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出版者:Academic Pr

作者:Hirosi Nagao

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:1989-2

价格:USD 90.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780125136600

丛书系列:

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• 表示论
• 数学
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《有限群的表示论》 本书深入探讨了有限群的表示论这一代数数学的核心领域。我们将从最基础的概念出发，逐步构建起理解表示论的完整框架，并着重于介绍其在代数、组合学以及物理学等领域的应用。 第一部分：基础概念与理论框架 我们将首先介绍群论的基本概念，包括群的定义、子群、正规子群、商群、同态与同构等。在此基础上，引入表示论的核心——群的表示。我们将定义表示、不可约表示、酉表示等关键概念，并阐述它们之间的关系。 群的定义与性质: 详尽介绍群的公理体系，讨论不同类型的群，如交换群、循环群、对称群、交错群等，并研究它们的结构性质，如阶、中心、交换子群等。 群同态与同构: 深入理解群之间的映射关系，探讨核、像以及同构定理，这将为后续理解表示的结构提供基础。 表示的定义: 引入群表示的数学定义，即群到一般线性群的同态。我们将讨论表示空间的维数、表示的等价性等。 特征标: 特征标是表示论中至关重要的工具。我们将定义特征标，并研究其基本性质，如特征标的线性无关性、特征标的分解等。特征标提供了一种将表示的复杂性转化为一组数值性质的有效方式。 完全可约性: 讨论表示的完全可约性，即任何表示都可以分解为一系列不可约表示的直和。我们将证明 Maschke 定理，这是理解表示结构的基础。 不可约表示: 深入研究不可约表示，它们是表示论的“原子”。我们将介绍如何计算和分类不可约表示，以及不可约表示之间的关系。 第二部分：表示的结构与计算 本部分将聚焦于有限群表示的计算和结构分析。我们将介绍一些常用的计算方法和理论工具，以便能够分析具体的群表示。 群代数: 引入群代数 $kG$ 的概念，其中 $k$ 是一个域。我们将研究群代数的结构，以及它与群表示之间的深刻联系。群代数的模（module）恰好对应于群的表示。 左模与右模: 讨论群代数的左模和右模，并证明它们与群的表示之间存在双射关系。 不可约模: 研究群代数的不可约模，它们对应于群的不可约表示。我们将探讨模的半单性，以及半单代数（如群代数）的结构。 模的分解: 介绍不可约模的直和分解，并联系到表示的完全可约性。 特征标理论: 进一步深入特征标理论，包括计算特征标表，以及利用特征标来确定群的结构（如判断群是否可解）。我们将介绍 Burnside 引理在特征标理论中的应用。 诱导表示: 介绍诱导表示的概念，这是构建复杂表示的重要工具。我们将讨论诱导表示的性质，以及 Mackey–Clifford 定理。 块理论: 介绍表示论中的块（blocks）概念，将表示按某种等价关系进行分类，这有助于简化对大型群表示的分析。 第三部分：特殊群的表示与应用 本部分将通过具体的例子，展示表示论在解决实际问题中的强大能力。我们将重点关注一些重要的群族，并探讨它们的表示如何揭示其内在结构。 对称群的表示: 对称群 $S_n$ 的表示在组合学、量子力学等领域有着广泛的应用。我们将介绍 Young 图和 Young 表格，并利用它们来构造和理解 $S_n$ 的不可约表示。我们将讨论它们与置换、张量积等概念的关系。 交错群的表示: 作为对称群的子群，交错群 $A_n$ 的表示研究具有重要意义。我们将介绍 $A_n$ 的表示与 $S_n$ 的表示之间的联系。 循环群的表示: 讨论有限循环群的表示，这通常是作为更复杂群表示的基石。 有限单群的表示: 简要介绍有限单群的概念，以及表示论在研究这些群结构中的作用，虽然不深入研究具体单群的表示，但会提及其重要性。 组合学中的应用: 探讨表示论在组合计数、图论、编码理论等领域的应用，例如使用特征标来计算特定计数问题。 代数几何中的应用: 简要提及表示论在代数几何中，例如在研究代数簇的对称性方面的应用。 物理学中的应用: 介绍表示论在量子力学、粒子物理学等领域，例如对守恒律、对称性破缺的解释，以及分类基本粒子。 学习本书的读者应具备的背景知识: 基础的抽象代数知识，包括群、环、域的基本概念。 对线性代数有扎实的掌握，包括向量空间、线性变换、矩阵等。 对集合论和证明方法有基本的了解。 本书旨在为读者提供一个全面而深入的有限群表示论的理论框架，并 equip 读者运用这些工具解决实际数学和科学问题。通过理论讲解与实例分析相结合的方式，我们期望能够激发读者对这一美丽数学分支的兴趣。

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从一个已经习惯了使用现代计算机代数系统进行初步探索的读者的角度来看，这本书的魅力在于其对“手工证明”的极致追求。它拒绝依赖那些过于现代或复杂的预设工具，而是坚持从最基本的公理出发，以一种近乎纯粹的逻辑链条来推导出结论。这种严谨性体现在每一个细节之中，尤其是在处理一些经典群的例子时，作者的论证过程几乎无可指摘，充满了数学家的优雅和自豪感。虽然在速查某些具体结果时，可能会觉得不如一些现代化的参考书方便快捷，但若论及对理论根源的深刻理解和证明技巧的磨练，这本书是无与伦比的。它要求你真正“拥有”这个知识，而不是“借用”它。对于任何一个立志于在数学研究领域走得更远的人来说，掌握这种从零开始构建证明的能力，是比任何速成技巧都更宝贵的财富。

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这本书的章节组织方式，给我一种强烈的“模块化”印象。每一个主题单元都像一个独立而完备的建筑模块，可以单独拆解深入研究，但它们又通过精妙的链接巧妙地组合在一起，共同支撑起整个宏大的理论框架。例如，关于特征标理论的部分，作者的处理方式极为流畅，从基础的定义迅速过渡到应用，中间没有丝毫拖泥带水。我尤其欣赏的是，它并没有仅仅停留在理论的陈述，而是在关键节点穿插了极具启发性的应用实例，这些例子往往能立刻点亮之前抽象的定义。这种结构上的平衡感，使得学习过程中的挫败感被极大地缓解了，因为你知道自己每走一步，都是在搭建一个更稳固的结构。对于希望清晰理解不同数学分支之间如何相互影响和借鉴的读者来说，这种结构优势是至关重要的。它不是一盘散沙，而是精心规划的蓝图。

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如果让我用一个比喻来形容阅读这本书的体验，那它就像是在攀登一座技术要求极高的山峰。沿途的风景固然壮丽，但每一步都需要精确的计算和充分的准备。我注意到，这本书在处理某些拓扑或几何背景下的群论概念时，所采用的语言和工具，与其他纯代数书籍有着显著的区别，它似乎更倾向于使用一种更具“分析性”的视角来审视代数对象。这种跨领域的融合，为我打开了全新的思路。我曾经在研究某个物理模型时遇到了棘手的对称性问题，翻阅这本书中关于非阿贝尔群表示的章节后，我找到了一种全新的、更具解释力的数学语言去描述那个现象。这本书的价值在于它不仅传授了知识，更重要的是，它提供了一种看待问题的独特视角和强大的工具箱，鼓励读者将所学知识应用于更广阔的数学和科学领域。

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这本书的封面设计给我留下了深刻的第一印象，那种深邃的蓝色调和严谨的几何图形组合，仿佛在预示着一次深入数学真理的旅程。我记得当时是在一个学术会议的休息时间，无意中翻开了它，立刻就被那种近乎古典的排版风格所吸引。书中的每一个定理、每一个定义都被精心布局，让人感到一种强烈的秩序感和逻辑的严密性。它不是那种轻佻的入门读物，更像是一部经过时间沉淀的经典著作，每一个章节的过渡都如同精密的机械装置，环环相扣，引导你一步步进入那个抽象而迷人的代数世界。阅读过程中，我时常需要停下来，反复咀悦那些复杂的符号推导，那种费力后的豁然开朗，是学习硬核数学时独有的快感。这本书的编排方式使得读者必须主动去“构建”知识体系，而不是被动地接收信息，这对于训练深层次的数学思维非常有帮助。它似乎在告诉读者，真正的理解需要耐心和汗水，而回报则是对结构本质的洞察。

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我是在准备一次重要的博士资格考试时接触到这本教材的，当时需要一本能够提供全面且深入视角参考的书籍。坦白说，这本书的难度是毋庸置疑的，它几乎是以一种挑战读者的姿态存在的。我记得有一次，为一个关于模表示的特定例子卡住了整整一个下午，书中的论述极其精炼，省略了许多“显而易见”的中间步骤——当然，对于作者而言是显而易见的，但对我来说却是一道高墙。这种“惜墨如金”的写作风格，虽然初看让人有些望而却步，但一旦攻克下来，你会发现作者的思路是多么的清晰和高效。它更像是一位经验极其丰富的导师，在你需要的时候给出最精准的提示，而不是一步一步牵着你的手走。对于已经具备一定基础，渴望突破瓶颈、追求更高层次理解的进阶学习者而言，这本书无疑是一座宝库，它提供的视角和证明方法，往往比那些更“温和”的教材更具洞察力。

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