简明数学(上册) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:中国铁道出版社

作者:

出品人:

页数:227

译者:

出版时间:1999-01

价格:10.00

装帧:平装

isbn号码:9787113033330

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 小学数学
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• 简明数学
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好的，这是一本名为《深入几何构造与拓扑学基础》的图书简介，旨在探索空间、形状与结构在数学中的核心地位，完全不涉及您提到的《简明数学（上册）》的内容。 --- 图书简介：《深入几何构造与拓扑学基础》 探索无限空间的奥秘，揭示形态背后的严谨逻辑 在数学的宏伟殿堂中，几何学与拓扑学构成了我们理解空间、维度和连续性的基石。本书《深入几何构造与拓扑学基础》并非对基础算术或代数概念的简单回顾，而是一次对现代几何思维和拓扑学原理的系统性、深度探索。我们旨在为读者提供一把钥匙，去开启那些隐藏在欧几里得平面之外，直至高维流形之上的复杂而美丽的数学世界。 本书的编写理念根植于“结构决定性质”的深刻洞察。几何学不再仅仅是关于尺子和圆规的绘图艺术，而是一种关于度量、变换与不变性的严谨科学。拓扑学，则进一步将这种研究提升到了一个更抽象的层面，专注于那些在连续形变下保持不变的内在属性。 全书内容被划分为四大核心部分，层层递进，引导读者从直观感受过渡到形式证明。 --- 第一部分：欧几里得几何的超越与解析几何的统一 本部分首先回顾了古典几何的精髓，但迅速将其置于更广阔的分析框架之下。我们不再满足于勾股定理的简单应用，而是深入探讨射影几何的基本原理。射影几何揭示了透视关系背后的不变性，如交比（Cross-Ratio）的定义及其在不同投影下的保持性。我们将详细剖析射影平面 $mathbb{P}^2$ 的构造，并探讨其如何自然地统一了平行线概念——所有平行线在无穷远点相交于无穷远线。 紧接着，我们将引入微分几何的萌芽。虽然本书并非专门的微分几何教材，但理解曲线和曲面的局部性质是后续拓扑学研究的必要铺垫。我们详细论述了欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中曲线的曲率和挠率（Curvature and Torsion）的精确计算方法，以及它们如何通过弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式组刻画了空间曲线的局部运动。对于曲面，本书侧重于第一、第二基本形式，并精确定义了高斯曲率和平均曲率，探讨了著名的Theorema Egregium（卓越定理），即高斯曲率是内蕴（Intrinsic）的，不依赖于曲面嵌入空间的方式。 --- 第二部分：拓扑学基础——空间的“橡皮泥”视角 拓扑学的核心在于“形变下的不变量”。本部分将严格构建点集拓扑学的理论体系。 我们从最基础的拓扑空间定义开始，探讨开集、闭集、邻域的概念，并引入了紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）这两个至关重要的拓扑性质。我们将展示，紧致性如何等价于Heine-Borel定理（在 $mathbb{R}^n$ 中），以及它在分析学中应用的重要性。连通性则通过路径连通性进行深入剖析，理解一个空间是否可以被分割。 随后，本书将深入讲解度量空间（Metric Spaces）。度量空间提供了量化“距离”的框架，是所有分析和拓扑概念的根基。我们不仅讨论欧几里得度量，还会考察如曼哈顿度量（$L_1$）和切比雪夫度量（$L_infty$），并探究不同度量如何诱导出相同的拓扑结构。 另一个重点是连续函数的拓扑定义：一个函数 $f: X o Y$ 是连续的，当且仅当其原像（Pre-image）对 $Y$ 中的任意开集都是开集。我们将利用这一定义，系统地证明连续函数保持拓扑性质，例如连续函数将紧致集映射到紧致集，将连通集映射到连通集。 --- 第三部分：构造性拓扑——代数工具的引入 拓扑学真正的力量在于其能够利用代数工具来区分拓扑上本质不同的空间。本部分将进入代数拓扑学的核心领域。 我们将首先介绍同伦论（Homotopy Theory）的初步概念。同伦是拓扑学中最直观的形变概念，本书将定义路径和同伦，并介绍基本群（Fundamental Group） $pi_1(X)$。基本群是衡量空间中“洞”数量的代数不变量。我们将详细计算一些经典空间的 $pi_1$，例如圆周 $S^1$ 的基本群是 $mathbb{Z}$，以及圆盘 $D^2$ 的基本群是平凡群 ${e}$。这为理解布劳威尔不动点定理等奠定了基础。 在代数工具的应用方面，我们将探讨商拓扑空间（Quotient Spaces）的构造——这是理解球面、环面等抽象表面如何通过粘合（Gluing）过程形成的数学机制。通过粘合，我们可以严格构造出柏氏立方体、莫比乌斯带和克莱因瓶。 克莱因瓶（Klein Bottle）的构造与性质是本部分的亮点。本书将清晰地展示克莱因瓶如何在四维空间中嵌入，以及它作为不可定向曲面的拓扑特征。我们还会讨论可定向性的严格定义，并证明莫比乌斯带和克莱因瓶的非可定向性。 --- 第四部分：流形与抽象空间的概念框架 在理解了基础拓扑之后，本书将视角转向更高维度的结构——流形（Manifolds）。流形是局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。 我们将严格定义n维流形的结构，包括拓扑图册（Atlas）和坐标变换（Transition Maps）的要求。理解流形的意义在于，即使空间整体结构复杂，其在局部依然是可测度和可微分的。 本书将重点分析球面 $S^n$ 作为最基础的紧致流形。我们将探讨球面上的拓扑结构，引入球面上的向量场和布劳威尔不动点定理在二维和三维情况下的严格证明。 最后，我们将探讨嵌入理论和拓扑嵌入的概念，为后续进入微分几何和微分拓扑学做好准备。读者将理解，为什么区分嵌入在一个高维空间中的低维对象（如将圆环嵌入 $mathbb{R}^3$ 或 $mathbb{R}^4$）是拓扑学中的一个重要研究课题。 --- 适用读者与本书特点 本书面向具备扎实微积分和线性代数基础，并对数学结构有强烈求知欲的理工科高年级本科生、研究生以及希望系统梳理拓扑学思想的数学爱好者。 本书的特点在于： 1. 严谨性与直观性的平衡： 每一个抽象定义都辅以具体的几何实例和可视化解释。 2. 内生性发展： 从基础概念出发，逐步构建起同伦群、流形等高级结构，保证知识体系的连贯性。 3. 侧重内在结构： 强调不变性、局部性质与整体结构之间的深刻联系，而非仅仅停留在公式推导。 通过阅读《深入几何构造与拓扑学基础》，读者将不仅仅是学习了一套数学工具，更是培养了一种用更抽象、更具韧性的眼光去审视物理世界和数学空间的思维模式。

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作为一本“上册”，它成功地做到了为后续的深入学习打下坚不可摧的地基。我之前接触过几本号称“入门级”的数学读物，要么内容太浅，翻两下就看完了，缺乏实质性的知识积累；要么就是难度曲线陡峭得吓人，第一章就让人望而却步。而《简明数学(上册)》的难度过渡极其平滑和人性化。它会用一个章节的篇幅来巩固一个核心概念，绝不急于求成。例如，对于函数与极限的引入部分，它用了远超一般教材的篇幅来讨论“极限”这个概念的直觉理解和形式化定义之间的桥梁，这种细致入微的处理，确保了读者不会因为对基础概念的模糊认识而为后续的学习埋下隐患。书中提供的习题设计也十分用心，它们不是那种纯粹的机械计算题，而是巧妙地结合了逻辑推理和概念应用，让人在练习的过程中真正检验自己是否掌握了作者想传达的核心思想。我尤其喜欢那些需要用到不止一个知识点才能解决的综合题，它们极大地锻炼了融会贯通的能力，让学习不再是孤立模块的堆砌。

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这本书的结构编排，简直可以称得上是一次精妙的“数学漫步”。它不是简单地按照传统教材的顺序罗列知识点，而是仿佛在设计一条精心规划的路线图，每一步的提升都带着强烈的目的性。比如，在探讨某个抽象的代数概念时，它会先通过一个非常贴近生活的物理模型引入，让读者在不经意间体会到这种抽象工具的实用价值，然后再逐步抽象化。这种“从具体到抽象”的引导，让学习过程充满了一种“原来如此”的顿悟感，而不是被动接受的填鸭式教育。我特别欣赏它对“为什么”的强调，很多数学书只告诉你“是什么”和“怎么做”，但这本书会时不时地停下来，用非常清晰的语言解释一个定理被提出背后的动机和历史脉络，这使得数学不再是冰冷的公式集合，而是一门有生命力的、不断发展的科学。我昨天晚上对照着书本上的例题进行自我测试，发现那些被我标记为“难啃”的知识点，在经过这本书的梳理后，清晰度大大提高，解题思路也变得开阔了许多，这完全得益于它逻辑链条的紧密和严密性。

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这本书的语言风格，我用“克制而有力”来形容最为恰当。它没有使用华丽的辞藻来修饰数学的优美，而是用一种近乎于工程师般的精确和简洁来构建知识体系。行文流畅，逻辑链条清晰可见，仿佛有一条无形的导轨，牵引着读者的思维在数学的世界中前进，让人很难在其中迷失方向。即便是对于那些通常被认为是枯燥的证明环节，作者也通过巧妙的语句结构和清晰的步骤分解，使其更具可读性。我感觉自己不是在“啃”一本教材，而是在与一位经验丰富的、逻辑严密的导师进行一对一的深入交流。书中在讨论完一个主要定理后，总会有一个小小的“总结与展望”环节，这不仅是对本节内容的凝练，更是为后续章节埋下伏笔，让人对整本书的知识架构有宏观的把握。这本书的价值不仅仅在于传授知识，更在于塑造一种严谨的数学思维方式和严密的逻辑习惯，这对于任何理工科学习者来说，都是比知识本身更为宝贵的财富。

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这本《简明数学(上册)》的封面设计真是让人眼前一亮，那种简洁中透露着严谨的气息，非常符合我对一本数学教材的期待。我拿到书的时候，立刻被它清晰的排版和适中的字体大小吸引住了。翻开第一页，映入眼帘的是对基础概念的定义，它们被阐述得异常精准，几乎没有歧义，这对于初学者来说简直是福音。作者显然在如何用最少的文字表达最深刻的数学思想上下了很大功夫。比如，对于集合论的介绍，没有冗长复杂的历史背景，而是直奔核心逻辑，通过精妙的例子让抽象的概念变得触手可及。而且，书中穿插的那些小知识点拓展，虽然不是主干内容，却极大地丰富了我们对数学世界的认知，让人在学习过程中不至于感到枯燥。我尤其欣赏的是，作者似乎深谙学习者的心理，在引入新知识点之前，总会有一个前导性的回顾，巧妙地将旧知和新知连接起来，使得知识的迁移和构建过程非常自然流畅。它不是那种堆砌公式和定理的“死”教材，而是真正引导你去“思考”数学的工具书。我已经迫不及待地想深入研读接下来的章节，相信它会为我后续更深层次的学习打下坚实的基础。这本书的厚度适中，拿在手里分量感十足，预示着内容的充实与深度，而非虚浮的篇幅。

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说实话，我对市面上很多数学书都抱有一种戒心，很多为了追求“简明”而过度简化，导致核心思想一笔带过，反而成了“简而不精”。然而，这本《简明数学(上册)》完全打破了我的这种刻板印象。它的“简明”是建立在对知识体系深刻理解的基础上的，它没有回避那些需要硬啃的难点，而是用一种极其巧妙的“解构”方式，将复杂的证明过程层层剥开，直到露出最本质的逻辑骨架。我试着去理解其中一个关于微积分预备知识的章节，通常这部分内容需要大量的背景铺垫，但这本书的处理方式是先给出直观的几何解释，再平滑地过渡到代数表述，这种多维度的讲解方式极大地降低了理解的门槛。我发现，即便是平时最容易让人混淆的那些定义边界和特例，作者也处理得非常到位，标注得非常清晰，避免了学习者在应用时产生误判。这种对细节的把控，体现了编纂者极高的专业素养和对教学规律的深刻洞察。阅读体验上，纸张的质量也值得称赞，墨色均匀，反光度控制得很好，长时间阅读下来眼睛的疲劳感明显减轻，这对于需要长时间面对公式和文字的学科来说，是一个非常重要的加分项。

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