系统性阐述。作者在介绍L函数时，并没有局限于单一的类型，而是广泛地涵盖了从Hecke L函数到更一般的自守L函数。在解释这些L函数如何与数学对象（如椭圆曲线、自守形式）相关联时，作者以一种非常系统化的方式进行了介绍。例如，对于椭圆曲线的L函数，书中详细阐述了如何从其点数模p的计算出发，通过Hasse-Weil L函数的形式定义，然后展示其与模形式L函数（如果存在）的联系，即Taniyama-Shimura猜想的数学内涵。此外，作者还深入讨论了L函数的“标准”性质，例如其解析延拓、函数方程以及其在亚伯尔伽罗瓦理论中的重要作用。这部分内容对于理解数论中一些最深刻的猜想，如BSD猜想，至关重要。本书的结构安排非常合理，循序渐进地引入概念，并始终强调不同数学对象之间的深层联系。对于希望系统掌握L函数理论及其在现代数论中地位的读者来说，这本书无疑是首选的参考资料，它提供的知识体系是完整且富有启发性的。
评分本书的结构组织和内容呈现，都体现了作者深厚的学术功底和教学经验。从基础概念的引入，到复杂理论的逐步构建，整个流程安排得井井有条。特别是在介绍Hecke算子与模形式的联系时，作者通过引入Hecke算子的傅里叶系数展开，并展示其与模形式的傅里叶系数之间的关系，一步步地构建起L函数的理论。这个过程不仅逻辑严谨，而且具有很强的启发性，让我能够理解L函数为何能够编码数论信息。书中对于L函数的性质，如解析延拓和函数方程的推导，也处理得非常到位，这些推导虽然需要一定的分析学基础，但作者的讲解清晰且有条理，使得理解过程相对顺畅。此外，书中还对一些现代数论中的前沿问题，如BSD猜想的某些方面，进行了简要介绍，并指出L函数在这些问题中的关键作用。这种将经典理论与前沿研究相结合的方式，极大地扩展了我的视野，让我认识到这些数学工具的潜力和价值。对于任何希望深入理解现代数论核心概念的读者，这本书提供了一个非常系统且深入的框架。
评分这本书的叙事风格非常引人入胜，尤其是它对历史背景和思想演变的细致描绘。我并非数学科班出身，但通过这本书，我仿佛置身于数学发展的历史长河之中，见证了诸如Eichler、Shimura、Taniyama、Weil等伟大数学家是如何一步步揭示椭圆曲线和模形式之间深层联系的。作者并非简单罗列定理和证明，而是将这些概念的诞生和发展过程融入到叙述中，使得枯燥的数学理论变得生动起来。我尤其欣赏作者在介绍Taniyama-Shimura猜想（现在已是Weil定理）时的处理方式，它不仅详述了猜想的内容，更解释了它是如何从对模形式和椭圆曲线独立的研究中涌现出来的，以及它对整个数论领域产生的革命性影响。书中对于谷山-志村定理的证明思路的梳理，虽然逻辑上非常严谨，但作者通过穿插一些直观的解释和类比，大大降低了理解的门槛。它让我认识到，数学的进步往往是不同领域思想碰撞的结果，而这种跨领域的联系，正是这本书的核心魅力所在。对于任何对数学史和数学思想感兴趣的读者而言，这本书绝对是一次难忘的阅读体验，它不仅是理论的教科书，更是思想的启迪者，让我看到了数学家们探索未知世界的智慧与勇气。
评分最有用的部分是介绍Sage的附录
评分一本薄书介绍三个大对象，必须是导引书，但导引的不错。
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