Algebraic Number Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Neukirch, Jurgen; Neukirch, J. Rgen; Schappacher, Norbert

出品人:

页数:574

译者:

出版时间:2010-12-10

价格:USD 169.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783642084737

丛书系列:

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探寻数域的深邃殿堂：代数数论导论 本书旨在为读者开启代数数论这一迷人而深刻的数学领域的大门。我们将一同踏上一段探索数域（number fields）性质的旅程，这些数域是整数集合向更广阔空间的自然延伸，它们在数论、代数几何以及表示论等众多数学分支中扮演着核心角色。本书将循序渐进地介绍代数数论的基本概念、工具与技术，并辅以丰富的例子和练习，帮助读者构建扎实的理论基础，并初步领略其应用的广度与深度。 第一章：数域与整数环的初步探索 本章将从最基础的概念入手，介绍什么是数域。我们将定义数域为有理数域 $mathbb{Q}$ 的有限扩张，并引入代数整数（algebraic integers）的概念。读者将了解到，数域中的“整数”并非仅仅是有理整数，而是满足特定多项式方程的代数数。我们将重点研究数域 $K$ 的整数环 $O_K$，探讨其作为环的基本性质，并为后续章节的学习打下基础。 数域的定义与构造： 介绍域扩张的概念，如 $K/mathbb{Q}$，并给出数域的精确定义。我们将通过具体的例子，例如二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$，来具体说明数域的构造。 代数整数： 定义代数整数，并证明一个代数数是代数整数当且仅当它是一个首一整系数多项式的根。我们将探讨代数整数的性质，例如它们的和、差与积仍然是代数整数。 整数环 $O_K$： 定义数域 $K$ 的整数环 $O_K$ 为 $K$ 中所有代数整数的集合。我们将讨论 $O_K$ 作为 $mathbb{Z}$-模的性质，并初步探讨其作为环的结构。 例子： 详细分析二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的整数环，特别是当 $d equiv 2, 3 pmod{4}$ 和 $d equiv 1 pmod{4}$ 时的不同情况。 第二章：理想的理论：迪利克雷和唯一分解 在数域的整数环中，我们面临的一个核心问题是：整数环是否具有唯一分解性，即其中的元素是否能唯一地分解为不可约元素的乘积？与有理整数的唯一分解不同，许多数域的整数环并不具备这样的性质。本章将引入“理想”（ideals）的概念，这是代数数论的核心工具之一。我们将证明，在任意数域的整数环中，理想都具有唯一的素分解性，这一结果具有极其重要的理论意义。 环的理想： 回顾环论中理想的基本概念，包括左理想、右理想和双边理想。在代数数论中，我们主要关注整环中的双边理想。 数域整数环中的理想： 定义数域 $K$ 的整数环 $O_K$ 中的理想。我们将证明 $O_K$ 是一个诺特环（Noetherian ring），这意味着其每一个理想都由有限个元素生成。 素理想与极大理想： 定义素理想和极大理想，并探讨它们之间的关系。在整环中，一个非零理想是素理想当且仅当它不为零且商环是整域。 理想的分解： 证明数域整数环中的任意非零理想都可以唯一地分解为有限个素理想的乘积。这是代数数论中最深刻和最有力的结果之一，它克服了元素分解的障碍。 例子： 考虑整数环 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$，其中 $6 = 2 imes 3 = (1 + sqrt{-5})(1 - sqrt{-5})$，元素分解不是唯一的。然而，通过理想的理论，我们可以看到素理想的唯一分解。 第三章：迪利克雷单位定理：数域中的单位结构 数域的整数环中的“单位”是指那些存在乘法逆元的元素。例如，在整数环 $mathbb{Z}$ 中，单位是 $1$ 和 $-1$。在更一般的数域整数环中，单位的结构往往比有理整数复杂得多。迪利克雷单位定理（Dirichlet's Unit Theorem）揭示了这些单位的精妙结构：它们可以被表示为有限个“基本单位”的乘积，并且这些基本单位的形式与数域的迹（trace）和范数（norm）密切相关。 单位元的定义： 定义环中的单位元，即存在乘法逆元的元素。 数域整数环中的单位： 探讨数域 $K$ 的整数环 $O_K$ 中的单位群 $O_K^ imes$。 迪利克雷单位定理： 详细阐述迪利克雷单位定理的表述，即单位群 $O_K^ imes$ 是一个有限生成阿贝尔群，其秩为 $r_1 + r_2 - 1$，其中 $r_1$ 是实嵌入的数量，$r_2$ 是复嵌入的数量。 基本单位： 介绍基本单位的概念，它们是生成单位群的关键元素。 定理的证明思路： 简要介绍迪利克雷单位定理的证明思路，例如利用对数映射将单位群映射到一个欧几里得空间中，然后分析该空间中的格点结构。 例子： 分析二次域 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 和 $mathbb{Q}(sqrt{5})$ 的单位结构，找出它们的基本单位。 第四章：类数问题：理想类群的结构 类数（class number）是代数数论中一个极其重要但又常常难以计算的量。它衡量了一个数域的整数环在理想分解方面偏离唯一分解的程度。类数等于该数域的理想类群（ideal class group）的阶数（order）。理解和计算类数是代数数论中的一个核心挑战，并且与许多数论猜想（如黎曼猜想的数域推广）有着深刻的联系。 分式理想（Fractional Ideals）： 引入分式理想的概念，它们是整数环中理想的推广，允许分母的出现，这使得我们能够构造一个更自然的群结构。 理想类群： 定义数域 $K$ 的理想类群 $Cl(K)$，它是由所有分式理想的等价类组成的群，其群运算是分式理想的乘积。 类数的定义： 定义类数 $h_K$ 为理想类群 $Cl(K)$ 的阶数。 唯一分解与类数： 证明数域的整数环具有唯一分解性当且仅当其类数为 $1$。 计算类数的挑战： 讨论计算类数的困难性，并介绍一些用于估计或计算类数的方法，如用范数界或阿蒂亚-辛格指数定理的类比。 例子： 介绍一些类数为 $1$ 的二次域（例如 $mathbb{Q}(sqrt{3})$），以及类数大于 $1$ 的例子（例如 $mathbb{Q}(sqrt{-5})$）。 第五章：判别式与局部化：深入理解数域的结构 判别式（discriminant）是一个数域的重要不变量，它包含了关于数域的结构信息，例如其素因子分解行为。局部化（localization）是一种强大的代数工具，它允许我们在“局部”地研究代数结构，这在数域理论中尤为有用。本章将深入探讨判别式的性质，并介绍局部化在数域研究中的应用，特别是对于理解素理想的分解。 判别式的定义： 定义数域 $K$ 的判别式 $Delta_K$，通常与 $O_K$ 的基张成的格的行列式相关。 判别式与素理想分解： 探讨判别式如何影响素数在数域中的分解方式。例如，一个素数 $p$ 在数域 $K$ 中的分解行为与 $p$ 与 $Delta_K$ 的关系密切。 局部化： 定义一个环在一个素理想下的局部化。我们将证明，在数域整数环的局部化下，理想的结构变得更加清晰。 戴德金整环（Dedekind Domain）： 介绍戴德金整环的概念，并证明数域的整数环是戴德金整环。这一性质是理想唯一分解定理的关键前提。 例子： 通过具体的例子，展示判别式如何影响素数在二次域中的分解，例如 $p$ 分裂（split）、惰性（inert）或分歧（ramify）。 第六章：循环域与高斯和：数论的深刻联系 本章将进一步深入代数数论与数论其他分支的联系。我们将介绍循环域（cyclotomic fields），即由单位根生成的数域。这些域在数论中扮演着至关重要的角色，并且与高斯和（Gaussian sums）等深刻的数论对象相关联。通过研究循环域，我们可以窥见代数数论解决古老数论问题的力量。 单位根与循环域： 定义本原 $n$ 次单位根 $zeta_n = e^{2pi i/n}$，并引入循环域 $mathbb{Q}(zeta_n)$。 循环域的整数环： 确定循环域的整数环。 高斯和： 定义并研究高斯和，它们是关于单位根的指数和，在数论中具有广泛的应用。 克罗内克-韦伯定理（Kronecker-Weber Theorem）： 简要介绍克罗内克-韦伯定理，该定理说明任何阿贝尔扩域（abelian extension）都是某个循环域的子域。 循环域在数论中的应用： 探讨循环域如何被用来解决一些重要的数论问题，例如费马大定理的某些情况。 第七章：椭圆曲线与模形式的代数数论视角 代数数论的理论不仅仅局限于数域本身，它还为研究更复杂的数学对象提供了强大的框架。本章将初步介绍代数数论如何应用于研究椭圆曲线（elliptic curves）和模形式（modular forms）等现代数学研究的前沿课题。我们将展示，通过将这些对象嵌入到数域的框架中，我们可以获得关于它们的深刻洞察。 椭圆曲线简介： 简要介绍椭圆曲线的代数几何定义，并提及它们在密码学和数论中的重要性。 模形式简介： 简要介绍模形式的定义，以及它们与整数论和表示论的联系。 复乘（Complex Multiplication）： 讨论具有复乘的椭圆曲线，它们具有特殊的代数数论性质。 模形式与代数数论： 探讨模形式的傅里叶系数与代数数论之间的联系，以及谷山-志村猜想（Taniyama-Shimura conjecture，现已证明为谷山-志村定理）等重要结果。 应用的前景： 展望代数数论在这些前沿领域中的进一步应用。 结语 本书所介绍的代数数论只是这个广阔领域的冰山一角。然而，通过掌握这些基本概念和工具，读者将能够更深入地理解数论的内在结构，并为进一步探索更高级的主题打下坚实的基础。代数数论以其抽象的美感和解决古老数学难题的能力，吸引着一代又一代的数学家。希望本书能够激发您对这一迷人学科的浓厚兴趣，并引导您踏上更深入的探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

1. 研究生阶段读过，算起来应该是2007年左右的事了。 前两章处理的不错，比S. Lang的书要更容易入门 第三章当时缺乏一些基本的知识，没有读。 随后的四、五、六三章是类域论。当时硬生生的读了下来。 最有用的是Adele语言的那部分东西。 第7章，对于Dedekind Zeta函数，其证明...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

这本书在处理一些“边缘”但却极具启发性的主题时，表现出了令人惊喜的敏锐度。它并没有仅仅局限于最主流、最“安全”的定理集合，而是勇敢地涉足了一些前沿且仍在发展中的领域。例如，对某个特定代数结构的连接如何影响到几何拓扑的讨论，虽然篇幅不长，但其暗示的未来研究方向极具前瞻性。这使得这本书不仅仅是一部回顾历史的巨著，更像是一张指引未来探索的地图。它在章节末尾提出的开放性问题，往往能激发人强烈的求知欲。我感受到作者在撰写过程中，始终保持着一种对领域未来走向的深刻洞察力。对于那些希望站在当前研究前沿，并试图将不同数学分支联系起来的年轻学者，这本书提供了绝佳的跨界思维训练。它成功地避免了成为一本僵化的参考手册，反而充满了生命力和思想的活力，让人在阅读完基础内容后，仍有持续探索下去的动力和明确的方向感。

评分☆☆☆☆☆

初次接触这本书，我最大的感受是它的“硬核”程度远超预期。我本来以为这是一本比较“友好”的导论性质的教材，毕竟很多现代数学书籍都在努力降低入门门槛。然而，这本书几乎是以一种近乎冷峻的姿态，直击问题的核心。作者似乎并不急于安抚初学者的不安，而是直接展示了理论的全部力量。书中大量的篇幅用于构建严密的理论框架，尤其是在处理一些高度抽象结构时，需要读者具备扎实的代数基础和对结构主义思想的深刻理解。我花了好几周的时间才勉强跟上前几章的节奏，其中涉及到的一些构造和范畴论的影子，使得原本就复杂的论证更添一层迷雾。尽管如此，一旦跨过那个“陡峭的坡”，你会发现其内部逻辑的精妙和统一性令人叹为观止。它迫使你跳出传统的线性思维，用一种更广阔的视角去审视数学对象之间的关系。这本书的价值在于，它训练的不仅是你的计算能力，更是你的数学直觉和抽象思维的上限。我个人认为，这本书更适合作为第二轮甚至第三轮学习的进阶读物，而不是作为接触该领域的第一块垫脚石。

评分☆☆☆☆☆

这本书在引用和参考文献的处理上做得非常出色，体现了作者深厚的学术功底和对领域内脉络的清晰把握。它不仅仅罗列了重要的定理和证明，还巧妙地穿插了对不同学派观点的讨论，甚至会提及一些历史上的“非主流”观点，这极大地丰富了我的视野。例如，在介绍某个关键性构造时，它会并列给出两种主要的证明思路，并分析各自的优缺点和适用范围。这种对比性的论述方式，让读者能够清晰地看到不同数学家解决同一问题的角度差异，从而理解理论的多元性。我发现自己经常在阅读一个证明后，会不由自主地去查阅书中引用的那几篇经典论文，试图从更原始的语境中去体会作者的初衷。这种“带着问题阅读”的模式，极大地提升了我对知识的吸收效率。对于那些希望建立起自己独立研究体系的读者来说，这本书提供的不仅仅是知识点，更是一种高水平的学术研究范式。它教会你如何批判性地阅读一篇数学论文，如何在一个成熟的理论体系中找到创新的切入点。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计简直是教科书的典范，封面那种沉稳的墨绿色配上烫金的字体，拿在手里就感觉到了它厚重的学术分量。纸张的质感也非常好，印刷清晰，排版一丝不苟，阅读体验十分舒适。我是在准备某个高级数学研讨会时决定入手这本书的，主要是冲着它在某个特定领域的权威性去的。这本书的逻辑结构非常严谨，从最基础的概念娓娓道来，逐步深入到复杂的证明和定理的推导过程中，层次感极强。每一个章节的过渡都处理得非常自然，仿佛作者早已预知了读者可能产生的疑惑，并提前在后续的内容中给出了解答。尤其欣赏它对历史背景的梳理，让读者在学习抽象概念的同时，也能体会到数学思想的演变过程，这对于理解“为什么是这样”比单纯记住公式更为重要。它绝不是一本可以快速翻阅的书，需要沉下心来，反复揣摩其中的每一个细节，但每一次深入的阅读都会带来新的感悟和理解的飞跃。对于志在深入钻研该领域的研究生和学者来说，这本书无疑是案头必备的参考书目，其提供的深度和广度是其他入门读物难以企及的。

评分☆☆☆☆☆

从教学的角度来看，这本书的习题设置是这本书最引人入胜，也最令人头疼的部分。习题并不是简单的公式套用或者概念复述，而是真正意义上的“思考题”。很多题目本身就凝结了某个重要的引理或结论，需要读者花费大量时间去探索。我特别喜欢那些标记为“选做”或“补充”的难题，它们往往需要综合运用前面几章的多个知识点才能攻克。例如，有一个关于模空间结构的习题，我花了整整一个周末才勉强理清思路，但当我最终写出完整的证明链条时，那种成就感是无与伦比的。这本书的价值很大程度上就体现在这些“动手实践”的过程中。它有效地弥补了纯理论书籍在应用性上的不足，让抽象的概念变得可操作、可检验。不过，我必须提醒那些自学的读者，一定要准备好一本详细的解题笔记或者找一个可靠的讨论小组，因为有些习题的难度已经接近硕士阶段的考试水平，缺少外界的指点很容易陷入僵局。

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