Computing in Algebraic Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Lossen, Christoph

出品人:

页数:343

译者:

出版时间:

价格:$ 79.04

装帧:

isbn号码:9783642067013

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• 计算机科学
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《代数几何计算》—— 开启数学探索的新篇章 在抽象的数学世界里，代数几何以其独特的魅力，将代数的严谨与几何的直观巧妙融合。它不仅仅是一门研究代数方程组几何形态的学科，更是一门能够揭示数学深层结构的强大工具。然而，代数几何的概念往往复杂深邃，其背后涉及的计算更是耗时且易出错。正是在这样的背景下，《代数几何计算》应运而生，它旨在为读者提供一套系统、高效且实用的计算方法与工具，打破理论与实践之间的壁垒，让代数几何的魅力触手可及。 本书并非简单罗列枯燥的定义和定理，而是致力于构建一座连接抽象理论与具体计算的桥梁。我们将带领读者深入代数几何的核心，从最基础的代数簇概念出发，逐步探索多项式环、理想、格罗布纳基（Gröbner）基等关键理论。在每一个理论概念的讲解之后，我们都会紧随其后，深入剖析如何将这些抽象的数学对象转化为可计算的算法。这意味着，读者不仅能够理解“是什么”，更能掌握“怎么做”。 想象一下，我们面对一个由一组代数方程定义的几何形状。我们想要了解它的拓扑性质、它的维度、它的奇点，甚至想要找到它在某个变换下的新形态。在过去，这些问题可能需要数小时甚至数天的手工计算，并且充满了出错的风险。而《代数几何计算》将教会你如何利用强大的计算工具，诸如计算机代数系统（CAS），来自动化这些复杂的计算过程。我们将详细介绍格罗布纳基在求解多项式方程组中的核心作用，以及如何利用它来判断方程组是否有解、求解所有解、以及理解解集的结构。 本书的一大特色在于其对计算方法的深入剖析。我们不满足于仅仅告知读者“使用某个函数即可”，而是会深入讲解算法背后的数学原理。例如，在介绍格罗布纳基的构造过程时，我们将详细阐述S-多项式（S-polynomial）的定义、多项式除法（polynomial division）的推广形式，以及如何通过不断约简来逼近格罗布纳基。这些深入的讲解，将帮助读者建立起对算法的直观理解，从而能够灵活运用，甚至为新的计算问题设计出新的算法。 我们还将触及代数几何中一些更为高级的主题，但始终以计算和应用为导向。例如，在讨论代数簇的相交性时，我们将引入相交数（intersection numbers）的概念，并展示如何利用格罗布纳基来计算它们，这对于理解几何对象的相互关系至关重要。本书还将探讨射影代数几何（projective algebraic geometry）中的计算问题，比如求解齐次方程组、理解射影簇的性质等。 本书的另一个亮点在于其对实际应用的关注。代数几何计算的强大能力，使其在众多领域展现出巨大的价值。我们将通过具体的例子，展示代数几何计算如何在计算机图形学中用于曲线和曲面的建模与求交，在密码学中用于设计和分析新的加密算法，在机器人学中用于运动规划与逆运动学计算，甚至在生物信息学中用于基因调控网络的建模。这些应用场景的介绍，将极大地激发读者对代数几何计算的兴趣，并让他们看到理论知识在解决实际问题中的强大力量。 为了让读者能够更好地掌握这些计算方法，本书将穿插大量的例子和练习。每一个例子都将从实际问题出发，逐步引导读者应用所学的理论和计算技巧，最终解决问题。练习题则设计得由浅入深，既有巩固基本概念的题目，也有挑战思维、需要综合运用多项知识的题目。我们鼓励读者在阅读过程中，积极动手实践，利用现有的计算机代数系统（如Mathematica, Maple, SageMath等）来验证我们的计算，并尝试解决更复杂的问题。 《代数几何计算》并非一本纯粹的理论教科书，也不是一本简单的软件操作指南。它是一本旨在赋能读者的书，让你能够真正掌握代数几何的计算艺术。无论你是数学专业的研究生，希望深入理解代数几何的计算原理；还是计算机科学领域的从业者，希望将代数几何的强大计算能力应用于你的工作中；抑或是对数学充满好奇心的爱好者，希望探索代数几何的魅力，本书都将为你提供一条清晰的学习路径。 我们将从最基础的代数概念讲起，确保即使是初学者也能顺利入门。同时，我们会逐步引入更复杂的概念和技术，满足有一定基础的读者深入学习的需求。本书的内容结构清晰，逻辑严谨，语言生动，力求在保证学术严谨性的同时，让阅读过程充满乐趣。 例如，在介绍代数簇时，我们将首先回顾多项式环和理想的基本性质，然后定义代数簇的几种等价定义，并展示如何通过多项式方程组来刻画几何对象。接着，我们将深入探讨理想的结构，特别是格罗布纳基的定义和性质，并给出构造格罗布纳基的算法。我们会详细解释Buchberger算法的工作原理，并提供具体的例子来说明如何计算一个理想的格罗布纳基。 在掌握了格罗布纳基之后，我们将学习如何利用它来解决一系列代数几何中的基本问题。比如，如何判断一个多项式是否属于某个理想，即“成员资格问题”（membership problem）。我们将展示格罗布纳基如何将这个问题转化为一个简单的约简问题。接着，我们将讨论如何利用格罗布纳基来求解多项式方程组，包括判断方程组是否有解、求解所有解，以及求解方程组的维度。 本书还将深入探讨代数簇的几何性质，并展示如何利用格罗布纳基来计算这些性质。例如，我们将介绍如何计算代数簇的维度，如何检测代数簇的奇点，以及如何分析代数簇的连通分支。这些几何性质的计算，将为我们理解和分析复杂的几何对象提供有力的工具。 此外，我们还会简要介绍一些代数几何中更高级的主题，如概形（schemes）和概形论（sheaf theory）的计算思想，但会以一种更容易理解的方式呈现，并且重点关注其在计算上的应用。我们也会探讨一些在数值代数几何（numerical algebraic geometry）中的计算方法，这些方法在处理高维、高次数的方程组时尤为有效。 《代数几何计算》的最终目标是赋予读者独立解决代数几何计算问题的能力。我们希望通过本书的学习，读者能够熟练运用计算机代数系统进行代数几何的计算，能够理解并改进现有的计算算法，甚至能够将代数几何的计算方法推广到新的领域。 在本书的最后，我们将对代数几何计算的未来发展趋势进行展望，并鼓励读者继续探索这个充满活力的数学领域。我们相信，掌握了代数几何的计算方法，你将能够以全新的视角去理解和解决科学、工程和社会中的各种复杂问题，开启一段令人兴奋的数学探索之旅。

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这本书的理论深度和广度令人叹为观止，它成功地在学术的严谨性与知识的普及性之间找到了一个完美的平衡点。书中涉及的各个分支领域，无不展现出作者深厚的学术积累和开阔的视野，对核心概念的阐述鞭辟入里，对前沿进展的梳理也紧跟时代脉搏。更难能可贵的是，作者没有仅仅停留在理论的层面，而是结合了大量的实际案例和历史背景进行佐证和阐释，使得抽象的理论变得具体可感，富有生命力。这种对知识体系的全面掌控力，让这本书不仅仅是一本参考书，更像是一部充满智慧的百科全书，为读者提供了多维度的思考角度和深入探究的阶梯。

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我尤其欣赏这本书的结构设计，它仿佛经过了精心的编排，层次分明，脉络清晰。章节之间的过渡自然而然，知识的递进关系建立得非常牢固，从基础到高阶的攀升过程设计得极其人性化。每一章末尾的总结和习题设计得富有启发性，它们并非简单的知识点重复，而是巧妙地引导读者进行更高层次的思考和应用，真正做到了学以致用。书中的图表和示意图的使用也极为恰当，有效地可视化了复杂的结构和关系，极大地辅助了读者的理解。整体来看，这本书的组织结构体现了一种高度的逻辑美学，确保读者在阅读过程中能够始终保持清晰的思路，避免了知识点零散混乱的弊病。

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